三角形重心性質(zhì)定理

1、三角形重心性質(zhì)定理1、配方法：所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。2、因式分解法：因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十

2、字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。3、換元法：換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決。4、判別式法與韋達(dá)定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、cR，a0)根的判別式=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至解析幾何、三角函數(shù)運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等

3、簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。5、待定系數(shù)法：在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的重要方法之一。6、構(gòu)造法：在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這

4、種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問題的解決。7、反證法：反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不

5、等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。8、等(面或體)積法：平面(立體)幾何中講的面積(體積)公式以及由面積(體積)公式推出的與面積(體積)計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積(體積)，而且用它來證明(計(jì)算)幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積(體積)關(guān)系來證明或計(jì)算幾何

6、題的方法，稱為等(面或體)積法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明幾何題，其困難在添置輔助線。等(面或體)積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積(體積)公式聯(lián)系起來，通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用等(面或體)積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。9、幾何變換法：在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡(jiǎn)，化難

7、為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來，有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括：(1)平移；(2)旋轉(zhuǎn)；(3)對(duì)稱。10.客觀性題的解題方法：選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識(shí)覆蓋面。填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標(biāo)明確，知識(shí)復(fù)蓋面廣，評(píng)卷準(zhǔn)確迅速，有利于考查學(xué)生的分析判斷能力和計(jì)算能力等優(yōu)點(diǎn)，不同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)生猜估答案的情況。要想迅速、正確地解選擇題

8、、填空題，除了具有準(zhǔn)確的計(jì)算、嚴(yán)密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實(shí)例介紹常用方法。(1)直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn)行推理或運(yùn)算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。(2)驗(yàn)證法：由題設(shè)找出合適的驗(yàn)證條件，再通過驗(yàn)證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗(yàn)證，找出正確答案，此法稱為驗(yàn)證法(也稱代入法)。當(dāng)遇到定量命題時(shí)，常用此法。(3)特殊元素法：用合適的特殊元素(如數(shù)或圖形)代入題設(shè)條件或結(jié)論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。(4)排除、篩選法：對(duì)于正確答案有且只有一個(gè)的選擇題，根據(jù)數(shù)學(xué)

9、知識(shí)或推理、演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法。(5)圖解法：借助于符合題設(shè)條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點(diǎn)來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。(6)分析法：直接通過對(duì)選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，稱為分析法。湖北省黃石市下陸中學(xué)宋毓彬1三角形重心性質(zhì)定理課本原題（人教八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)習(xí)題19.2第16題）在ABC中，BD、CE是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于O。BO與OD的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？BC邊上的中線是否一定過點(diǎn)O？為什么？（提示：作BO中點(diǎn)M，CO的中點(diǎn)N。連接ED、EM、

10、MN、ND）分析：三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心（第十九章課題學(xué)習(xí)重心）。這道習(xí)題要證明的結(jié)論是三角形重心的一個(gè)重要數(shù)學(xué)性質(zhì)：三角形的重心將三角形的每條中線都分成12兩部分，其中重心到三角形某一頂點(diǎn)的距離是到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。證法1：（根據(jù)課本上的提示證明）取GA、GB中點(diǎn)M、N，連接MN、ND、DE、EM。（如圖1）MN是GAB的中位線，MNAB，MN=AB又ED是ACB的中位線，DEAB，DE=ABDEMN，DE=MN，四邊形MNDE是平行四邊形GM=GD，又AM=MG，則AG=2GD同理可證：CG=2GF，BG=2GE點(diǎn)評(píng)：證法1是利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，從而得到平行四邊形

11、，再利用平行四邊形性質(zhì)得到中線上三個(gè)線段之間的相等關(guān)系。證法2：延長(zhǎng)BE至F，使GF=GB，連接FC。G是BF的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)GD是BFC的中位線，GDFC，GD=FC由GDFC，AE=CE，易證AEGCEFAG=FC，即GD=AG點(diǎn)評(píng)：利用線段中點(diǎn)，還可以將與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長(zhǎng)，構(gòu)造全等，從而利用全等三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)證明結(jié)論。證法3：取EC中點(diǎn)M，連DM，利用平行線分線段成比例及E是AC中點(diǎn)可證得相同的結(jié)論。（證明過程略）2.三角形重心性質(zhì)定理的應(yīng)用求線段長(zhǎng)例1如圖3所示，在RtABC中，A=30°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)G是RtABC的重心，GEAC于

12、點(diǎn)E，若BC=6cm，則GE= cm。解：RtABC中，A=30°，BC=6 AB=BC=12，D是斜邊AB的中點(diǎn)，CD=AB=6G是RtABC的重心，CG=CD=4由CD=AD，A=30°，GCE=30°RtGCE中，GCE=30°，CG=4，GE=CG=2（cm）求面積例2在ABC中，中線AD、BE相交于點(diǎn)O，若BOD的面積等于5，求ABC的面積。解：O是ABC的重心，AOOD=21SAOBSBOD=21 即SAOB=2 SBOD=10SABD= SAOB+ SBOD=10+5=15又AD是ABC的中線SABC=2 SABD=30。練習(xí)：1.如圖5，

13、ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心，如果AG=6，那么線段DG= 。2.如圖6，在ABC中，G是重心，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若ABC的面積為6cm2，則CGD的面積為 。倍角三角形中的一個(gè)結(jié)論湖北省黃石市下陸中學(xué)宋毓彬例1（天津市中考題）在ABC中，A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別用a、b、c表示。如圖1，在ABC中，A=2B，且A=60°。求證：a2=b（b+c）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”。本題第一問中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)于任意的倍角ABC，如圖2，A=2B，關(guān)系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結(jié)論。分析

14、：在ABC中，A=2B，且A=60°，ABC為Rt，C=90°。證法1：RtACB中a=c，b=c，所以a2=（c）2=，b（b+c）=c（c+c）=，所以a2=b（b+c）。對(duì)于任意的倍角ABC，A=2B，關(guān)系式a2=b（b+c）仍然成立。如圖2，延長(zhǎng)BA至D，使AD=AC=b，連CD。則CAB=2D，B=D，BC=CD=a，由ADCCDB ，即。所以a2=b（b+c）。由以上的證明，可以得到關(guān)于倍角三角形的一個(gè)結(jié)論：一個(gè)三角形中有一個(gè)角等于另一個(gè)角的兩倍，2倍角所對(duì)邊的平方等于一倍角所對(duì)邊乘該邊與第三邊的和。（例2中另外兩種證法同樣可證得a2=b（b+c）。）例2(2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)在ABC中，最大角A是最小角C的2倍，且AB=7，AC=8。則BC=（ ）（A）7 （B）10 （C） （D）7分析：此題由例1中的結(jié)論，則BC2=7（7+8）=105，所以BC=。以下還可以提供幾種解法供參考。解法一：分割法。如圖1，作CAB的平分線AD交BC于D。ABCDBA， =，解得 x+y=。評(píng)析：解法一的思路是常規(guī)思路，平分倍角構(gòu)造相似三角形，通過相似比得到方程組求出線段長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)。但這種方法中，二元二次方程組的計(jì)算較為復(fù)雜。解法二：構(gòu)造法。如圖2，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D，使AD=AB。則D=ABD=CAB=C，CBDDAB