中考試題的教學(xué)實(shí)踐與思考

1、初中數(shù)學(xué)論文“靈動(dòng)能測(cè)”的三角板中考試題的教學(xué)實(shí)踐與思考【摘 要】三角板問題能為學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐操作的空間，較好地考查了學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、聯(lián)想、類比、歸納能力以及運(yùn)動(dòng)變化、分類討論思想等綜合運(yùn)用能力。以近幾年浙江省各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題中涉及的三角板問題為載體，針對(duì)三角板問題的類型、解決問題的策略，思考三角板問題在教學(xué)實(shí)踐中的意義?！娟P(guān)鍵詞】三角板；中考；教學(xué)問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決。好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)當(dāng)具有較強(qiáng)的探索性，具有現(xiàn)實(shí)意義或與學(xué)生的實(shí)際生活有著直接的聯(lián)系，具有趣味性和知識(shí)性。三角板問題為學(xué)生提供了一個(gè)自主動(dòng)手實(shí)踐操作，觀察、分析、猜想并進(jìn)行說理驗(yàn)證的探究模型，以

2、圖形的運(yùn)動(dòng)變化為策略，讓學(xué)生能在一個(gè)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)情景中感悟知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，探索問題的結(jié)論和規(guī)律的變與不變，真正理解圖形的性質(zhì)。與此同時(shí)發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生探索、猜想能力和創(chuàng)新思維能力。1 認(rèn)識(shí)：三角板問題的類型以三角板為載體的中考試題中，?？疾閳D形變換的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)、以及全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)等。在中考中，有關(guān)涉及到三角板的問題很多，題目也比較繁雜。這類問題有沒有一種共性？解此類題目有沒有一種切實(shí)可行的方法？筆者作了一些嘗試。1.1疊合型課程標(biāo)準(zhǔn)指出，課程內(nèi)容要貼近學(xué)生的生活，有利于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、思考與探索。內(nèi)容的組織要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，直觀與抽象

3、的關(guān)系，生活化、情境化與知識(shí)系統(tǒng)性的關(guān)系?！纠?】（2011·金華）如圖，把一塊含有45°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上如果1=20°，那么2的度數(shù)是（）A、30°B、25°C、20°D、15°例1考查了平行線和等腰直角三角形的性質(zhì)，在進(jìn)行圖形的有關(guān)計(jì)算時(shí)，要求學(xué)生具備基本的轉(zhuǎn)化能力；除了要能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)外，還要能從生活中的常見圖形捕捉求解信息。利用三角板進(jìn)行組合，可以求角的度數(shù)、線段的大小、圖形的面積等，教學(xué)中可以適當(dāng)使用三角板進(jìn)行輔助教學(xué)，效果會(huì)很好。例如用三角板拼角，讓學(xué)生參與討論和親身嘗試，不僅掌握了用拼

4、三角板的方法畫一些特殊角的知識(shí)，更重要的是提高了自主學(xué)習(xí)、樂于研究探索問題的積極性，進(jìn)一步嘗試用推理的方式尋找問題的答案，考慮尋找出一般規(guī)律，是數(shù)學(xué)思維的一種升華，是理性思維的開始，之后的驗(yàn)證猜想更是數(shù)學(xué)思維的一次有效訓(xùn)練。陶行知說：“教育只有通過生活才能產(chǎn)生作用并真正成為教育。”培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，是加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的良好途徑。1.2平移型課程標(biāo)準(zhǔn)指出，知識(shí)的呈現(xiàn)要重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、得到結(jié)果、解決問題的過程。【例2】（2010·金華）如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分

5、別為（3，0）和（0，3）。動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動(dòng)，速度分別為1，2（長(zhǎng)度單位/秒）。一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以（長(zhǎng)度單位/秒）的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過程中保持lx軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)。設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)解答下列問題：（1）過A，B兩點(diǎn)的直線解析式是_；（2）當(dāng)t4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_（0，），；當(dāng)t=_，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；（3）作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P。在運(yùn)動(dòng)過程中，若形成的四邊形PEPF為菱形，則t的值是多少？當(dāng)t2

6、時(shí)，是否存在著點(diǎn)Q，使得FEQBEP？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。例2一個(gè)基本特點(diǎn)是，基于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注“過程與方法”在獲得和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中的重要作用。解決以上試題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要包括兩個(gè)層次：第一，來源于日常生活經(jīng)驗(yàn)，如對(duì)的三角板和直尺的直接認(rèn)識(shí)；第二，建立在日常生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的探究活動(dòng)，將一把含30°角的直角三角板置于平面直角坐標(biāo)系中，探究平移和軸對(duì)稱的性質(zhì)。BFAPEOxyGPP(圖1)yBFAPEOxQBQCC1D1(圖3)BFAPEOxyMPH（圖2)第3小題當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過作軸，為垂足（如圖1）， 而，,由得； 當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，形成

7、的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，過P作，、分別為垂足（如圖2） , ， 又在Rt中，即，解得。 第3小題存在的理由如下： ，,，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到（如圖3） ，點(diǎn)在直線上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）過作，交于點(diǎn)Q,則 由，可得Q的坐標(biāo)為（，）根據(jù)對(duì)稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)（，）也符合條件。 例2除了考查圖形的性質(zhì)和圖形的變化外，還重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是中考必考的內(nèi)容。本題也是一個(gè)幾何動(dòng)態(tài)問題，解決幾何動(dòng)態(tài)問題的基本策略是“以靜制動(dòng)”，需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問題，把握運(yùn)動(dòng)、變化的全過程，需要特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)過程中的

8、變量和變量之間的關(guān)系，并分析其中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，綜合運(yùn)用函數(shù)、轉(zhuǎn)化、分類討論、方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想綜合解決問題。利用三角板的平移等運(yùn)動(dòng)可以探究圖形平移和軸對(duì)稱等性質(zhì)。例如教學(xué)中可以利用三角板擺放全等三角形常見的不同位置，并畫下來，有利于學(xué)生在復(fù)雜的背景圖形的解題中迅速觀察并判定哪兩個(gè)三角形全等，并能得出數(shù)量和位置的關(guān)系；利用三角板拼四邊形，讓學(xué)生直觀體驗(yàn)一般平行四邊形、矩形、正方形、等邊三角形、等腰直角三角形之間的相互關(guān)系，并在思辨中對(duì)概念有更深的理解等。1.3旋轉(zhuǎn)型課程標(biāo)準(zhǔn)指出，經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過程，掌握?qǐng)D形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能?！纠?

9、】（2009·臺(tái)州）如圖，三角板ABC中，ACB=90°，B=30°，BC=6。三角板繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落在AB邊的起始位置上時(shí)即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長(zhǎng)為_ 2（結(jié)果保留）。例3考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長(zhǎng)計(jì)算公式，有直覺和知識(shí)的聯(lián)系，有記憶和理解的聯(lián)系，有感悟和推理的聯(lián)系。利用三角板旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)可以探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能考查幾何基本圖形的性質(zhì)等，例如教學(xué)中利用三角板拼一拼、搭一搭，要求拼出軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形等，體驗(yàn)各種不同對(duì)稱的不同特點(diǎn)，理解其內(nèi)涵等。從學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣出發(fā)，在創(chuàng)設(shè)好的問題情境下，帶有激勵(lì)性和挑戰(zhàn)性地自主學(xué)習(xí)，必

10、會(huì)達(dá)到認(rèn)知過程和情感過程的統(tǒng)一，達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)、學(xué)會(huì)方法、訓(xùn)練能力、培養(yǎng)素質(zhì)的目的。1.4綜合型課程標(biāo)準(zhǔn)指出，通過有效的措施，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，使學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！纠?】（2010·臺(tái)州）如圖，RtABCRtEDF，ACB=F=90°，A=E=30°。EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交線段AC于點(diǎn)M，K。（1）觀察：如圖2、圖3，當(dāng)CDF=0°或60°時(shí)，AM+CK =_MK（填“”，“”或“=”）；如圖4，當(dāng)CDF

11、=30°時(shí)，AM+CK _MK（只填“”或“”）；（2）猜想：如圖1，當(dāng)0°CDF60°時(shí)，AM+CK _MK，證明你所得到的結(jié)論；（3）如果MK2+CK2=AM2，請(qǐng)直接寫出CDF的度數(shù)和的值。第2小題作點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)G， 連接GK，GM，GD， 則CD=GD ，GK = CK，GDK=CDK， 可得ADMGDM，GM=AM。 GM+GKMK，AM+CKMK 例4是一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形中的線段大小比較的問題，線段大小比較的問題，關(guān)鍵是把三條線段通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化到同一三角形中，以三角形的兩邊之和大于第三邊來比較，本題題型新穎是個(gè)不可多得的

12、好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區(qū)分度。利用三角板的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)，可以綜合考查幾何和代數(shù)知識(shí)。例如在解直角三角形教學(xué)中除了利用三角板和相似的知識(shí)進(jìn)行測(cè)量、計(jì)算外，還可以拼成解直角三角形的兩個(gè)基本圖形，構(gòu)建模型，得出解決問題的基本策略。以點(diǎn)帶面、結(jié)構(gòu)優(yōu)化的問題設(shè)計(jì)，使得整個(gè)問題系統(tǒng)圍繞著知識(shí)、能力結(jié)構(gòu)的核心目標(biāo)展開。學(xué)生積極進(jìn)入思維狀態(tài)，促進(jìn)學(xué)生為解決問題而對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行檢索，將它們從零碎的，無組織和無序的狀態(tài)中提取出來，重新加以組織，形成一個(gè)有用的網(wǎng)絡(luò)。2 實(shí)踐：三角板問題的解題策略2.1特殊三角形是本質(zhì)一副三角板的本質(zhì)就是兩個(gè)特殊的直角三角形，要認(rèn)清這樣的一些

13、事實(shí)：它的每個(gè)角是多少度，邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系，角與邊之間的關(guān)系，也就是解直角三角形的知識(shí)，充分利用這些隱含的條件，再結(jié)合其他的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題?！纠?】(2011·衢州)ABC是一張等腰直角三角形紙板，C=90°，AC=BC=2，（1）要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請(qǐng)說明理由。（2）圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為s1；按照甲種剪法，在余下的ADE和BDF中，分別剪取正方形，得到兩個(gè)相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為s2（如圖2），則s2=_ ；再在

14、余下的四個(gè)三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個(gè)相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個(gè)正方形面積和為s3，繼續(xù)操作下去，則第10次剪取時(shí)，s10= _；（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和。例5除了考查直角三角形、正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定外，重點(diǎn)考查了方程思想和規(guī)律探究能力。由探索規(guī)律可知：，所以剩余三角形面積和為：數(shù)學(xué)問題解決需要通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生親身體驗(yàn)和感受分析問題、解決問題的全過程。它強(qiáng)調(diào)使用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、合作意識(shí)和實(shí)際操作能力。2.2圖形變化是靈魂學(xué)生在動(dòng)態(tài)問題上的得分率相對(duì)較低，動(dòng)態(tài)問題往往使得試題的區(qū)分度

15、加大。學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)幾何問題有畏懼心理，思考問題時(shí)，缺乏整體考慮。局部又無法聯(lián)想，總無法理清運(yùn)動(dòng)的全過程，普遍存在一動(dòng)就暈的情況。【例6】(2011·紹興)拋物線y=-（x-1）2+3與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸BC與x軸交于點(diǎn)C。（1）如圖1求點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段OC的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P在拋物線上，直線PQBC交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ。若含45°角的直角三角板如圖2所示放置其中，一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上求直線BQ的函數(shù)解析式；若含30°角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。第2題如

16、圖2：B（1，3）分別過點(diǎn)D作DMx軸于M，DNPQ于點(diǎn)N，CDE是等腰直角三角形，DMQN是正方形，Q（4，0）直線BQ的解析式為：y=-x+4。當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)，如圖：過點(diǎn)D作DMx軸于M，DNPQ于N，CDMEDN當(dāng)DCE=30°時(shí)，又DN=MQ，BC=3，CQ=Q（，0）P1（，）當(dāng)DCE=60°時(shí)，點(diǎn)P2（1+3，）。當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左邊時(shí)，由對(duì)稱性知：P3（，），P4（1-3，）綜上所述：P1（，），P2（1+3，），P3（，），P4（1-3，）例6以二次函數(shù)為載體，將三角板在函數(shù)圖象中的不同放置方式作為試題的基本背景，要用分類思考方法。數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在密不可

17、分的聯(lián)系，最佳知識(shí)結(jié)構(gòu)是一張知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的整合處設(shè)計(jì)問題，可以使得知識(shí)互相滲透，互相組合。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，從而有利于形成整合的思維能力和綜合解決問題的能力。3 思考：三角板問題的意義3.1激發(fā)學(xué)習(xí)興趣數(shù)學(xué)活動(dòng)必須激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生思考；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、掌握有效的學(xué)習(xí)方法。學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)地和富有個(gè)性的過程，除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、計(jì)算、證明等活動(dòng)過程?！纠?】（2011·金華）如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐

18、標(biāo)系中，B（2，0），AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A的雙曲線為y=。在x軸上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O´B´。（1）當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_（4，0）；（2）設(shè)P（t，0），當(dāng)O´B´與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是_。例7將含30°的直角三角板放在直角坐標(biāo)系中與反比例函數(shù)圖象相結(jié)合設(shè)置了一個(gè)操作性的對(duì)稱變換的綜合性試題，可得 ?？疾榱艘淮魏瘮?shù)、反比例函數(shù)、三角形的性質(zhì)和一元二次方程等初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，試題的巧妙之處在于問題中的三角板為求解問題提供的數(shù)量依據(jù)

19、。把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。在引導(dǎo)學(xué)生用三角板做數(shù)學(xué)題的過程中，我們不僅關(guān)注學(xué)生的問題解決的結(jié)果，更重要的是展示了學(xué)生在做數(shù)學(xué)題的活動(dòng)過程中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度、數(shù)學(xué)水平與實(shí)踐能力。通過問題解決能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成深刻的、結(jié)構(gòu)化的理解，形成自己的、可以遷移的問題解決策略，而且產(chǎn)生更為濃厚的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、形成認(rèn)真求知的科學(xué)態(tài)度和勇于進(jìn)取的堅(jiān)定信念。3.2提升思維能力前蘇聯(lián)著名心理學(xué)家魯賓斯坦的“問題思維理論”指出，思維的核心是創(chuàng)新，思維起始問題，是由問題情境產(chǎn)生的，而且總是以解決問題為目的。數(shù)學(xué)不僅是一種重要的“工具”和“方法”，而是人們學(xué)習(xí)的一種思維模式，并在解決問題的過程中進(jìn)行合情推理，有條理地