第五章 流體動(dòng)力學(xué)(控制體雷諾輸運(yùn)定理)-流體力學(xué)

1、5.1控制體和系統(tǒng)5.2雷諾輸運(yùn)方程v前面解決了流體運(yùn)動(dòng)的表示方法,但要在流體上應(yīng)用物理定律還有困難.v歐拉方法描述的對(duì)象是空間的點(diǎn),而牛頓定律的研究對(duì)象必須是質(zhì)量不變的確定物體.v這需要一些轉(zhuǎn)化方法,本節(jié)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.5.1.1 體系v什么是體系?v在力學(xué)和熱學(xué)中，基本物理定律適用的對(duì)象是一個(gè)選定的物質(zhì)系統(tǒng),具有以下特征:該系統(tǒng)始終由一定量的物質(zhì)組成；系統(tǒng)的邊界把自己同周?chē)耐饨缥镔|(zhì)分開(kāi)；系統(tǒng)邊界既可以固定不動(dòng)，也可以運(yùn)動(dòng)，而且系統(tǒng)的形狀和系統(tǒng)所占據(jù)的空間都可以隨時(shí)間發(fā)生變化；可以透過(guò)系統(tǒng)邊界和外界有功和熱量的交換,但絕無(wú)質(zhì)量的交換。5.1.1體系v按物質(zhì)系統(tǒng)的這些要求，當(dāng)把上述基本物理定

2、律應(yīng)用到運(yùn)動(dòng)流體時(shí)，勢(shì)必要追蹤一個(gè)選定的流體系統(tǒng)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)歷程不可.v這樣的物質(zhì)系統(tǒng)稱為體系,又稱“閉口系統(tǒng)”5.1.1體系2,.oottttdtA1參看右圖:瞬間,選定的流體系統(tǒng)處于A 標(biāo)注的位置,在瞬間 流體系統(tǒng)將占據(jù)標(biāo)注的位置從流體系統(tǒng)的質(zhì)量守恒定律來(lái)看,該系統(tǒng)的質(zhì)量始終等于常數(shù).xyz,ott1A,ottdt2A5.1.1體系,:m設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量為質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式即是,ssddmdmd 如是系統(tǒng)的微體積元是流體的密度,微體積的質(zhì)量則有0,sdmsdt式中腳注 代表分析的對(duì)象是一個(gè)流體體系.xz,ott1A,ottdt2Ay5.1.1體系進(jìn)一步把式中的參數(shù)用流動(dòng)參數(shù)表達(dá)也來(lái),則得到

3、關(guān)于流體封閉體系的質(zhì)量守恒方程.但是,由于運(yùn)動(dòng)中的流體系統(tǒng)將產(chǎn)生由移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)等組成的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)時(shí)間難以追蹤得到，甚至在紊流流動(dòng)狀態(tài)由于流體的混沌，嚴(yán)格講要辨認(rèn)哪些流體仍否屬于原來(lái)的流體系統(tǒng)都成了問(wèn)題.這種分析方法就稱為體系分析法5.1.1體系況且,在不少流體力學(xué)問(wèn)題中,往往關(guān)心的是在流體的物體上產(chǎn)生了多大的力,或多高的溫度等,而并不關(guān)心一個(gè)流體系統(tǒng)整個(gè)運(yùn)動(dòng)歷流經(jīng)程如何.所以要找到適用于一個(gè)針對(duì)于固定空間位置的研究方法5.1.2控制體v什么是控制體?v是由選定的、幾何上封閉的界面（稱為控制面）所圍的空間體，相對(duì)于坐標(biāo)系固定不變。v控制面可以是物體的壁面或者是假想的界面，與外界不僅可以

4、透過(guò)控制面的功和能量的交換，而且允許有質(zhì)量的交換（又稱開(kāi)口系統(tǒng)）。v控制體的形狀，大小可視問(wèn)題的需要而變化，可以是有限體積大小的控制體，也可以是微元控制體。,如圖 它是分析管流時(shí)可選擇的一個(gè)控制體:管壁兩端面的是控制面控制面是的部分,而假想的.流體可以通過(guò)兩端的控制面流入流出控制體.一旦選擇好控制體,它就不再改變.把適用于一個(gè)流體體系的各個(gè)物理定律,比如質(zhì)量守恒定律,用有關(guān)控制體的流動(dòng)參數(shù)表達(dá)也來(lái),則得到關(guān)于控制體的質(zhì)量守恒方程.這種分析方法就稱為控制體分析法5.1.2控制體控制體與體系的區(qū)別名稱定義邊界特性適用體系物質(zhì)的集合有力、能交換，無(wú)質(zhì)量交換拉格朗日法控制體固定在空間的一個(gè)體積有力、能

5、、質(zhì)量交換歐拉法v如何將適用于體系的牛頓定律等應(yīng)用于控制體?NmN設(shè) 是分布在質(zhì)量或體積上某個(gè)物理量,隨流動(dòng)輸運(yùn),稱之為,比如可以代表質(zhì)量 ,動(dòng)量P和能量E等.單位流體質(zhì)量所具有的 值,用符號(hào)代隨流物理量表,有:dNdm2,1;,1,.2NmNPvNEvu u如如如為比內(nèi)能5.2雷諾輸運(yùn)定理按上圖中所選的控制體來(lái)推導(dǎo)雷諾輸運(yùn)定理tttuuC在t時(shí)刻,選取圖中所示的,同一時(shí)刻,取與圖示控制體重合的流體作為選定控制體(用CV表示)體的系(表面用 S表示)tt時(shí)刻體系因運(yùn)動(dòng)偏離原位置,而控制體留在原地.5.2雷諾輸運(yùn)定理CVCS:sssNNdmd 體系的 值為IIIIII5.2雷諾輸運(yùn)定理CVICV

6、IIICVIIdNsNs(t+dt)-Ns(t)=NIII(t+dt)+NII(t+dt)-NI(t)+NII(t) ,:ttt從 到時(shí)刻 體系物理量的變化為t=NII(t+dt)- NII(t)+NIII(t+dt)-NI(t)IIIIIIttt5.2雷諾輸運(yùn)定理當(dāng)dt0時(shí)，II區(qū)與原控制體體積相同，I區(qū)為CS1面流進(jìn)的物理量，III區(qū)為CS3面流出的物理量. CS1CS3,nndAvvddAA如圖所示的微元面上 流體法向速度為則流流過(guò)面的體積通體在單位時(shí)間為量?jī)?nèi)IIIIIInn1dA3dAtttuu5.2雷諾輸運(yùn)定理CVICVIIICVIIdAvn流出體系所在空間對(duì)應(yīng)體積的流量考慮到面和

7、的方向,并認(rèn)為,則單位時(shí)間流出微元面為正的N值為()nv dAv dSIIIIIInn1dA3dAtttuu5.2雷諾輸運(yùn)定理CVICVIIICVIISCV的表面外法的方向按線方向計(jì)111,CVCSttNdv dStN 因其為流入的 值 取為負(fù)號(hào)11NtCVN1用表示在時(shí)間內(nèi)通過(guò)CS 面進(jìn)入到體積中的 值IIIIIInn1dA3dAtttuu4.3.3雷諾輸運(yùn)定理CVICVIIICVII333CVCSttNdv dSt 同理IIIIIInn1dA3dAtttuu5.2雷諾輸運(yùn)定理CVICVIIICVII23120()()limsttDNNNNNDttt+ t于是:223100()()()lim

8、limtttNNNNttt+ ttt+ t)IIIIIInn1dA3dAtttuu5.2雷諾輸運(yùn)定理CVICVIIICVII220()(limtNNtt+ tt)第一項(xiàng):1 2NtIIIIIInn1dA3dAtttuu5.2雷諾輸運(yùn)定理CVICVIIICVIICVdt ()CVdt=2NtCSv dS310limCSCStv dSv dStt 0limCStv dStt310()()limttNNtt+ t第二項(xiàng):IIIIIInn1dA3dAtttuu5.2雷諾輸運(yùn)定理CVICVIIICVII()CCSsVDNdv dSDtt于是:IIIIIInn1dA3dAtttuu5.2雷諾輸運(yùn)定理CVICVIIICVIICVCS