中考數(shù)學(xué)壓軸專題：動點問題 解析版

1、1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（0，4），動點A以每秒1個單位長的速度，從點O出發(fā)沿x軸的正方向運動，M是線段AC的中點將線段AM以點A為中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段AB過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點C作y軸的垂線，交直線BE于點D運動時間為t秒（1）當(dāng)點B與點D重合時，求t的值；（2）設(shè)BCD的面積為S，當(dāng)t為何值時，?（3）連接MB，當(dāng)MBOA時，如果拋物線的頂點在ABM內(nèi)部（不包括邊），求a的取值范圍2.如圖，C的內(nèi)接AOB中，AB=AO=4,tanAOB=,拋物線經(jīng)過點A(4，0)與點（-2，6）（1）求拋物線的函數(shù)解析式（2）直線m與C相切于點A交y軸于點D，動點

2、P在線段OB上，從點O出發(fā)向點B運動;同時動點Q在線段DA上，從點D出發(fā)向點A運動，點P的速度為每秒1個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當(dāng)PQAD時,求運動時間t的值（3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當(dāng)ROB面積最大時，求點R的坐標(biāo).3.如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連接AB、AE、BE已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標(biāo)；（2）求證：CB是ABE外接圓的切線；（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與ABE相似，

3、若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）設(shè)AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0t3）時，AOE與ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍4.已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為(2，0)，點B坐標(biāo)為 （0，2 ），點E為線段AB上的動點(點E不與點A，B重合)，以E為頂點作OET=45°，射線ET交線段OB于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過A，C兩點.（1） 求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2） 求證：BEF=AOE；（3） 當(dāng)EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標(biāo)；（4） 在（3）的條件下，

4、當(dāng)直線EF交x軸于點D，P為（1） 中拋物線上一動點，直線PE交x軸于點G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P，使得EPF的面積是EDG面積的（） 倍.若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答.5.如圖，直線AB交x軸于點B（4，0），交y軸于點A（0，4），直線DMx軸正半軸于點M，交線段AB于點C，DM=6，連接DA，DAC=90°（1）直接寫出直線AB的解析式；（2）求點D的坐標(biāo)；（3）若點P是線段MB上的動點，過點P作x軸的垂線，交AB于點F，交過O、D、B三點的拋物線于點E，連接CE是否存在點P，使BPF

5、與FCE相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由6（10分）（2015常州）如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，過點A作x軸的垂線l，點P為直線l上的動點，點Q為直線AB與OAP外接圓的交點，點P、Q與點A都不重合（1）寫出點A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點P在直線l上運動時，是否存在點P使得OQB與APQ全等？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由（3）若點M在直線l上，且POM=90°，記OAP外接圓和OAM外接圓的面積分別是S1、S2，求的值7（10分）（2015常州）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=x的圖象交于點A、B，點B的橫坐標(biāo)

6、是4點P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動點，且在直線AB的上方（1）若點P的坐標(biāo)是（1，4），直接寫出k的值和PAB的面積；（2）設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點M、N，求證：PMN是等腰三角形；（3）設(shè)點Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動點（與點P、B不重合），連接AQ、BQ，比較PAQ與PBQ的大小，并說明理由1.【答案】解：（1），。RtCAORtABE。，即，解得。 （2）由RtCAORtABE可知：，。當(dāng)08時，解得。當(dāng)8時，解得，（為負(fù)數(shù)，舍去）。當(dāng)或時，。（3）過M作MNx軸于N，則。當(dāng)MBOA時，BE=MN=2，OA=2BE=4。，拋物線的頂點坐標(biāo)為（5，）。它的頂點在直線

7、上移動。直線交MB于點（5，2），交AB于點（5，1），12?！究键c】動點問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）由RtCAORtABE得到，根據(jù)點B與點D重合的條件，代入CA=2AM=2AB，AO=1·t= t，BE（DE）=OC=4，即可求得此時t的值。（2）分08和8兩種情況討論即可。（3）求出拋物線的頂點坐標(biāo)為（5，），知它的頂點在直線上移動。由拋物線的頂點在ABM內(nèi)部（不包括邊）得12，解之即得a的取值范圍。2. 【答案】解：（1）把點A(4，0)與點（-2，6）代入拋物線，得： ，解得，。

8、拋物線的函數(shù)解析式為：。 （2）連接AC交OB于E，過點O作OFAD于點F。 直線m切C于A ，ACm。 弦AB=AO， 。ACOB。mOB。OAD=AOB。OA=4，tanAOB=，tanOAD=，sinOAD=。OD=OA·tanOAD=4×=3，OF=OA·sinOAD=4×=2.4。t秒時，OP=t，DQ=2t，若PQAD， 則FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。在 ODF中，t=DF=（秒）。當(dāng)PQAD時,運動時間t的值為 1.8秒。 （3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當(dāng)ROB面積最大時，點R到OB的距離最大。此時，過點R平行于直線

9、OB的直線與拋物線只有一個交點。 tanAOB=，直線OB為。 設(shè)過點R平行于直線OB的直線l：， 聯(lián)立和得，整理得。 直線l與拋物線只有一個交點，=，解得。 將代入得，解得。 將代入得。 R（）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元一次方程組，直線與圓相切的性質(zhì)，弦和弧的關(guān)系，垂徑定理，平行的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，一元二次方程根的判別式?！痉治觥浚?）將點A(4，0)與點（-2，6）代入拋物線y=ax2+bx，得方程組，解之即可得出解析式。（2）先得到OAD=AOB ，作OFAD于F，再求出OF的長，t秒時，OP=t,DQ=2t,若PQAD

10、 則FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。在ODF中，應(yīng)用勾股定理即可求得結(jié)論。（3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當(dāng)ROB面積最大時，點R到OB的距離最大。此時，過點R平行于直線OB的直線與拋物線只有一個交點。求出直線OB的解析式，設(shè)過點R平行于直線OB的直線l：，聯(lián)立和，根據(jù)一元二次方程根的判別式求出，即可求得點R的坐標(biāo)。3. 【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過點A（3，0），D（1，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x3）（x+1）。將E（0，3）代入上式，解得：a=1。拋物線的解析式為y=（x3）（x+1），即y=x2+2x+3。又y=x2+2x+3=（x1）2+4，點B（1，4）。（2

11、）證明：如圖1，過點B作BMy于點M，則M（0，4）在RtAOE中，OA=OE=3，1=2=45°，。在RtEMB中，EM=OMOE=1=BM，MEB=MBE=45°，。BEA=180°1MEB=90°。AB是ABE外接圓的直徑。在RtABE中，BAE=CBE。在RtABE中，BAE+3=90°，CBE+3=90°。CBA=90°，即CBAB。CB是ABE外接圓的切線。（3）存在。點P的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）或（0，）。（4）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b將A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。直線AB的解析式為

12、y=2x+6。過點E作射線EFx軸交AB于點F，當(dāng)y=3時，得x=，F(xiàn)（，3）。情況一：如圖2，當(dāng)0t時，設(shè)AOE平移到DNM的位置，MD交AB于點H，MN交AE于點G。則ON=AD=t，過點H作LKx軸于點K，交EF于點L由AHDFHM，得，即，解得HK=2t。=×3×3（3t）2t2t=t2+3t。情況二：如圖3，當(dāng)t3時，設(shè)AOE平移到PQR的位置，PQ交AB于點I，交AE于點V。由IQAIPF，得即，解得IQ=2（3t）。=×（3t）×2（3t）（3t）2=（3t）2=t23t+。綜上所述：?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方

13、程的關(guān)系，二次函數(shù)性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，圓的切線的判定，相似三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)?！痉治觥浚?）已知A、D、E三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式，從而能得到頂點B的坐標(biāo)。 （2）過B作BMy軸于M，由A、B、E三點坐標(biāo)，可判斷出BME、AOE都為等腰直角三角形，易證得BEA=90°，即ABE是直角三角形，而AB是ABE外接圓的直徑，因此只需證明AB與CB垂直即可BE、AE長易得，能求出tanBAE的值，結(jié)合tanCBE的值，可得到CBE=BAE，由此證得CBA=CBE+ABE=BAE+ABE=90°，從而得證。（3）在

14、RtABE中，AEB=90°，tanBAE=，sinBAE=，cosBAE=。若以D、E、P為頂點的三角形與ABE相似，則DEP必為直角三角形。DE為斜邊時，P1在x軸上，此時P1與O重合。由D（1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3， 即tanDEO=tanBAE，即DEO=BAE，滿足DEOBAE的條件。因此 O點是符合條件的P1點，坐標(biāo)為（0，0）。DE為短直角邊時，P2在x軸上。若以D、E、P為頂點的三角形與ABE相似DEP2=AEB=90°sinDP2E=sinBAE=。而DE=，則DP2=DE÷sinDP2E=÷=10，OP2=DP2O

15、D=9。即P2（9，0）。DE為長直角邊時，點P3在y軸上。若以D、E、P為頂點的三角形與ABE相似，則EDP3=AEB=90°cosDEP3=cosBAE=。則EP3=DE÷cosDEP3=÷，OP3=EP3OE=。即P3（0，）。綜上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，）。 （4）過E作EFx軸交AB于F，當(dāng)E點運動在EF之間時，AOE與ABE重疊部分是個五邊形；當(dāng)E點運動到F點右側(cè)時，AOE與ABE重疊部分是個三角形按上述兩種情況按圖形之間的和差關(guān)系進(jìn)行求解。4. 【答案】解：（1）A （2， 0）， B （0， 2），OA=OB=2 。AB

16、2=OA2+OB2=22+22=8。AB=2。OC=AB，OC=2， 即C （0， 2）。拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過A、C兩點，得，解得：。拋物線的表達(dá)式為y=x2x+2。（2）證明：OA=OB，AOB=90° ，BAO=ABO=45°。 又BEO=BAO+AOE=45°+AOE，BEO=OEF+BEF=45°+BEF ，BEF=AOE。（3）當(dāng)EOF為等腰三角形時，分三種情況討論當(dāng)OE=OF時， OFE=OEF=45°，在EOF中， EOF=180°OEFOFE=180°45°45°=90&#

17、176;。又AOB90°，則此時點E與點A重合， 不符合題意， 此種情況不成立。如圖， 當(dāng)FE=FO時，EOF=OEF=45°。在EOF中，EFO=180°-OEF-EOF=180°-45°-45°=90°，AOF+EFO=90°+90°=180°。EFAO。 BEF=BAO=45° 。又 由 (2) 可知 ，ABO=45°，BEF=ABO。BF=EF。EF=BF=OF=OB=×21 。 E(1， 1)。如圖， 當(dāng)EO=EF時， 過點E作EHy軸于點H ，在AOE和

18、BEF中，EAO=FBE， EO=EF， AOE=BEF， AOEBEF（AAS）。BE=AO=2。EHOB ，EHB=90°。AOB=EHB。EHAO。 BEH=BAO=45°。在RtBEH中， BEH=ABO=45° ，EH=BH=BEcos45°=2×=。OH=OBBH=22。 E(， 2)。綜上所述， 當(dāng)EOF為等腰三角形時，點E坐標(biāo)為E(1， 1)或E(， 2)。（4） P(0， 2)或P （1， 2）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，

19、特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）應(yīng)用勾股定理求出點C的坐標(biāo)，根據(jù)點在曲線上，點的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。（2）應(yīng)用等腰直角三角形等邊對等角的性質(zhì)可證。（3）分OE=OF，F(xiàn)E=FO，EO=EF三種情況討論即可。（4）假設(shè)存在這樣的點P。當(dāng)直線EF與x軸有交點時，由（3）知，此時E(， 2)。如圖所示，過點E作EHy軸于點H，則OH=FH=2。由OE=EF，易知點E為RtDOF斜邊上的中點，即DE=EF。過點F作FNx軸，交PG于點N。易證EDGEFN，因此SEFN=SEDG。依題意，可得SEPF=（）SEDG=（）SEFN，PE：NE=。過點P作PMx軸于點M

20、，分別交FN、EH于點S、T，則ST=TM=2。FNEH，PT：ST=PE：NE=。PT=（）ST=（）（2）=32。PM=PT+TM=2，即點P的縱坐標(biāo)為2。2=x2x+2，解得x1=0，x2=1。P點坐標(biāo)為(0， 2)或（1， 2）。綜上所述，在直線EF上方的拋物線上存在點P，使得EPF的面積是EDG面積的（）倍，點P的坐標(biāo)為(0， 2)或（1， 2）。5. 【答案】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A（0，4），B（4，0）兩點坐標(biāo)代入，得，解得。直線AB的解析式為y=x+4。（2）過D點作DGy軸，垂足為G，OA=OB=4，OAB為等腰直角三角形。又ADAB，DAG=90&

21、#176;OAB=45°。ADG為等腰直角三角形。DG=AG=OGOA=DMOA=54=2。D（2，6）。（3）存在。由拋物線過O（0，0），B（4，0）兩點，設(shè)拋物線解析式為y=ax（x4），將D（2，6）代入，得a=。拋物線解析式為y=x（x4）。由（2）可知，B=45°，則CFE=BFP=45°，C（2，2）。設(shè)P（x，0），則MP=x2，PB=4x，當(dāng)ECF=BPF=90°時（如圖1），BPF與FCE相似，過C點作CHEF，此時，CHE、CHF、PBF為等腰直角三角形。則PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4x+2（x2）=x，將E（x，x）代

22、入拋物線y=x（x4）中，得x=x（x4），解得x=0或，P（，0）。當(dāng)CEF=BPF=90°時（如圖2），此時，CEF、BPF為等腰直角三角形。則PE=MC=2，將E（x，2）代入拋物線y=x（x4）中，得2=x（x4），解得x=或。P（，0）。綜上所述，點P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。1367104【分析】（1）根據(jù)A（0，4），B（4，0）兩點坐標(biāo)，可求直線AB的解析式。 （2）作DGy軸，垂足為G，由已知得OA=OB=4，OAB為等腰直角三角形，而ADAB，利用

23、互余關(guān)系可知，ADG為等腰直角三角形，則DG=AG=OGOA=DMOA=54=2，可求D點坐標(biāo)。（3）存在。已知O（0，0），B（4，0），設(shè)拋物線的交點式，將D點坐標(biāo)代入求拋物線解析式，由于對頂角CFE=BFP=45°，故當(dāng)BPF與FCE相似時，分為：ECF=BPF=90°，CEF=BPF=90°兩種情況，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求P點坐標(biāo)。6.考點：圓的綜合題.解答：解（1）令y=0，得：x+4=0，解得x=4，所以點A的坐標(biāo)為（4，0）；（2）存在理由：如圖下圖所示：將x=0代入y=x+4得：y=4，OB=4，由（1）可知OA=4，在RtBOA中，由勾股定理得：AB=4BOQAQPQA=OB=4，BQ=PABQ=ABAQ=44，PA=44點P的坐標(biāo)為（4，44）（3）如下圖所示：OPOM，1+3=90°又2+1=90°，2=3又OAP=OAM=90°，OAMPAO，設(shè)AP=m，則：，AM=在RtOAP中，PO=，S1=，在RtOAM中，OM=，S2=，=+=1+=點評：本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定以及勾股定理和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形，利用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定求得AM和PA的長度是解