通信原理及System View仿真測(cè)試第3章 隨機(jī)過(guò)程ppt課件

1、第3章 隨機(jī)過(guò)程3.1 隨機(jī)過(guò)程的根本概念3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程3.3 高斯隨機(jī)過(guò)程3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)3.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程3.6 正弦波加窄帶高斯過(guò)程3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲第第3 3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程第3章 隨機(jī)過(guò)程3.1.1 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程從數(shù)學(xué)的角度，隨機(jī)過(guò)程從數(shù)學(xué)的角度，隨機(jī)過(guò)程(t)的定義如下：設(shè)的定義如下：設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E的能夠結(jié)果為的能夠結(jié)果為(t)，實(shí)驗(yàn)的樣本空間，實(shí)驗(yàn)的樣本空間S為為x1(t), x2(t), , xi(t), ，i為正整數(shù)，為正整數(shù)，xi(t)為第為第i個(gè)個(gè)樣本函數(shù)樣本函數(shù)(又稱為實(shí)現(xiàn)又稱為實(shí)現(xiàn))，每次實(shí)驗(yàn)之后，每次實(shí)驗(yàn)之后，(t

2、)取空間取空間S中的某一樣本函數(shù)，于是稱此中的某一樣本函數(shù)，于是稱此(t)為隨機(jī)函數(shù)。當(dāng)為隨機(jī)函數(shù)。當(dāng)t代表時(shí)間量時(shí)，稱此代表時(shí)間量時(shí)，稱此(t)為隨機(jī)過(guò)程，如圖為隨機(jī)過(guò)程，如圖3-1所示。所示。 3.1 3.1 隨機(jī)過(guò)程的根本概念隨機(jī)過(guò)程的根本概念第3章 隨機(jī)過(guò)程圖3-1 隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)第3章 隨機(jī)過(guò)程3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性是經(jīng)過(guò)它的概率分布或數(shù)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性是經(jīng)過(guò)它的概率分布或數(shù)字特征加以表述的。字特征加以表述的。1. 隨機(jī)過(guò)程的概率分布隨機(jī)過(guò)程的概率分布設(shè)設(shè)(t)表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，在恣意給定的時(shí)辰表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，在恣意給定的時(shí)辰t1T

3、，其取值，其取值(t1)是一個(gè)一維隨機(jī)變量。這個(gè)隨是一個(gè)一維隨機(jī)變量。這個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)描畫(huà)。我們稱描畫(huà)。我們稱F1(x1, t1)=P(t1)x1(3-1)為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程(t)的一維分布函數(shù)。假設(shè)的一維分布函數(shù)。假設(shè)F1(x1, t1)對(duì)對(duì)x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，即的偏導(dǎo)數(shù)存在，即(3-2)1111111( , )( , )F x tf x tx第3章 隨機(jī)過(guò)程對(duì)于恣意時(shí)辰t1, t2, , tnT， (t)的n維分布函數(shù)定義為Fn(x1, x2, , xn；t1, t2, , tn)=P(t1)x1, (t2)x2

4、, , (tn)xn(3-3)同理，假設(shè)存在 (3-4)1212121212( ,; , , )( ,; , , ),nnnnnnnnF x xx t ttfx xx t ttxxx第3章 隨機(jī)過(guò)程2. 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然可以較全面地描畫(huà)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，但在某些場(chǎng)所，還需關(guān)懷隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征，比如隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望、 方差和相關(guān)函數(shù)等。在實(shí)踐任務(wù)中，有時(shí)不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征來(lái)描畫(huà)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡(jiǎn)單、 直觀。1) 數(shù)學(xué)期望隨機(jī)過(guò)程(t)的數(shù)學(xué)期望定義為 (3-5)1( )( )( , )da tEtxf x tx第3

5、章 隨機(jī)過(guò)程2) 方差隨機(jī)過(guò)程(t)的方差定義為 (3-6)可見(jiàn)，方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)辰 t 對(duì)于均值a(t)的偏離程度。2222221( )( )( )( ) ( )( )( , )d( )tDtEtEtEtEtx f x txa t第3章 隨機(jī)過(guò)程3) 相關(guān)函數(shù)衡量隨機(jī)過(guò)程在恣意兩個(gè)時(shí)辰獲得的隨機(jī)變量之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來(lái)表示。協(xié)方差函數(shù)定義為 (3-7)12112211222121212( ,)( )( )( )( )( )( )( ,; ,)d dB t tEta tta txa txa tf

6、x x t tx x 第3章 隨機(jī)過(guò)程式中： t1與t2是任取的兩個(gè)時(shí)辰；a(t1)與a(t2)是在t1與t2時(shí)辰得到的數(shù)學(xué)期望；f2(x1, x2；t1, t2)是二維概率密度函數(shù)。相關(guān)函數(shù)定義為 (3-8)1212122121212( , )( ) ( )( ,; , )d dR t tEttx x fx x t tx x 第3章 隨機(jī)過(guò)程由式(3-7)和式(3-8)可得B(t1, t2)和R(t1, t2)之間的關(guān)系：B(t1, t2)=R(t1, t2)E(t1)E(t2)=R(t1, t2)a(t1)a(t2)(3-9)假設(shè)a(t1)或a(t2)為零，那么B(t1, t2)=R(t1

7、, t2)。由以上分析可見(jiàn)，相關(guān)函數(shù)與選擇時(shí)辰t1與t2有關(guān)，假設(shè)t2t1，且t2=t1+，即t2與t1之間的時(shí)間間隔為，那么R(t1, t2)可以表示為R(t1, t1+)。這闡明相關(guān)函數(shù)依賴于起始時(shí)辰t1及時(shí)間間隔，即相關(guān)函數(shù)是t1和的函數(shù)。第3章 隨機(jī)過(guò)程上述B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)程度的，因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。對(duì)于兩個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)過(guò)程，可引入互協(xié)方差函數(shù)及相互關(guān)函數(shù)。設(shè)(t)和(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，那么互協(xié)方差函數(shù)定義為B(t1, t2)=E(t1)a(t1)(t2)a(t2)(3-10)而相互關(guān)函數(shù)定義為R(t1,

8、 t2)=E(t1)(t2)(3-11)第3章 隨機(jī)過(guò)程3.2.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是通訊系統(tǒng)中占重要位置的一種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是通訊系統(tǒng)中占重要位置的一種特殊類型的隨機(jī)過(guò)程。所謂平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，是指它特殊類型的隨機(jī)過(guò)程。所謂平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，即對(duì)于恣意選的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，即對(duì)于恣意選定時(shí)辰定時(shí)辰t1, t2, , tnT和恣意正整數(shù)和恣意正整數(shù)n，以及恣意，以及恣意值值，且，且x1, x2, , xnR，隨機(jī)過(guò)程，隨機(jī)過(guò)程(t)的的n維概率維概率密度函數(shù)滿足：密度函數(shù)滿足： fn(x1, x2, , xn；t1, t2

9、, , tn)=fn(x1, x2, , xn；t1+, t2+, , tn+)(3-12)3.2 3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程第3章 隨機(jī)過(guò)程那么稱(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。該定義闡明，當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作恣意平移時(shí)，隨機(jī)過(guò)程的一切有限維分布函數(shù)是不變的，詳細(xì)到它的一維分布，那么與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)，而二維分布只與時(shí)間間隔有關(guān)，即f1(x1, t1)=f1(x1)(3-13)f2(x1, x2；t1, t2)=f2(x1, x2；)(3-14) 因此，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征也變得更加簡(jiǎn)明。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(t)的數(shù)學(xué)期望 (3-15)1 111( )()dEtx f xxa第3章 隨機(jī)過(guò)程為一常數(shù)，

10、這表示平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各樣本函數(shù)圍繞著一程度線起伏。同樣，可以證明平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差2(t)=2也是一常數(shù)，表示它的起伏偏離數(shù)學(xué)期望的程度也是常數(shù)。而平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(t)的自相關(guān)函數(shù)(如式(3-16)所示)僅與時(shí)間間隔=t2t1有關(guān)，不再是t1與t2的二維函數(shù)，即 (3-16)11111221212( ,)( ) ()(,; )d d( )R t tEttx x fx xx xR 第3章 隨機(jī)過(guò)程3.2.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在滿足一定條件下有一個(gè)有趣而平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在滿足一定條件下有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為各態(tài)歷經(jīng)性。這種平穩(wěn)隨又非常有用的特性，稱

11、為各態(tài)歷經(jīng)性。這種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征(均為統(tǒng)計(jì)平均均為統(tǒng)計(jì)平均)完全可由隨機(jī)過(guò)完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征(均為時(shí)間平均均為時(shí)間平均)來(lái)決議，來(lái)決議，即隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望可由任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值即隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望可由任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來(lái)替代，隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)也可由任一實(shí)現(xiàn)的來(lái)替代，隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)也可由任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間相關(guān)函數(shù)來(lái)替代。也就是說(shuō)，假設(shè)時(shí)間相關(guān)函數(shù)來(lái)替代。也就是說(shuō)，假設(shè)x(t)是平穩(wěn)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程(t)的恣意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)的恣意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為間相關(guān)函數(shù)分別為第3章 隨機(jī)過(guò)

12、程(3-17) (3-18)假設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程使下式成立：221( )( )dlimTTTax tx ttT221( )( ) ()( ) ()dlimTTTRx t x tx t x ttT( )( )aaRR第3章 隨機(jī)過(guò)程3.2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度1. 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)設(shè)(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，那么它的自相關(guān)函為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，那么它的自相關(guān)函數(shù)數(shù)R()=E(t)(t+)具有以下主要性質(zhì)：具有以下主要性質(zhì)： (1) R(0)=E2(t)=S(t)的平均功率的平均功率(3-19) 由于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的總能量往往是無(wú)窮的

13、，而由于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的總能量往往是無(wú)窮的，而其平均功率卻是有限的。其平均功率卻是有限的。 (2)|R()|R(0)R()的上界的上界(3-20)這一點(diǎn)可由非負(fù)式這一點(diǎn)可由非負(fù)式E(t)(t+)20推演得到。推演得到。第3章 隨機(jī)過(guò)程(3) R()=R()R()是偶函數(shù) (3-21)這一點(diǎn)可由式(3-8)直接得證。(4) R()=E2(t)(t)的直流功率(3-22) 由于2( )( ) ()( )()( )limlimREttEtEtEt第3章 隨機(jī)過(guò)程(5) R(0)R()=2方差，(t)的交流功率(3-23) 這一點(diǎn)可由定義式(3-6)直接得證。由式(3-19)、 (3-22)和式(3-2

14、3)可知，當(dāng)均值為0時(shí)，R(0)=2，即(t)的平均功率等于方差。綜上所述，用相關(guān)函數(shù)可以表述隨機(jī)過(guò)程(t)的主要數(shù)字特征，以上自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)具有很大的實(shí)意圖義。第3章 隨機(jī)過(guò)程2. 頻譜特性隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性是用它的功率譜密度來(lái)表述的。我們知道，確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間有確定的傅里葉變換關(guān)系。那么，對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)能否也與功率譜密度存在這種變換關(guān)系呢？我們知道，功率型的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)都是一個(gè)確定的功率型信號(hào)。而對(duì)于恣意確實(shí)知功率信號(hào)f(t)，設(shè)f(t)的截短函數(shù)fT(t)(如圖3-2所示)的頻譜函數(shù)為FT()，那么它的功率譜密度為 (3-24)2( )

15、( )limTfTFPT第3章 隨機(jī)過(guò)程圖3-2 功率信號(hào)f(t)及其截短函數(shù)fT(t)第3章 隨機(jī)過(guò)程設(shè)隨機(jī)過(guò)程(t)的某一實(shí)現(xiàn)之截短函數(shù)T(t)的頻譜函數(shù)為FT()，那么(t)的功率譜密度P()為 (3-25)(t)的平均功率S即可表示為 (3-26)2( )( )( )limTfTE FPE PT2( )11( )dd22limTTE FSPT第3章 隨機(jī)過(guò)程下面我們來(lái)推導(dǎo)功率譜密度與相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系，由于2jj2222jj2222j()2222( )1( )ed( )ed1( )ed( )ed1()ed dTTTttTTTTTTttTTTTt tTTE FEttttTTEttttTR

16、 ttt tT 第3章 隨機(jī)過(guò)程利用二重積分換元法， 令=tt， 那么上式可化簡(jiǎn)為因此 (3-27) 可見(jiàn)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(t)的自相關(guān)函數(shù)R()與其功率譜密度P()之間互為傅里葉變換關(guān)系， 即 (3-28)2j( )(1) ( )edTTTE FRTT2jj( )( )(1) ( )ed( )edlimlimTTTTTE FPRRTTjj( )( )ed1( )( )ed2PRRP第3章 隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)記為 (3-29)式(3-28)在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的實(shí)際和運(yùn)用中非常重要，它是聯(lián)絡(luò)時(shí)域和頻域分析方法的根本關(guān)系式。根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)R()的性質(zhì)，很容易推出它的功率譜密度P()有如下性質(zhì)：(1

17、) 非負(fù)性P()0(2) 偶函數(shù)P()=P()因此，可以定義單邊功率譜密度P1()為 (3-30)( )( )RP12( )0( )00PP第3章 隨機(jī)過(guò)程3.3.1 高斯隨機(jī)過(guò)程的定義高斯隨機(jī)過(guò)程的定義所謂高斯隨機(jī)過(guò)程所謂高斯隨機(jī)過(guò)程(t)，是指它的恣意，是指它的恣意n維分布維分布都是正態(tài)分布，因此又稱之為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，其都是正態(tài)分布，因此又稱之為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，其n維概率密度函數(shù)為維概率密度函數(shù)為 (3-31)3.3 3.3 高斯隨機(jī)過(guò)程高斯隨機(jī)過(guò)程12121112212( ,; , , )11exp2(2)nnnnnjjkknjkjkjknfx xx t ttxaxaBBB 第3章 隨機(jī)過(guò)

18、程式中: ak=E(tk); 2k=E(tk)ak2; |B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余子式，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且 (3-32)12121212111nnnnbbbbBbb( )( )jjkkjkjkEtatab 第3章 隨機(jī)過(guò)程3.3.2 高斯隨機(jī)過(guò)程的重要性質(zhì)及一維分布高斯隨機(jī)過(guò)程的重要性質(zhì)及一維分布 1. 高斯隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)高斯隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)(1) 高斯隨機(jī)過(guò)程假設(shè)是寬平穩(wěn)的，那么也是高斯隨機(jī)過(guò)程假設(shè)是寬平穩(wěn)的，那么也是嚴(yán)平穩(wěn)的。嚴(yán)平穩(wěn)的。 由式由式(3-30)可以看出，高斯隨機(jī)過(guò)程的可以看出，高斯隨機(jī)過(guò)程的 n 維分布僅維分布僅由

19、各隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、由各隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、 方差和兩兩之間的歸方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決議。因此，假設(shè)高斯過(guò)程是寬一化協(xié)方差函數(shù)所決議。因此，假設(shè)高斯過(guò)程是寬平穩(wěn)的，即它的均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與平穩(wěn)的，即它的均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，那么它的有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，那么它的 n 維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，所以，寬平穩(wěn)的高斯過(guò)維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，所以，寬平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。 第3章 隨機(jī)過(guò)程(2) 假設(shè)高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 假設(shè)高斯過(guò)程中的各隨機(jī)變量?jī)蓛芍g互不相關(guān)，

20、那么式(3-32)中，對(duì)一切jk，有bjk=0， 故式(3-31)變換為 (3-33)21212212122111221( ,; , ,)exp2(2)1exp22( , ) (, )(,)njjnnnnnjjjjnjjjjjnnxafx xx t ttxaf x tf x tf x t第3章 隨機(jī)過(guò)程2. 高斯隨機(jī)過(guò)程的一維分布1) 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)高斯隨機(jī)過(guò)程在任一時(shí)辰的樣值是一個(gè)一維高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為 (3-34)式中: a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望; 2為方差。f(x)曲線如圖3-3所示，稱隨機(jī)過(guò)程服從正態(tài)分布。221()( )exp22xaf x第3章 隨機(jī)過(guò)程圖

21、3-3 高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)第3章 隨機(jī)過(guò)程由式(3-34)和圖3-3可知f(x)具有如下特性：(1) 對(duì)稱性。f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，即有f(a+x)=f(ax)。(2) 單調(diào)性。f(x)在區(qū)間(, a)內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間(a, )內(nèi)單調(diào)下降，而且在x=a處，到達(dá)最大值。當(dāng)x或x+時(shí)，f(x)0。max1( )2f x第3章 隨機(jī)過(guò)程(3) 曲線下的面積為1。f(x)在整個(gè)區(qū)間(, +)內(nèi)積分值為1，也就是說(shuō)，曲線下的面積為1， 即 (4) 分布中心與集中程度。a表示分布中心，表示集中程度，f(x)曲線將隨a的變化沿x軸左右平移(分布中心平移)，并隨的減小而變高和變窄(更加集中)。

22、當(dāng)a=0，=1時(shí)，稱這種正態(tài)分布為規(guī)范化的，這時(shí)有 (3-35)( )d1f x x1( )d( )d2aaf xxf xx21( )exp22xf x第3章 隨機(jī)過(guò)程2) 正態(tài)分布函數(shù)當(dāng)需求求高斯隨機(jī)變量小于或等于恣意取值x的概率P(x)時(shí)，還要用到正態(tài)分布函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)是對(duì)其概率密度函數(shù)的積分，即 (3-36)這個(gè)積分可以借助一些可在數(shù)學(xué)手冊(cè)上查出積分值的特殊函數(shù)來(lái)表示，普通常用的有以下幾種函數(shù)：221()( )()expd22xzaF xPxz第3章 隨機(jī)過(guò)程(1) 概率積分函數(shù)和q函數(shù)。概率積分函數(shù)定義為 (3-37)q函數(shù)定義為 (3-38)221( )ed2txxt221( )

23、1( )ed ,02txq xxt x 第3章 隨機(jī)過(guò)程對(duì)式(3-36)進(jìn)展變量代換，令新積分變量，那么，利用式(3-37)的概率積分函數(shù)，可得 (3-39)作同樣的變量代換，并利用概率密度函數(shù)曲線下面積為1的特性，以及式(3-38)的q函數(shù)，可得 (3-40)zat1ddtz221( )ed()2x atxaF xt2222221()1()( )expd1expd222211ed1()2xxtx azazaF xzzxatq 第3章 隨機(jī)過(guò)程綜上可得, 用概率積分函數(shù)和q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系式為 (3-41)( )()( )1()xaF xxaF xq 第3章 隨機(jī)過(guò)程(2) 誤差函數(shù)

24、和互補(bǔ)誤差函數(shù)。誤差函數(shù)定義為 (3-42) 互補(bǔ)誤差函數(shù)定義為 (3-43)202erf( )edxtxt22erfc( )1 erf( )edtxxxt 第3章 隨機(jī)過(guò)程當(dāng)xa時(shí)，對(duì)式(3-35)進(jìn)展變量代換，令新積分變量，那么，利用式(3-42)的誤差函數(shù)，可得 (3-44)2zat1dd2tz222222222201()( )expd221()1() expdexpd222211() expd2221111 ederf()2222xaxaxax atzaF xzzazazzzazxat第3章 隨機(jī)過(guò)程當(dāng)xa時(shí)，作同樣的變量代換，并利用概率密度函數(shù)曲線下面積為1的特性，以及式(3-43)

25、的互補(bǔ)誤差函數(shù)，可得 (3-45)2222221()( )expd221() 1expd2211 1ed1erfc()22xxtx azaF xzzazxat 第3章 隨機(jī)過(guò)程綜上可得, 用誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系式為 (3-46)由式(3-49)和式(3-46)可以很容易得到這些特殊函數(shù)之間的關(guān)系： (3-47)11erf(),222( )11erfc(),22xaxaF xxaxaerf( )2 ( 2 ) 11 2 ( 2 ),erfc( )22 ( 2 )2 ( 2 ),xxqxxaxxqxxa 第3章 隨機(jī)過(guò)程誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)在以后分析通訊系統(tǒng)抗噪聲性能時(shí)也

26、經(jīng)常用到，為了方便以后分析，下面給出它們的主要性質(zhì)。 誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)： erf(x)=erf(x)。 erf(0)=0，erf()=1。 互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)： erfc(x)=2erfc(x)。 erfc(0)=1，erfc()=0。 當(dāng)x1時(shí)，erfc(x) 。21erfc( )exxx第3章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)的分析原理的根底之上的。眾所周知，線性系統(tǒng)呼應(yīng)vo(t)等于輸入信號(hào)vi(t)與系統(tǒng)單位沖激呼應(yīng)h(t)的卷積，即 (3-48)3.4 3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)o

27、ii( )( )* ( )( ) ()dv tv th tvh t第3章 隨機(jī)過(guò)程假設(shè)，那么有Vo()=Vi()H()(3-49)假設(shè)線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，那么 (3-50)或者 (3-51)oo( )( )v tVii( )( )v tV( )( )h tHoi( )( ) ()dtv tvh toi0( )() ( )dv tv th第3章 隨機(jī)過(guò)程假設(shè)把vi(t)看做輸入隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后，必將獲得一個(gè)系統(tǒng)呼應(yīng)vo(t)，那么vo(t)可看做輸出隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。因此，只需輸入有界且系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，那么輸入隨機(jī)過(guò)程i(t)與輸出隨機(jī)過(guò)程o(t)之間必然滿足 (3-

28、52)o0( )( ) ()ditht 第3章 隨機(jī)過(guò)程1. 輸出過(guò)程輸出過(guò)程o(t)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望Eo(t)對(duì)式對(duì)式(3-52)兩邊取均值，有兩邊取均值，有根據(jù)平穩(wěn)性假設(shè)，根據(jù)平穩(wěn)性假設(shè)，Ei(t)=Ei(t)=a為常數(shù)，為常數(shù)，因此，上式變換為因此，上式變換為oii00( )( ) ()d( )() dEtEhthEt o0( )( )dEtah第3章 隨機(jī)過(guò)程又由于令=0，可得因此，可得Eo(t)=aH(0)(3-53)j0( )( )edtHh tt0(0)( )dHh tt第3章 隨機(jī)過(guò)程2. 輸出過(guò)程o(t)的自相關(guān)函數(shù)Ro(t1, t1+)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，有根據(jù)平穩(wěn)性

29、假設(shè)，Ei(t1)i(t1+)=Ri(+)，那么上式變換為 (3-54)o11o1o111001100( ,)( )() ( ) ()d( ) ()d ( ) ( )() () d diiiiR t tEttEhththhEtt o11io00( ,)( ) ( )()d d( )R t thhRR 第3章 隨機(jī)過(guò)程3. 輸出過(guò)程o(t)的功率譜密度根據(jù)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系，即式(3-2)可得 o( )Pojj00( )( )ed dd( ) ( )()edoiPRhhR第3章 隨機(jī)過(guò)程令=+，那么上式變換為 (3-55)oiijjj002*( )( )ed( )ed(

30、 )ed( )( )( )( )( )iPhhRHHPHP第3章 隨機(jī)過(guò)程4. 輸出過(guò)程o(t)的分布實(shí)際上，在知輸入過(guò)程的分布的情況下，經(jīng)過(guò)式(3-52)總可以確定輸出過(guò)程的分布。從積分原理來(lái)看，式(3-52)可以表示成一個(gè)和式的極限，即 (3-56)o00( )() ()limkikkkktth第3章 隨機(jī)過(guò)程3.5.1 窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義根據(jù)上述窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義，可以得到窄帶根據(jù)上述窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義，可以得到窄帶信號(hào)的頻譜如圖信號(hào)的頻譜如圖3-4(a)所示，信號(hào)的頻帶寬度為所示，信號(hào)的頻帶寬度為f，中心頻率為中心頻率為fc，而且，而且ffc。用示波器察看窄帶隨。用示

31、波器察看窄帶隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形如圖機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形如圖3-4(b)所示，它是一所示，它是一個(gè)頻率近似為個(gè)頻率近似為fc，包絡(luò)和相位緩慢變化的正弦波。，包絡(luò)和相位緩慢變化的正弦波。3.5 3.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程第3章 隨機(jī)過(guò)程圖3-4 窄帶信號(hào)頻譜與波形第3章 隨機(jī)過(guò)程 因此窄帶隨機(jī)過(guò)程可用下式表示： (3-57)將式(3-57)按三角函數(shù)和差化積展開(kāi)，可得(t)=a(t)cos(t)coscta(t)sin(t)sinct( )( )cos( )( )0cta ttta t第3章 隨機(jī)過(guò)程故窄帶隨機(jī)過(guò)程也可以用下式表示：(t)=c(t)coscts(t)sinct(3-5

32、8)其中c(t)=a(t)cos(t)(3-59)s(t)=a(t)sin(t)(3-60)第3章 隨機(jī)過(guò)程3.5.2 同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望對(duì)式對(duì)式(3-58)兩邊求均值，可得兩邊求均值，可得E(t)=Ec(t)cosctEs(t)sinct由于知由于知(t)平穩(wěn)且均值為平穩(wěn)且均值為0，那么對(duì)于恣意時(shí)間，那么對(duì)于恣意時(shí)間t，都有都有E(t)=0，因此，可得，因此，可得 (3-61) 可見(jiàn)，零均值平穩(wěn)高斯窄帶隨機(jī)過(guò)程的同相分可見(jiàn)，零均值平穩(wěn)高斯窄帶隨機(jī)過(guò)程的同相分量和正交分量的均值也為量和正交分量的均值也為0。cs( )0( )0EtEt

33、第3章 隨機(jī)過(guò)程2. 自相關(guān)函數(shù)由式(3-56)可得 (3-62)cs cc ssccscccsccccccccc( ,)( ) ()( )cos( )sin()cos()()sin()( ,)coscos()( ,)sincos()( ,)cossin()( ,)sinsin()R t tEttEttttttttRt tttRt tttRt tttRt ttt 第3章 隨機(jī)過(guò)程式中由于(t)是平穩(wěn)的，所以R(t, t+)=R()cs cc ssccsccsss( ,)( )()( ,)( )()( ,)( )()( ,)( )()Rt tEttRt tEttRt tEttRt tEtt 第3

34、章 隨機(jī)過(guò)程假設(shè)取t=0，那么sinct=0，cosct=1，式(3-62)變換為 (3-63)這時(shí)，顯然要求 (3-64)cc scc( ,)( ,)cos( ,)sinR t tRt tRt t ccc sc s( ,)( )( ,)( )Rt tRRt tR 第3章 隨機(jī)過(guò)程此時(shí)，式(3-63)變換為 (3-65) 同理，假設(shè)取ct=/2，那么sinct=1，cosct=0，式(3-62)變換為 (3-66)cc scc( ,)( )cos( )sinR t tRR ss ccc( ,)( ,)cos( ,)sinR t tRt tRt t 第3章 隨機(jī)過(guò)程這時(shí)，要求 (3-67)此時(shí)，

35、式(3-66)變換為 (3-68)sss cs c( ,)( )( ,)( )Rt tRRt tR ss ccc( ,)( )cos( )sinR t tRR 第3章 隨機(jī)過(guò)程另外，我們從式(3-65)和式(3-68)可以看到，要使兩式同時(shí)成立，那么應(yīng)有 (3-69)但是，根據(jù)相互關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有 (3-70)綜合式(3-69)和式(3-70)可得(3-71)css cc s( )( )( )( )RRRR s cc s( )()RR c sc s()( )RR 第3章 隨機(jī)過(guò)程同理，可得 (3-72) 由此可見(jiàn)，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有一樣的自相關(guān)函數(shù)，其相互關(guān)函數(shù)和都是的奇

36、函數(shù)。因此，可得 (3-73)s cs c()( )RR cs( )( )RRs c( )R c s( )R s cc s(0)(0)0RR 第3章 隨機(jī)過(guò)程將式(3-73)分別代入式(3-65)和式(3-68)，可得 (3-74)即(t)、 c(t)、 s(t)具有一樣的平均功率，又因它們的均值都為0，故可知它們的方差也都一樣，即 (3-75)cs(0)(0)(0)RRRcs222第3章 隨機(jī)過(guò)程另外，由于(t)是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，所以(t)在恣意時(shí)辰的取值都是服從正態(tài)分布的高斯隨機(jī)變量，因此，由式(3-56)可得1c112s22c( )( ),0( )( ),2tttttttt 第3章 隨

37、機(jī)過(guò)程3.5.3 隨機(jī)包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性下面來(lái)分析隨機(jī)包絡(luò)下面來(lái)分析隨機(jī)包絡(luò)a(t)和隨機(jī)相位和隨機(jī)相位(t)的有的有關(guān)統(tǒng)計(jì)特性，即一維分布函數(shù)。關(guān)統(tǒng)計(jì)特性，即一維分布函數(shù)。由上節(jié)關(guān)于由上節(jié)關(guān)于c(t)和和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性的分析可知，的統(tǒng)計(jì)特性的分析可知，c和和s的結(jié)合概率密度函數(shù)為的結(jié)合概率密度函數(shù)為 (3-76)22cscscs221(,)() ()exp22fff 第3章 隨機(jī)過(guò)程假設(shè)a和的結(jié)合概率密度函數(shù)為f(a, )，那么根據(jù)概率論知識(shí)，有根據(jù)式(3-59)和式(3-60)隨機(jī)變量之間的關(guān)系，可得cscs(,)(,)(,)(,)f afa cscossin

38、aa第3章 隨機(jī)過(guò)程于是，可得因此，可得 (3-77)cscscscossin(,)sincos(,)aaaaaa cs2222222(,)(,)(cos)(sin) exp22 exp22f aa faaaaa 第3章 隨機(jī)過(guò)程根據(jù)概率論中邊沿分布知識(shí)，可求得包絡(luò)a的一維概率密度函數(shù)為 (3-78)可見(jiàn)，包絡(luò)a服從瑞利分布。22220222()(,)d expd22 exp,02f af aaaaaa第3章 隨機(jī)過(guò)程同理，可求得相位的一維概率密度函數(shù)為 (3-79)上式利用了瑞利分布的性質(zhì)，方括號(hào)內(nèi)的積分值為1?？梢?jiàn)，相位服從均勻分布。由式(3-77)、 式(3-78)和式(3-79)還可得

39、f(a, )=f(a)f()(3-80)02220()(,)d1 expd221 ,022ff aaaaa第3章 隨機(jī)過(guò)程正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲的合成信號(hào)可以表示為 (3-81)3.6 3.6 正弦波加窄帶高斯過(guò)程正弦波加窄帶高斯過(guò)程ccccscccccscccsc( )cos()( ) cos()( )cos( )sin coscossinsin( )cos( )sin cos( )cos sin( )sinr tAtn tAtn ttn ttAtAtn ttn ttAn ttAn tt第3章 隨機(jī)過(guò)程令zc(t)=A cos+nc(t)，zs(t)=A sin+ns(t)，那么式(3-81

40、)變換為r(t)=zc(t)cosctzs(t)sinct=z(t)cosct+(t)(3-82)式中 (3-83)22cssc( )( )( ),( )0( )( )arctan,0( )2( )z tztztz tz tttz t第3章 隨機(jī)過(guò)程根據(jù)3.5節(jié)的結(jié)果，假設(shè)值已給定，那么zc和zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，而且 (3-84)式中: 2c、 2s、 2n分別為zc(t)、 zs(t)和n(t)的方差。因此，以給定相位為條件的zc與zs的結(jié)合概率密度函數(shù)為 (3-85)cs222cs( )cos( )sinnE z tAE z tA22cscs22(cos )(sin )1(,/

41、)exp22nnzAzAf z z第3章 隨機(jī)過(guò)程根據(jù)式(3-82)可得合成信號(hào)r(t)的包絡(luò)隨機(jī)變量z和相位隨機(jī)變量分別為 (3-86)于是 (3-87)22cssc,0arctan,02zzzzzzcscossinzzzz第3章 隨機(jī)過(guò)程利用與3.5節(jié)類似的方法，根據(jù)式(3-86)可以求得以給定相位為條件的z與的結(jié)合概率密度函數(shù)為 (3-88)cscscscscs22cscs22(,)( ,/ )(,/ )(,/ )( , )(cos )(sin )(,/ )exp22nnzzz zzzf zf z zf z zzzzzAzAzzf z z 第3章 隨機(jī)過(guò)程根據(jù)式(3-87)，式(3-88

42、)變換為 (3-89)22cs22222222222 (cossin )( ,/ )exp222 ( coscossinsin ) exp222cos() exp22nnnnnnzAA zzzf zzzAA zzzzAAz 第3章 隨機(jī)過(guò)程根據(jù)條件邊沿分布知識(shí)，可求得以相位為條件的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為根據(jù)零階修正貝塞爾函數(shù)的定義：202222220( / )( ,/ )dcos() expexpd22nnnf zf zzzAAz 2001( )exp( cos )d2Ixx第3章 隨機(jī)過(guò)程于是因此，可得 (3-90)202201()expcos() d2nnAzAzI220222( / )e

43、xp2nnnzzAAzf zI第3章 隨機(jī)過(guò)程由上式可見(jiàn)，f(z/)與無(wú)關(guān)，因此正弦波加窄帶高斯過(guò)程的包絡(luò)概率密度函數(shù)為 (3-91)稱包絡(luò)z服從廣義瑞利分布，也稱萊斯(Rice)分布。當(dāng)信噪比很小，即A0時(shí)，此時(shí)合成波中只需窄帶高斯噪聲，根據(jù)3.5節(jié)的知識(shí)可知，此時(shí)包絡(luò)z服從瑞利分布。關(guān)于正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波的相位分布f(/)比較復(fù)雜，這里就不再演算了?？梢酝葡胄⌒旁氡龋碅0時(shí)，合成波中只需窄帶高斯噪聲，根據(jù)3.5節(jié)的知識(shí)可知，此時(shí)相位服從均勻分布。220222( )exp,02nnnzzAAzf zIz第3章 隨機(jī)過(guò)程圖3-5給出了不同信噪比r=A2/(22n)(信號(hào)平均功率和窄帶高斯噪聲平均功率之比)時(shí)正弦波加窄帶高斯噪聲的f(z)和f(/)曲線。f(/)是在給出條件下畫(huà)出的曲線，并不直接是f()的分布，但從f(/)可以看到合成波r(t)的相位變化的大致規(guī)律。第3章 隨機(jī)過(guò)程圖3-5 正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位分布第3章 隨機(jī)過(guò)程3.7.1 白噪聲白噪聲在通訊系統(tǒng)中，經(jīng)常存在這樣一類噪聲，它的在通訊系統(tǒng)中，經(jīng)常存在這樣一類