高數(shù)的經(jīng)濟應用

1、第四節(jié)定積分在經(jīng)濟學上的應用 第六六章 一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)二、資金流的現(xiàn)值和未來值二、資金流的現(xiàn)值和未來值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.成本函數(shù)總成本 = 固定成本 + 可變成本)(qC0C)(1qC平均成本(單位成本)=qqCC)(102.收益函數(shù)3.利潤函數(shù) 利潤=總收益-總成本，即L(Q) = R(Q)-C(Q) . 復習 收益=價格銷量，即R(Q) = PQ . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 xx 邊際的經(jīng)濟意義:當 時, x 改變一個單位, y 改變4.邊際)(0 xf 個單位 .5.常用的邊際函數(shù) 邊際成本；邊際收益；邊際利潤機動

2、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在 處的邊際值為 .)(xf)(0 xf 0 xx 一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù) 問題：已知某邊際經(jīng)濟函數(shù)，求該總經(jīng)濟量. 設某個經(jīng)濟函數(shù) u(x)的邊際函數(shù)為 , 則有)(xu )0()()(0uxudxxux 于是 .)()0()(0 xdxxuuxu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 已知銷售某產(chǎn)品的邊際收益為 ， x為銷售量，R(0)=0, 則總收益函數(shù)為)(xR x0dx)x(R)x(R1. 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 ，x為產(chǎn)量，固定成本為C(0), 則總成本函數(shù)為( )C x 00( )( )( )xC xC x dxC 機

3、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設利潤函數(shù)L(x)=R(x)-C(x),其中x為產(chǎn)量， R(x)是收益函數(shù),C(x)是成本函數(shù)，若 L(x),R(x),C(x)均可導，則邊際利潤為： L (x)=R(x)-C(x).因此總利潤為：0d0( )( )( )xL xL xxL 0d0( )( )( )xR xC xxC 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為 100143)(2 xxxC固定成本 C(0) = 1000, 求生產(chǎn) x 個產(chǎn)品的總成本函數(shù) . 解 dxxCCxCx 0)()0()(dxxxx 02)100143(1000.1007100023xx

4、x 例2 已知邊際收益為 , 設R(0) = 0, 求收益函數(shù)R(x) . xxR278)( 解 xdxxRxR0)278()0()(.782xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3：設某商品的邊際收益為( )200100QR Q 199.75 (50)(50)50RR 00( )200100QQQR Q dQdQ ( )R Q (50)9987.5R 21200200QQ (1) 求銷售50個商品時的總收益和平均收益； (2) 如果已經(jīng)銷售了100個商品，求再銷售100個商品的總收益和平均收益；解: (1) 總收益函數(shù):平均收益:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 198.5 (200

5、)(100)200100RRR 200100200100QdQ (200)(100)RR19850 解: (2) 總收益為:平均收益: 例3：設某商品的邊際收益為( )200100QR Q (1) 求銷售50個商品時的總收益和平均收益； (2) 如果已經(jīng)銷售了100個商品，求再銷售100個商品的總收益和平均收益；機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4：已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x臺的邊際成本為2150( )11C xx 210150ln(1)xxx2( )305R xx ( )C x 201501011xdxx 0(0)( )xCC x dx (萬元/臺)，邊際收入為 (萬元/臺).(1) 若不變成本為

6、C(0)=10 (萬元/臺),求總成本函數(shù)，總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)；(2)當產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總成本與總收入的增量;解: (1)總成本為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由于當產(chǎn)量為零時總收入為零,即R(0)=0,于是22129150ln(1)105xxxx0( )(0)( )xR xRR x dx 020(30)5xx dx ( )( )( )L xR xC x21305xx 總收入為總利潤函數(shù)為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8040(80)(40)( )CCC x dx 143.96 240 8040(80)(40)( )RRR x d

7、x （萬元）(2)當產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總成本的增量為;當產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總收入的增量為;（萬元）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由變化率求總量 例5 某工廠生產(chǎn)某商品, 在時刻 t 的總產(chǎn)量變化率為 (單位/小時). 求由 t = 2 到 t = 4 這兩小時的總產(chǎn)量 . ttx12100)( 解 總產(chǎn)量 4242)12100()(dttdttxQ.2726100422 tt例6 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 , 當 產(chǎn)量由200增加到300時, 需追加成本為多少?xxC2 . 0150)( 解 追加成本dxxC 300200)2 . 0150(30020021 . 015

8、0 xx .10000 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例7 在某地區(qū)當消費者個人收入為 x 時, 消費支出 W( x ) 的變化率 , 當個人收入由 900 增加到 1600 時, 消費支出增加多少? xxW15)( 解 dxxW 160090015160090030 x .300 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設有本金A0,年利率為r,則一年后得利息A0r,本利和為1. 單利假設在期初投資一個單位的本金，在每一時期內(nèi)都得到完全相同的利息金額，這種計息方式為單利.二、收益流的現(xiàn)值與未來值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 A0A0rA0(1r),n年后所得利息nA0r,本利和為An

9、=A0+nA0r=A0(1+nr)這就是單利的本利和計算公式 第二年以第一年后的本利和A1為本金,則兩年后的2. 復利這種計息方式的基本思想是：利息收入自動被計入下一期的本金. 就像常說的“利滾利”.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這就是一般復利的本利和計算公式. 本利和為A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照此計算,n年后應得本利和為AnA0(1r)n 資金周轉(zhuǎn)過程是不斷持續(xù)進行的, 若一年中分n期計算,年利率仍為r,于是每期利率為r/n ,則一年后的本利和為t年后本利和為AtA(1 r/n )nt ，若采取瞬時結(jié)算法,即隨時生息,隨時計算,也就是n時,得t年后本利和為 這就是連續(xù)

10、復利公式0lim(1)nttnrAAn 00lim(1) .nrtrtrnrAAen A1A(1 r/n )n， 因此，在年利率為r的情形下,若采用連續(xù)復利，有： （1）已知現(xiàn)值為A0, 則t年后的未來值為 （2）已知未來值為At , 則貼現(xiàn)值為期數(shù)趨于無窮大的極限情況下的計息方式，即每時3. 連續(xù)復利每刻計算復利的方式稱為連續(xù)復利.貼現(xiàn)值：時刻t的一個貨幣單位在時刻0時的價值.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 AtAert，A At e-rt 我們知道, 若以連續(xù)復利率 r 計息, 一筆 P 元人民幣 從現(xiàn)在起存入銀行, t 年后的價值(將來值) ,t rPeB 若 t 年后得到 B 元人

11、民幣, 則現(xiàn)在需要存入銀行的金 額(現(xiàn)值) .t rBeP 下面先介紹收益流和收益流量的概念 . 若某公司的收益是連續(xù)地獲得的 , 則其收益可被看作是一種隨時間連續(xù)變化的收益流 . 而收益流對時間的變化率稱為收益流量 . 4 4、收益流的現(xiàn)值和將來值、收益流的現(xiàn)值和將來值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 收益流量實際上是一種速率 , 一般用 R (t) 表示 ; 若時間 t 以年為單位 , 收益以元為單位 , 則收益流量的單位為: 元/年. (時間 t 一般從現(xiàn)在開始計算) . 若 R(t) = b 為常數(shù) , 則稱該收益流具有均勻收益流量. 將來值：現(xiàn)在一定量的資金在未來某一時點上的價值

12、現(xiàn)值：將來某一時點的一定資金折合成現(xiàn)在的價值，俗稱“本金” 例如：假設銀行利率為5%,你現(xiàn)在存入銀行10000塊,一年以后可得本息10500元. 10500為10000的將來值,而10000為10500的現(xiàn)值 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 和單筆款項一樣 , 收益流的將來值定義為將其存入銀行并加上利息之后的本利和 ; 而收益流的現(xiàn)值是這樣一筆款項, 若把它存入可獲息的銀行, 將來從收益流中獲得的總收益, 與包括利息在內(nèi)的本利和, 有相同價值. 在討論連續(xù)收益流時, 為簡單起見, 假設以連續(xù)復利率 r 計息 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若有一筆收益流的收益流量為 R(t) (

13、元/年) , 下面計算其現(xiàn)值及將來值 . 考慮從現(xiàn)在開始(t = 0)到 T 年后這一時間段 . 利用元素法, 在區(qū)間 0 , T 內(nèi), 任取一小區(qū)間 t , t + dt , 在該小區(qū)間內(nèi)將 R (t) 近似看作常數(shù) , 則應獲得的金額近似等于 R (t) dt (元) . 從現(xiàn)在( t = 0 )算起, R (t) dt 這一金額是在 t 年后的將來而獲得, 因此在 t , t + dt 內(nèi), 從而，總現(xiàn)值為00( )TrtRR t edt 收益的現(xiàn)值( )rtR t edt 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在計算將來值時, 收入 R(t) dt 在以后的( T t )年內(nèi)獲息, 故在

14、 t , t + dt 內(nèi) 例8 假設以年連續(xù)復利率 r = 0.1 計息 (1) 求收益流量為100元/年的收益流在20年期間的現(xiàn)值和將來值; (2) 將來值和現(xiàn)值的關系如何? 解釋這一關系 . 從而，將來值為()0( )Tr TtTRR t edt 收益流的將來值()( )r TtR t edt 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 dtet1 . 0200100 現(xiàn)值現(xiàn)值;)(66.864)1(10002元元 edtet)20(1 . 0200100 將來值將來值dteet1 . 02200100 . )(06.6389)1(100022元元 ee (2) 顯然 ,2e 現(xiàn)值現(xiàn)值將來值將來

15、值若在 t = 0 時刻以現(xiàn)值 作為一筆款項存入銀行, 以年連續(xù)復利率 r = 0.1計息, 則20年中這筆單獨款項的將來值為 )1(10002 e.)1(1000)1(100022(20)0.12eeee 而這正好是上述收益流在20年期間的將來值 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解 (1) 例9 某公司投資100萬元(總投資的現(xiàn)值已知）建成1條生產(chǎn)線，并于1年后取得經(jīng)濟效益，年收入為，設銀行年利率為10%，問公司多少年后收回投資30萬元（收益流量） Ttt01 . 0100de30解 設T年后可收回投資，投資回收期應是總收入的現(xiàn)值等于總投資的現(xiàn)值的時間長度，因此有 100)e1(30

16、1 .0 T即解得T=4.055，即在投資后的4.055年內(nèi)可收回投資機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般來說, 以年連續(xù)復利率 r 計息, 則在從現(xiàn)在起到T 年后（該收益流的將來值等于將該收益流的現(xiàn)值）作為單筆款項存入銀行 T 年后的將來值. 例10 設有一項計劃現(xiàn)在( t = 0 )需要投入 1000 萬元（投入資金的現(xiàn)值）, 在 10 年中每年收益為 200 萬元（收益流量）. 若連續(xù)利率為 5%, 求收益資本價值W. (設購置的設備10年后完全失去價值) 解資本價值 = 收益流的現(xiàn)值 投入資金的現(xiàn)值 100020010005. 0 dteWt100005. 020010005. 0 te1000)1(40005 . 0 e. )(88.573萬元萬元 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例11 某企業(yè)一項為期10年的投資需購置成本80萬元,每年的收益流量為10萬元, 求內(nèi)部利率 (注: 內(nèi)部利率是使收益價值等于成本的利率) .