【課件】5.1.2導數(shù)的概念及其幾何意義課件（1）-高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

1、5.1 導數(shù)的概念及其意義第一課時第一課時平均速度瞬時速度割線斜率切線斜率2( )4.94.811h ttt 2( )f xx問題1 高臺跳水運動員的速度高臺跳水運動員的速度問題2 拋物線的切線的斜率拋物線的切線的斜率新課導入時間段時間段t0,t0+t內(nèi)的平均速度內(nèi)的平均速度當當t=t0時時的瞬時速度的瞬時速度000000)()()(lim)(tttthtthtvttthtthv)()(00 xxfxxfkx)()(lim0000 xxfxxfk)()(00函數(shù)圖象在點函數(shù)圖象在點P0(x0, f(x0)處的斜率處的斜率解決解決這這兩類問題時有什么共性？兩類問題時有什么共性？思考1平均速度瞬時

2、速度割線斜率切線斜率2( )4.94.811h ttt 2( )f xx問題1 高臺跳水運動員的速度高臺跳水運動員的速度問題2 拋物線的切線的斜率拋物線的切線的斜率000000)()()(lim)(tttthtthtvttthtthv)()(00 xxfxxfkx)()(lim0000 xxfxxfk)()(00平均變化率平均變化率瞬時變化率瞬時變化率都采用了由都采用了由“平均變化率平均變化率”逼近逼近“瞬時變化率瞬時變化率”的思想方法的思想方法. .求極限求極限逼近逼近求極限求極限逼近逼近思考2 一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)yf (x)，你能用，你能用“平均變化率平均變化率”逼近逼近“瞬

3、瞬時變化率時變化率”的思想方法研究其在某點（如的思想方法研究其在某點（如xx0）處的）處的瞬時變化率嗎瞬時變化率嗎？為了研究函數(shù)為了研究函數(shù) yf (x) 在在 x x0 處的瞬時變化率，我們可以研究哪處的瞬時變化率，我們可以研究哪個范圍內(nèi)函數(shù)值的個范圍內(nèi)函數(shù)值的平均變化率呢平均變化率呢？新課講授自變量自變量 x 從從 x0 變化到變化到 這個過程中，這個過程中，函數(shù)值的平均變化率函數(shù)值的平均變化率如如何表示呢？何表示呢？0 xx00()()yf xxf xxx 自變量自變量x：0 x0 xxx函數(shù)值函數(shù)值y：0()f xx0()f x00()()yf xxf x 函數(shù) yf (x) 函數(shù)函數(shù)

4、yf (x) 從從 x0 到到 的的平均變化率平均變化率：0 xx函數(shù)函數(shù) yf (x)在在 xx0 處的瞬時變化率該如何表示呢？處的瞬時變化率該如何表示呢？逼近取極限瞬時速度切線斜率2( )4.94.811h ttt 2( )f xx問題1 高臺跳水運動員的速度高臺跳水運動員的速度問題2 拋物線的切線的斜率拋物線的切線的斜率000000)()()(lim)(tttthtthtvtxxfxxfkx)()(lim0000瞬時變化率瞬時變化率00()()yf xxf xxxx00 x0 xx 無限趨近于無限趨近于？無限趨近于函數(shù) yf (x) 逼近取極限(0)(0)|.yfxfxxxx考查考查 f

5、 (x)| x | 在在 x0 附近的變化情況附近的變化情況.舉反例：當當 時，時，當當 時，時，0 x 0 x 1.yxxx 1.yxxxxyx當當 無限趨近于無限趨近于0時，平均變化率時，平均變化率 是否一定會無限趨近于一是否一定會無限趨近于一個確定的值呢？個確定的值呢？不一定導數(shù)（瞬時變化率）定義：如果如果當當 無限趨近于無限趨近于 0 時，平均變化率時，平均變化率 無限趨近于一個確定的無限趨近于一個確定的值，值，即即 有極有極限限，則，則稱稱_，并把這個確定的值叫做并把這個確定的值叫做_(也稱為也稱為_ ) ，記作記作_或或_. 用用極限符號極限符號表示這個定義，就是表示這個定義，就是

6、_ xyxyx0()fx0|x xy00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 導數(shù)是平均變化率的極限，是瞬時變化率的數(shù)學表達.y f (x) 在在x x0處處可導瞬時變化率 y f (x) 在在xx0處的處的導數(shù)思考3 根據(jù)導數(shù)的定義，你能用導數(shù)來重述跳水運動員速度問題根據(jù)導數(shù)的定義，你能用導數(shù)來重述跳水運動員速度問題和拋物線切線問題的結(jié)論嗎？和拋物線切線問題的結(jié)論嗎？平均速度瞬時速度割線斜率切線斜率2( )4.94.811h ttt 2( )f xx問題1 高臺跳水運動員的速度高臺跳水運動員的速度問題2 拋物線的切線的斜率拋物線的切線的斜率000000)()()(li

7、m)(tttthtthtvttthtthv)()(00 xxfxxfkx)()(lim0000 xxfxxfk)()(00實際上，導數(shù)可以描述許多運動變化事物的瞬時變化率. 比如效率、國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長率等. 例題1 設設 ，求，求1( )f xx(1).f 分析：分析： 因為因為00000()()()limlim,xxf xxf xyfxxx 所以所以00(1)(1)(1)limlim.xxyfxffxx 為了便于計算，我們可以先求出為了便于計算，我們可以先求出 ，再對它取極限，再對它取極限.yx例題鞏固解：(1)(1)yfxfxx111xx1.1x 001(1)limlim()1xxyfx

8、x 1. 思考4 你能總結(jié)出你能總結(jié)出求函數(shù)求函數(shù)yf (x)在在 xx0 處導數(shù)處導數(shù)的步驟嗎？的步驟嗎？例題1 設設 ，求，求1( )f xx(1).f 例題鞏固求函數(shù)求函數(shù)yf (x)在在 x1處導數(shù)處導數(shù)求求y| x1查看導數(shù)定義，思考題目還可以怎么表述？第一步，寫出寫出 并化簡；并化簡；00()()f xxf xyxx第二步，求極限求極限 ， 若若 存在，則存在，則0limxyx 0limxyx 00()lim.xyfxx 思考4 你能總結(jié)出求函數(shù)你能總結(jié)出求函數(shù)yf (x)在在 xx0 處導數(shù)的步驟嗎？處導數(shù)的步驟嗎？2( )715 (0 8).yf xxxx 這個實際問題與導數(shù)有

9、什么關系？這個實際問題與導數(shù)有什么關系？例題2 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱原油進行冷卻和加熱. 已知在第已知在第 x h時，原油的溫度（單位：時，原油的溫度（單位：）為）為 計算第計算第2 h與第與第6 h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義的意義.例題鞏固導數(shù)是瞬時變化率的數(shù)學表達.解：解： 在在第第2h和和第第6h時，時，原油溫度的瞬時變化率原油溫度的瞬時變化率就是就是 和和(2)f (6).f (2)(2)yfxfxx22(2)7(2) 15(27 2 1

10、5)xxx 3,x 00(2)limlim(3)xxyfxx 所以所以3. 因為因為同理，同理，(6)5.f 在本題中 是原油溫度在時刻 x0 的瞬時變化率，它反映的是原油溫度在時刻 x0 附近的變化情況.00() (08)fxx 表示在第2h時，原油溫度的瞬時變化率為3/h. 這說明在第2h附近，原油溫度大約以3/h的速率下降. (2)3f 導數(shù)(瞬時變化率)為負，體現(xiàn)了下降的變化趨勢. (6)5f (2)3f 和和 在這個實際問題中的意義是什么？在這個實際問題中的意義是什么？ 表示在第6h時，原油溫度的瞬時變化率為5/h，這說明在第6h附近，原油溫度大約以5/h的速率上升.(6)5f 導數(shù)

11、(瞬時變化率)為正，體現(xiàn)了上升的變化趨勢. 瞬時加速度就是速度的瞬時變化率.例題3 一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設ts時汽車的速度時汽車的速度（單位：（單位：m/s）為）為 yv(t)t26t60，求汽車在第，求汽車在第2s與第與第6s時時的瞬時加速度，并說明它們的意義的瞬時加速度，并說明它們的意義.例題鞏固 速度與瞬時加速度的關系是什么？速度與瞬時加速度的關系是什么？解：在第2s和第6s時，汽車的瞬時加速度就是 和(2)v(6).v(2)(2)yvtvtt22(2)6(2)60( 26 260)ttt 2,t 00(2)limlim(2)ttyvtt 所以2.因為同理，(6)6.v 在本題中 是 t0時刻汽車的瞬時加速度，反映了速度在 t0時刻附近的變化情況.00( ) (0)v tt 表示在第2s時，汽車的瞬時加速度是2m/s2，這說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加2m/s. (2)2v導數(shù)(瞬時變化率)為正，體現(xiàn)了增加的變化趨勢. (6)6v (2)2v 和和 在這個實際問題中的意義是什么？在這個實際問題中的意義是什么？ 表示在第6s時，汽車的瞬時加速度是-6m/s2，這說明在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少6m/s. (6)