電磁學部分習題解答

1、 .wd.1. 直角坐標系中點電荷電量為Q，坐標為，寫出Q所產(chǎn)生的電場在空間任一點的電場強度。解：畫出坐標系及空間任一點，那么該點相對于點電荷的位矢為 ，由點電荷Q產(chǎn)生的電場在P點處的場強分量為 該場強的方向沿方向：。在求解給定具體坐標的特殊問題時，往往用分量形式直接計算更直觀更方便，還不易出錯。矢量形式固然很標準化很簡潔尤其是涉及到帶有散度和旋度的微分方程，但一般只用于做根本證明和推導的過程，因為矢量方程與所取的任一坐標無關。2. 一電偶極子的電偶極矩為，P點到偶極子中心的距離為r，與的夾角為，在時，求P點的電場強度在方向的分量和垂直于方向的分量。解：在極坐標系下，設點相對于和的位矢分別為，

2、它們與的夾角分別為和，由點電荷的場強公式有， 在極坐標下，可以分解為：，其中， 又因為，在此近似下有，帶入以上各式，化簡得，。此種方法的關鍵在于靈活運用各坐標分量間的幾何與近似關系。對于電偶極子的問題，聯(lián)系電勢一節(jié)的內(nèi)容，我們可以做一些歸納，下面我們從最常用的直角坐標系出發(fā)，來推導電偶極子在空間任一點的電勢及場強公式。以偶極子兩電荷連線中點為原點，以偶極矩方向為x軸方向取直角坐標系中任一點，由點電荷的電勢疊加可得：考慮到的條件，有， 上式右邊經(jīng)過二項展開，并略去的高階項二階及以上，得那么 ，那么P點的偶極子勢為可寫成矢量表達形式： *下面求電偶極子的電場強度：由,將上式帶入,有其中，那么 #。

3、以上*和#式為偶極子的一般計算式?？梢栽诰唧w的坐標系中直接帶入計算。變換到球坐標系中,由于軸對稱性可知，與無關，那么的分量為：，。1. 計算的散度：解：。2. 如下圖，無限大帶電層，且電荷密度，試求其產(chǎn)生的場強。解：此題需分三個區(qū)域進展計算：取垂直于帶電層的坐標OX。1，取到之間的帶電平面，取單位面積的電荷面密度為，那么，那么該平面在處形成的電場強度為：，負號代表取坐標負向。假設，那么 ；2，同理可得負號代表取坐標正向。假設，那么 ；3，對于帶電層中間的區(qū)域，要注意和的情況不一樣，故要進展分段積分：假設，那么 。3. 求無限長均勻帶電柱體周圍的場強，延高方向單位長度電荷密度為，圓柱底面半徑為。

4、解：取半徑為、高為的同軸圓柱面為高斯面，分以下兩種情況考慮：1時，由高斯定理，有而，那么 得 2當時，同理得到 。4. 求均勻帶電球殼產(chǎn)生的電場中電位的分布，設球殼帶電總量為，半徑為。解：以無窮遠處作為電位零點，即,由真空中帶電球殼的場強分布：根據(jù)電位的定義求解：對于時，；對于時，。5. 求無限大均勻帶電平面電荷面密度為的電勢分布。解：確立原點在平面上的坐標OX，設空間任一點P位于處。取為電位零點，由無限大均勻帶電平面的場強公式，有下面以的情況來討論：由電位定義有：。此題中電位零點的取法很關鍵，注意到：求無限大帶電體周圍的電位時，不能取無窮遠處為電位零點。6. 一半徑為的均勻帶電圓面，電荷總量

5、為，求軸線OX上的電位分布，并畫出曲線。解：在圓面上取的圓環(huán)，由于圓面的電荷面密度：,故該圓環(huán)所帶電量為：而圓環(huán)在軸線上的電位分布可以根據(jù)電位疊加法，取圓環(huán)上的一段，取無窮遠處為電位零點，由點電荷的電位公式：，得圓環(huán)在軸線上的電位分布為：現(xiàn)在將此電位作為圓面在軸線上電位的積分元，即令，作圓面上半徑的積分，可得整個圓面在軸線上的電位：。7. 電量均勻分布在長為的細直線上，求以下各處的電位：（1） 中垂面上離帶電線段中心O為處，并用梯度求；（2） 延長線上離中心O為為處，并用梯度求；（3） 通過一端的垂直面上離該點為處，并用梯度求。解：根據(jù)題意，以O為原點中垂線所在直線作為x軸、延長線所在直線作為

6、y軸建立坐標系，取無窮遠處為電位零點。（1） 求點的電位及：設直線上的一段所帶的電量為，由點電荷電位公式，它在點的電位為：那么整段直線在點的電位為：那么有 。2求點的電位及：線元的電量仍然為，由點電荷電位公式，它在點的電位為：那么整段直線在點的電位為：那么有 ,號對應，號對應。y3求點的電位及：2l同樣取線元，其電量仍然為，由點電荷電位公式，它在點的電位為：rPOx那么整段直線在點的電位為：那么有 。rl-lP-2q+q+q1. P44.8如下圖一種電四極子，由兩個一樣的電偶極子組成，這兩偶極子在一直線上，當方向相反，它們的負電荷重合在一起。求延長線上離中心即負電荷為處的電場及電位分布。解一：

7、根據(jù)電場疊加原理，三個點的電荷在P處的場強：由，上式可以用Tayler公式展開：利用公式，并取二級近似，有那么 。以上為一種常規(guī)方法運用點電荷電場疊加原理。下面介紹另一種方法，將電四極子看作兩個電偶極子的組合問題，直接運用電偶極子的電勢求解：解二：由偶極子專題的分析，偶極矩為的電偶極子在空間任意一點P處的電位為： ，注意這里的指的是中點到P點的位矢。此題中的電四極子的電位可以用兩個偶極子電位的疊加來表示：，現(xiàn)在同樣用Tayler公式展開：利用公式，并取二級近似，得由 即得P點的場強。+q- ql2. 如下圖為另一種電四極子，設和都，P點到正方形的中心O距離為，與正方形的一對邊平行，求P點的電場

8、強度及電位分布。xll+q- qPl解一：利用偶極子在中垂面上的場強分布：將此題中的電四極子看作分別由和兩個偶極子的組合，那么有偶極子在中垂線上P點的電場強度為：，方向向下，偶極子在中垂線上P點的電場強度為：，方向向上，那么合場強：由，上式可以用Tayler公式展開：利用公式，并取二級近似，有于是有 。此題的擴展問題：考慮P點不在中垂面上，求解如下：P(r, )- q+qlrlO極軸l- q+ql解二：如下圖，在極坐標下P點的坐標，先考慮P點的電位：由偶極子專題的分析，偶極矩為的電偶極子在空間任意一點P處的電位為： ，同樣這里的指的是中點到P點的位矢。設P點相對于偶極子和的位矢分別為，對應的與

9、極軸的夾角為分別為，那么有：故 又由幾何關系有 ，且，化簡單去二階小量得由 即得P點的場強。yaax0P(x,y)3. 如下圖。兩條均勻帶電的無限長平行直線與圖紙垂直，電荷的線密度分別為，相距為，求空間任一點的電位。解：取坐標原點O點的電位為零，即 。那么根據(jù)無線長直導線的電位分布公式，有：導線在P點的電位為：導線在P點的電位為：在直角坐標系中，所以P點的電位為：此題要注意零電位的取法，對于無限的帶電體，不能再取無限遠處為零電位點。另外，幾種典型模型如無限大帶電平面、無限長直導線、帶電圓環(huán)、帶電圓面、帶電球面及帶電球的電場強度和電位的分布要熟悉掌握，在處理具體問題的時候都可以直接運用它們的結果

10、。8. 半徑為的導體，帶電量為，球內(nèi)有兩個半徑分別為、的球心空腔，中心處有電荷、。計算導體球內(nèi)、球外空間的電位和場強。解：以無窮遠處作為電位零點，即,（1） 導體球外：離球心距離處的電位由此得場強： ；（2） 導體球上：即的電位為 ，導體內(nèi)部的場強 ；（3） 空腔1內(nèi)：假設離空腔球心距離處的電位為由邊界條件：時，得由此得場強：；（4） 空腔2內(nèi)：同理假設離空腔球心距離處的電位為由邊界條件：時，得由此得場強：。9. 接地導體球半徑為，距球心為處有一點電荷。求空間電位分布。解：此題參考上課時講的例題。10. 點電荷處在導體殼的中心，殼的內(nèi)外半徑分別為、，求場強的分布。并畫出和曲線。解：根據(jù)題意，導

11、體到達靜電平衡時，導體內(nèi)的場強為零，導體為等勢體，在的導體面上均勻分布電量為的感應電荷，的導體面上均勻分布電量為的感應電荷。（1） 考慮的區(qū)域時，導體內(nèi)部的電荷對外部電場沒有影響，該區(qū)域的電場只由導體外外表的電荷產(chǎn)生，那么故 ；2考慮的區(qū)域，電位如下：3考慮的區(qū)域時，假設電位為那么由邊界條件：時 可得 故 由此可得 。11. 一球形電容器內(nèi)外兩殼的半徑分別為、，現(xiàn)在兩殼之間放一個內(nèi)外半徑分別為、的同心導體球殼。（1） 給內(nèi)殼充以電量，求和兩殼的電位差；（2） 求電容即以和為兩極的電容。解：1當內(nèi)殼充電時，由于導體的靜電感應作用，、各球面上分別均勻分布電量為、的感應電荷，故取半徑為的同心球面為高

12、斯面，由高斯定理可以算出不同區(qū)域的場強分布：那么和兩殼的電位差：；(2) 由電勢差和極板帶電量可得電容：。12. P17114題收音機里用的可變電容如13題圖所示其中共有個金屬片。每片形狀如14題圖所示；相鄰兩片間的距離都是，當動片轉(zhuǎn)到兩組片之間的夾角為時，證明：當較大時，略去邊緣效應，它的電容為其中以度為單位； 同時運用虛功原理求電容器極板繞軸旋轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)矩。解：將此可變電容器視為個平板電容器的并聯(lián)組合，每個小電容器的電容為：,總的電容為 。假設，那么有 ，得證；現(xiàn)在求轉(zhuǎn)矩：由電容器的儲能公式 ,根據(jù)虛功原理設想極板轉(zhuǎn)動角度為一小量時，能量變化,其中的對應，設極板的轉(zhuǎn)矩為，那么有，由上式可得：

13、。13. 一平行板電容器兩極板相距為2.0mm，電位差為400伏，其間充滿了介電常數(shù)的玻璃片。略去邊緣效應，求玻璃外表上極化電荷的面密度。解：由題意，那么可以求出平板電容器中的場強：，而極化強度矢量 ，故極化電荷面密度 。14. 平行板電容器兩極極板3.0cm，其間放有一層的介質(zhì)，位置和厚度如下圖P202頁習題8的圖，極板上面電荷密度為，略去邊緣效應，求：（5） 極板間各處的、；（6） 極板間各處的電位設；（7） 極板面積為0.11米2,求電容,并與不加介質(zhì)時的電容比擬。解：1分區(qū)域討論： 對于電介質(zhì)外極板間的區(qū)域，即和時，顯然有，場強 電位移 ； 對于電介質(zhì)內(nèi)部區(qū)域，即時，由高斯定理得 場強 2討論取不同區(qū)域極板間的電位：時，由于是常數(shù)，故；時，而時，；3電容 而由此可得 。15. 一半徑為的導體球帶電荷，球外有一層同心球殼的均勻介質(zhì)，其內(nèi)外半徑分別為和，介電常數(shù)為。求：（1） 介質(zhì)內(nèi)外的電場強度和電位移；（2） 介質(zhì)內(nèi)的極化強度和外表的極化電荷密度；（3） 介質(zhì)內(nèi)的極化電荷體密度。解：1取半徑為的同心球面為高斯面，由高斯定理，可得由此可得 ；2在介質(zhì)內(nèi)部，由,得；由，分別求介質(zhì)內(nèi)外外表的極化面密度：內(nèi)外表： 外外表：（4） 由。16. 圓柱形電容器是由半徑為的導線和與它同軸的導體圓筒構成，圓筒內(nèi)半