高中數(shù)學基礎知識詳解理科

1、第一章 集合與簡易邏輯、推理證明：一、理解集合中的有關概念1、集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性。2、能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法、描述法）描述不同的具體問題。注意：區(qū)分集合中元素的形式。如：；3、常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集； 正整數(shù)集、； 整數(shù)集； 有理數(shù)集； 實數(shù)集； 復數(shù)集4、集合與元素的關系用符號，表示。5、空集是指不含任何元素的集合。 (、和的區(qū)別；0與三者間的關系) 二、集合間的關系及其運算（能利用數(shù)軸或韋恩圖表表達集合的關系及運算。）1、符號“”是表示元素與集合之間關系的，在立體幾何中的有來描述點與直線（面）的關系； 符號“、”是表示集合與集合之間關系的，立體

2、幾何中的、體現(xiàn)面與直線(面)的關系 。2、； 3、 交換律：； ； 結(jié)合律：； 分配律：； ； ； ； ； ； ； ； ； 三、集合中元素的個數(shù)的計算： 1、若集合中有個元素，則集合的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是，所有非空真子集的個數(shù)是2、中元素的個數(shù)的計算公式為：； 例：50名學生做物理、化學實驗，已知物理實驗做得正確的有40人，化學實驗做得正確的有31人，兩種實驗都做得錯誤的有41人，問這兩種實驗都做對的有幾人。四、全稱量詞：“所有的”、“任意一個”、“一切”、“每一個”、“任給”（含有全稱量詞的命題叫做全稱命題）存在量詞：“存在一個”、“至少一個”、“有些”、 “有一個”、“

3、對某些”、“有的”（含有存在量詞的命題叫做特稱命題）全稱命題的否定：的否定：特稱命題的否定：的否定：五、原命題、逆否命題、否命題、逆命題的關系如圖原命題與逆否命題等價，否命題與逆命題等價 否命題和命題的否定不是同一概念，如果原命題是“若則”，那么命題的否定是“若則表示命題，即只否定結(jié)論。六、簡單命題和復合命題邏輯連結(jié)詞“或”、“且”、“非”（ “或”、“且”、“非”與集合的“并”、“交”、“補”有聯(lián)系） 對于“”、“ ”、“ ”形式的復合命題用口訣：“有真或為真、兩真且才真、真非假、假非真”七、充分條件、必要條件、充要條件的概念（判斷步驟：“能否推出”以及“能否推出”、區(qū)分出和是條件還是結(jié)論）

4、滿足條件，滿足條件，若，則是的充分非必要條件（從集合與集合的關系上看）；若，則是的必要非充分條件（從集合與集合的關系上看）；若，則是的充要條件（從集合與集合的關系上看）；若，則是的既非充分又非必要條件（從集合與集合的關系上看）。八、合情推理與演繹推理1、歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理2、類比推理是由特殊到特殊的推理3、歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們統(tǒng)稱為合情推理。4、演繹推是由一般到特殊的推理（其模式是“三段論”）九、直接證明與間接證明1、綜合法：執(zhí)因索果2、分析法：執(zhí)果索因（在使用分析法時，要注意表達“

5、要證，只須證明”）3、在解決具問題時，分析法與綜合法要結(jié)合起來使用，也就是說“兩頭湊”會使問題輕易解決。4、反證法：當證明“若，則”感到困難時，改證它的等價命題“若則”成立 步驟：假設結(jié)論反面成立；從這個假設出發(fā)，推理論證，得出矛盾；由矛盾判斷假設不成立，從而肯定結(jié)論正確。矛盾的來源：與原命題的條件矛盾；導出與假設相矛盾的命題；導出一個恒假命題。十、數(shù)學歸納法：1、數(shù)學歸納法是用來證明關于正整數(shù)命題的一種方法，若是起始值，則是使命題成立的最小正整數(shù)。2、用數(shù)學歸納法證明題目時，其步驟如下： 歸納奠基：當時，驗證命題成立； 歸納遞推：假設當（）時，命題成立，推證時，命題也成立，從而推出對于所有的

6、正整數(shù)命題均成立。（在證明過程中，一定要用到歸納遞推，否則就不是數(shù)學歸納法例：數(shù)學歸納法證明貝努利不等式：（、，為大于1的正整數(shù)）第二章 函數(shù)一、映射與函數(shù)：1、映射的概念：設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中的元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做映射，記作 映射的三要素：集合、，以及從到的對應法則，三者缺一不可。 映射是一種特殊的對應，映射中的集合、可以是數(shù)集也可以是點集或其它集合，這兩個集合有先后次序，從到的映射與從到的映射是截然不同的。 只有“多對一”或“一對一”的對應，能夠成映射，一對多對應不能構(gòu)成映射。2、函數(shù)的概念：函數(shù)是由一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的

7、映射。二、函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應法則。1、相同函數(shù)的判斷方法：相同的定義域；相同的對應法則 (兩點必須同時具備)2、分段函數(shù)：在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。3、函數(shù)的表示法：圖象法、列表法、解析法4、函數(shù)解析式的求法： 定義法（拼湊）； 換元法； 待定系數(shù)法； 賦值法； 消去法； 利用函數(shù)的性質(zhì)例（1）已知，求的解析式。 （2）如果為一次函數(shù)且，求的解析式（3）設是上的函數(shù)，滿足，對任意實數(shù)、，有，求 （4）設是定義在上的一個函數(shù)，且有，求（5）已知函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，當時，求在的解析式。（6）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當

8、時，求當時，的解析式。5、函數(shù)定義域的求法： 當函數(shù)用解析式給出時，函數(shù)的定義域是使解析式有意義的實數(shù)的集合：分式的分母不等于零；偶次方根的被開方數(shù)不小于零；對數(shù)的真數(shù)大于零；指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1 當函數(shù)用圖象給出時，函數(shù)的定義域是指圖象在軸投影所覆蓋的實數(shù)的集合 當函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義哉是指表格中實數(shù)的集合 對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定； 已知原函數(shù)的定義域求復合函數(shù)的定義域； 已知復合函數(shù)的定義域求原函數(shù)的定義域； 已知一復合函數(shù)的定義域求另一復合函數(shù)的定義域； 已知函數(shù)定義域求參數(shù)的取值范圍；例（1）

9、已知函數(shù)的定義域是，求的定義域。（2）已知，求的定義域 （3）已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域 （4）已知函數(shù)的定義域是，求實數(shù)的取值范圍。6、函數(shù)值域的求法： 觀察法：即通過觀察函數(shù)式直接得出函數(shù)的值域，此時經(jīng)常需要運用如下結(jié)論： （） () 其本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式求值域；例：求函數(shù)的值域 利用函數(shù)的單調(diào)性：若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。例：求函數(shù)的值域例：是定義在上的函數(shù)，且滿足下列兩個條件：（）對于任意的、，有（）當時，且，求函數(shù)在上的最大值和最小值。 分離常數(shù)法：對于形如的函數(shù)，我們常采用將其分離出一個常數(shù)，即函數(shù)式變形為：（、為常數(shù)），故函數(shù)的值

10、域為例：求函數(shù)的值域 配方法：對于含二次三項式的函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如： 的形式來求值域。例：（1）求函數(shù) 的值域； （2）求函數(shù)的值域 換元法：對一些無理函數(shù)或超越函數(shù)，通過代換把它化成有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的一些方法可間接地把原函數(shù)的值域求出。（實質(zhì)上是通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，采用化歸思想）例：的值域 三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；例：求函數(shù)的值域 方程法（判別式法）：利用一元二次方程根的判別式求函數(shù)值域的方法。我們知道函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域與對應法則所確定的，根據(jù)這一道理，我們可將函數(shù)式看作關于的方程，再

11、由方程有解的條件求出的范圍；或解出再由函數(shù)的定義對的限制條件，建立關于的不等式，從而可求出函數(shù)的值域，這種方法稱之為方程法。例：求函數(shù)的值域 數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法來求值域。例（1）求函數(shù)的值域。（2）實數(shù)、滿足，求及 導函數(shù)法：例：求函數(shù)（）的值域 已知函數(shù)值域求參數(shù)取值范圍例：已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值3，最小值2，則的取值范圍例：已知函數(shù)，（）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍。（）若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍。三、函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性1、單調(diào)性：（注意定義是相對于某個具體的區(qū)間而言。） 定義：如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個變量、

12、，當時，都有，則稱在這個區(qū)間上是增函數(shù)。如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個變量、，當時，都有，則稱在這個區(qū)間上是減函數(shù)。 函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，且，則函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，且，則 判定方法有：（）定義法（作差比較和作商比較）步驟：取值作差變形定號判斷例：證明在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（）導數(shù)法 例：試討論函數(shù) (、)的單調(diào)性（）復合函數(shù)法（同增異減）例：求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間（） 對于函數(shù)的單調(diào)性：增+增=增，減+減=減（） 圖像法。例：如果奇函數(shù)在區(qū)間（）上是增函數(shù)，且最小值為，那么在區(qū)間上是（ ）A. 增函數(shù)且最小值為 B. 增函數(shù)且最大值為 C. 減函數(shù)且最小值為 D. 減函數(shù)且最大

13、值為2、奇偶性：（注意先判別定義域是否關于原點對稱，后再考察與的關系。） 定義：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，則函數(shù)就叫偶函數(shù)。（圖象關于軸對稱）如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，則函數(shù)就叫奇函數(shù)。（圖象關于原點對稱） 為偶函數(shù)，則 ；函數(shù)為奇函數(shù)，則 奇函數(shù)在關于原點對稱的兩區(qū)間和上的單調(diào)性相同，（圖象關于原點對稱）；偶函數(shù)在關于原點對稱的兩區(qū)間和上的單調(diào)性相反（圖象關于軸對稱） 如果奇函數(shù)在處有定義，則 奇函數(shù)+奇函數(shù)仍是奇函數(shù)，奇函數(shù)奇函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)是偶函數(shù)、偶函數(shù)偶函數(shù)是偶函數(shù) 構(gòu)造奇（偶）函數(shù)的簡單方法：設是定義域關于原點對稱的函數(shù)，則是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)。

14、 判別方法：（）定義法：步驟：先考查定義域是否關于原點對稱，后判斷或是否成立。（）圖像法（）復合函數(shù)法例：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7） （8） （9） 3、周期性： 定義：若函數(shù)對定義域內(nèi)的任意滿足：,則為函數(shù)的周期。 若函數(shù)對定義域內(nèi)的任意滿足：,則為函數(shù)的周期。（區(qū)分：函數(shù)對定義域內(nèi)的任意滿足，則其圖象關于直線對稱） 若函數(shù)在定義域內(nèi)對任意滿足：,則是周期函數(shù)，且為函數(shù)的周期 若函數(shù)滿足，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期 若函數(shù)的圖象關于直線、都對稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期 特例：偶函數(shù)的圖象關于直線對稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期

15、若函數(shù)的圖象既關于，又關于點對稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期特例：奇函數(shù)的圖象關于直線對稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期 若函數(shù)滿足，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期4、抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性、周期性問題。例：定義在上的函數(shù)，對任意的、，有，且，當時，（） 證明：（） 證明：對任意的，恒有（） 證明：是上的增函數(shù)（） 若，求的取值范圍。例：定義在實數(shù)集上的函數(shù)，對任意、，有，且。（1）求證： ；（2）求證：是偶函數(shù)例：設是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關于直線對稱，對任意都有，且，（1）求、；（2）證明是周期函數(shù)，并求出它的一個周期。四、圖形變換：對函數(shù)圖像變換要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握

16、函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律；注意平移變化能夠用向量的語言解釋。1、平移變換： 將的圖象沿軸向左平移個單位（）得到函數(shù)的圖象（用代替） 將的圖象沿軸向右平移個單位（）得到函數(shù)的圖象（用代替） 將的圖象沿軸向上平移個單位（）得到函數(shù)的圖象（用代替） 將的圖象沿軸向下平移個單位（）得到函數(shù)的圖象（用代替）注意：（）有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)經(jīng)過_得到函數(shù)的圖象。 （）會結(jié)合向量的平移，理解按照向量平移的意義。udg2、對稱變換： 函數(shù)的圖象關于軸對稱的圖象是函數(shù) （用代替） 函數(shù)的圖象關于軸對稱的圖象是函數(shù) （用代替） 函數(shù)的圖象關于原點軸對稱的圖象是函數(shù) （用代替、用代替） 函數(shù)的圖象關于直線對

17、稱的圖象是函數(shù)（交換、，反解）涉及反函數(shù)，了解即可 函數(shù)的圖象關于直線對稱的圖象是函數(shù) （用代替） 函數(shù)的圖象關于點對稱的圖象是函數(shù) （用代替、代替） 若函數(shù)滿足，則的圖象關于點對稱3、翻折變換 函數(shù)的圖象是將函數(shù)的圖象軸及軸上方的圖象保留，軸下方的圖象關于軸對稱 函數(shù)的圖象是將函數(shù)的圖象軸及軸右邊的圖象保留，并且將軸右邊部分關于軸對稱4、伸縮變換： 將的圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼模ǎ┍?，而橫坐標不變，得到函數(shù)的圖象 （用代替） 將的圖象上各點的橫坐標變原來的（）倍，而縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象 （用代替）的圖象可由經(jīng)伸縮及平移得到，具體參照三角函數(shù)的圖象變換。五、反函數(shù)：（了解即可）指數(shù)函

18、數(shù)（且）與對數(shù)函數(shù)（且）互為反函數(shù)；它們的圖象關于直線對稱；具有相同的單調(diào)性；指數(shù)函數(shù)的定義域與值域分別是對數(shù)函數(shù)的值域與定義域。六、常用的初等函數(shù)：1、一元一次函數(shù)： ()，當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)。 為使在區(qū)間上的值恒為正，則只要保證和同時成立即可2、一元二次函數(shù)：一般式： ()；對稱軸方程是、頂點為；頂點式：；對稱軸方程是、頂點為；兩點式：；對稱軸方程是；與軸的交點為、； 一元二次函數(shù)的單調(diào)性： ()當時，為減區(qū)間、 為增區(qū)間； 當時，為增區(qū)間、 為減區(qū)間 求二次函數(shù) 在區(qū)間的最值問題：先采用配方法，化為的形式、若頂點的橫坐標在給定的區(qū)間上，即，則當時：在頂點處取得最小值，最大值在

19、距離對稱軸較遠的端點處取得；當時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；、若頂點的橫坐標不在給定的區(qū)間上，即，則當時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；當時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得； 有三個類型題型：(1) 頂點固定，區(qū)間也固定。例：求 的最值(2) 頂點含參數(shù)(即頂點變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。 例：已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，求實數(shù)的值。 (3) 頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù)。例：求 的最值 對形如：，求最值，應想到二次函數(shù)給定區(qū)

20、間求最值 二次方程實數(shù)根的分布問題： 設實系數(shù)一元二次方程（）的兩根為、；則：根的情況、圖象充要條件根的情況、圖象充要條件根的情況或 圖象充要條件從三個方面考慮：（1）判別式的正負；（2）區(qū)間端點函數(shù)值的正負；（3）對稱軸與區(qū)間端點的位置關系。若在閉區(qū)間討論方程有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間上實根分布的情況，得出結(jié)果，再令和檢查端點的情況。3、反比例函數(shù)：，當時，在區(qū)間和上是減函數(shù)；當時，區(qū)間和是增函數(shù)。（注意：切不能說在區(qū)間上是增(減)函數(shù)）。對于函數(shù)可能通過分離常數(shù)，結(jié)合平移知識得到其圖象4、 指數(shù)函數(shù)：（且）指數(shù)運算法則及根式與指數(shù)式的互化： （） （） 當為偶數(shù)時： ； 當為奇數(shù)時：

21、指數(shù)函數(shù)： （且）圖像性質(zhì)1、定義域是 2、值域 3、過點，即時，4、在上是增函數(shù)當時，；當時，4、在上是減函數(shù)當時，；當時，5、對數(shù)函數(shù)：對數(shù)運算法則及換底公式： （） （且） 換底公式：以為底的對數(shù)記為：，稱為自然對數(shù)；以10為底的對數(shù)記為：，稱為常用對數(shù)對數(shù)函數(shù)：（且）圖像性質(zhì)1、定義域： 2、值域： 3、當時，即過定點4、當時，；當時，5、在上是增函數(shù)4、當時，；當時，5、在上是減函數(shù)比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。6、冪函數(shù)： （）性質(zhì)： 所有的冪函在都有意義，并且圖象都通過點（1，1）

22、 冪函數(shù)的圖象：“正拋負雙、大堅小橫” 若，則冪函數(shù)的圖象過點（0，0），并且在區(qū)間上為增函數(shù)， 若，冪函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且其圖象無限接近坐標軸，但不與坐標軸相交。 練習：（1） 求函數(shù)的遞增區(qū)間。（2） 求函數(shù)的遞增區(qū)間。（3） 求函數(shù)的值域。（4） 求函數(shù)（且）的最小值。（5） 若，求函數(shù)的最大值和最小值。（6） 已知關于的方程有實根，求的的取值范圍。（7） 判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性。7、函數(shù) (、) 定義域：； 值域：； 奇偶性：奇函數(shù)；單調(diào)性：增區(qū)間為、；減區(qū)間為：、；漸近線：、8、三次函數(shù)：（）求導得：；計算9、三角函數(shù)參見第五章三角函數(shù)七、函數(shù)與方程的關系1、結(jié)合二次函數(shù)的圖

23、象，知道函數(shù)的零點和方程根的聯(lián)系。2、根的存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根。3、根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解八、函數(shù)模型及其應用1、要知道指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升，指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2、了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應用。九、凹凸函數(shù)：通常我們把圖向下凸的函數(shù)稱為凸函數(shù)，把圖形向上凸的函數(shù)稱為凹函數(shù)。1、設線段所對應的函數(shù)為（），若當時，總有，則稱函數(shù)為凸函數(shù)；若當時，總有

24、，則稱函數(shù)為凸函數(shù)。2、凹凸是與函數(shù)定義域密切相關的，例如在上為凹函數(shù)，在上為凸函數(shù)。3、定義在集合上的函數(shù)滿足：對任意的、，都有，則我們稱是上的凸函數(shù)；對任意的、，都有，則我們稱是上的凹函數(shù)。十、其它補充內(nèi)容： 抽象函數(shù)的性質(zhì)所對應的一些具體特殊函數(shù)模型： 正比例函數(shù)：； 指數(shù)函數(shù)： （且）； 對數(shù)函數(shù)：余弦函數(shù)：第三章 導數(shù)及其應用一、導數(shù)定義二、常用函數(shù)的導數(shù)公式： 這里是常數(shù)。即常數(shù)的導數(shù)值為0。 特別地： 三、求導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則 四、導數(shù)的意義：幾何意義：表示經(jīng)過曲線上的切點的切線的斜率。物理意義：表示即時速度。表示加速度。五、導數(shù)的應用：1、求切線的方程。已知

25、切點時求切線的步驟：求出函數(shù)在點的導數(shù)，即曲線在切點的切線的斜率；再利用點斜式方程為：的可得切線的方程。 若未知切點，根據(jù)需要，可先設切點坐標為，再根據(jù)具體問題用待定系數(shù)法求解例：求過點且與曲線在點處的切線平行的直線方程2、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系在區(qū)間上恒成立區(qū)間上為增函數(shù)區(qū)間上為增函數(shù)區(qū)間上恒在成立單調(diào)區(qū)間的求解過程：已知，先分析的定義域；再求導數(shù) ；最后解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間）。 例：設，點是函數(shù)與的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在處有相同的切線，（1）用表示、； （2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍。3、求極值、求最值。 注意：

26、極值最值。函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 、和極大值中最大的一個。最小值是 、和極小值中最小的一個。 由還不能得到確定當為極值點，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性才能作出判斷。如不是的極值點； 極值點的可能除了使外，還有可能在不可導點處，如 若為極值點則可到 已知，求函數(shù)極值的步驟：先求導數(shù) ；再由方程求出得可疑點（還應包括不可導點）；最后檢查在可疑點處左右的值的符號，從而確函數(shù)的在方程根左右的區(qū)間的單調(diào)性，如果左增右減，那么在這個可疑點處取得極大值，如果左減右增，那么在這個可疑點處取得極小值。 例：已知函數(shù)（）是上的奇函數(shù)，當時，取得極值2，（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值； （2）證明：對任意，不等式恒成立。4、利

27、用導數(shù)證明不等式例：已知，求證：5、刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）可與方程結(jié)合起來例：已知函數(shù)，試證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一根例：已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)（1） 求的表達式； （2）若當時，求使不等式恒成立的最小自然數(shù)（3）是否存在實數(shù)使得關于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍6、導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向。第四章 定積分一、曲邊梯形的面積1、設曲邊梯形是由連續(xù)曲線、軸，與直線、所圍成，如圖，計算時可分為四個步驟：分割、近似代替、求和、取極限。二、定積分1、如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分為個小區(qū)

28、間，在每個小區(qū)間上任取一點（），作和式，當時，上述和式無限趨近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與積分變量的字母無關。即 定義中區(qū)間的分法和的取法都是任意的。 在定積分的定義中，限定下限小于限，即，為了方便計算，可以把定積分的概念擴大，使下限不一定小于上限，并規(guī)定：、2、定積分的性質(zhì)： （）3、定積分的幾何意義：在區(qū)間上，若既可取正值又可取負值時，曲線的某些部分在軸上方，而其他部分在軸下方，如果我們將在軸上方的面積賦予正值，在軸上方的面積賦予負值，那么在一般情形下，定積分的幾何意義是曲線以及直線、與軸所圍成的曲邊梯形的面積的代數(shù)和； 例

29、：計算下列定積分：（1） （2）4、微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：一般地，如果是區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)并且函數(shù)，那么：。 5、基本積分公式： 6、定積的應用： 平面圖形的面積：如果平面圖形由連續(xù)曲線、，與直線、所圍成，那么這塊圖形的面積為： 由曲線以及兩條直線、和軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周面成的旋轉(zhuǎn)體的體積分式為： 變速直線運動的路程：作變速直線運動物體所經(jīng)過的路程等于其速度函數(shù)（）在時間區(qū)間上的定積分，即： 變力作功：一物體沿變力相同方向從移動到時，變力所作的功為：第四章 數(shù)列一、基本概念：數(shù)列的定義及表示方法；數(shù)列的項與項數(shù)；有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；常數(shù)列、遞增（減）數(shù)列、擺動數(shù)列、循環(huán)

30、數(shù)列；通項公式；前項和公式；等差數(shù)列；等差中項；等比數(shù)列；等比中項二、基本公式：1、一般數(shù)列的通項與前項和的關系：，若滿足由推出的，則需要統(tǒng)一“合寫”；若不滿足，則數(shù)列的通項應分段表示。2、等差數(shù)列的通項公式：、 (其中為首項、為已知的第項) 當時，是關于的一次式；當時，是一個常數(shù)。3、等差數(shù)列的前項和公式： 當時，是關于的二次式且常數(shù)項為0；當時（），是關于的正比例式。4、等比數(shù)列的通項公式： (其中為首項、為已知的第項，)5、等比數(shù)列的前項和公式：當時， (是關于的正比例式)；當時， 三、有關等差數(shù)列的結(jié)論1、等差數(shù)列中，若，則2、等差數(shù)列的任意連續(xù)項的和構(gòu)成的數(shù)列、仍為等差數(shù)列。3、分別

31、是等差數(shù)列的前項和、前項和、前項和，則、也成等差數(shù)列。4、兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列、仍為等差數(shù)列。5、等差數(shù)列的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。6、為等差數(shù)列，則 ()是等比數(shù)列。7. 在等差數(shù)列中： 若項數(shù)為，則 若項數(shù)為則， ， 8、兩個等差數(shù)列與的前項和分別為、，則9、看到形如：、應能從中找出相應的等差數(shù)列。四、有關等比數(shù)列的結(jié)論1、等比數(shù)列中，若，則2、等比數(shù)列的任意連續(xù)項的和構(gòu)成的數(shù)列、仍為等比數(shù)列。3、兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列、仍為等比數(shù)列。4、等比數(shù)列的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。5、()是等比數(shù)列，則 (且) 是等差數(shù)列。6. 在等比數(shù)列中： 若

32、項數(shù)為，則 若數(shù)為則，7、看到形如： 、應能從中找出相應的等差數(shù)列。五、求數(shù)列的最大、最小項的方法：1、比差法： 如 2、比商法： () 如 3、利用函數(shù)的單調(diào)性： 研究函數(shù)的增減性 如六、在等差數(shù)列中,有關的最值問題1、鄰項變號法 當、時，滿足 的項數(shù)使得取最大值. 當、時，滿足 的項數(shù)使得取最小值.2、利用（時，是關于的二次函數(shù)）進行配方七、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數(shù)列的通項結(jié)構(gòu)。1、分組法求數(shù)列：通項雖然不是等差等比數(shù)列，但通過拆分可以化為由等差、等比的和的形式，再分別用公式法求和。例：已知數(shù)列的通項為：，求 2、錯位相減法：利用等比數(shù)列

33、前項和公式的推導方法求解，一般可解決一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘所得數(shù)列的求和。 例：已知數(shù)列的通項為：，求 3、裂項相消法：將數(shù)列的通項裂成兩項之差求和時，正負相消，剩下首尾若干若。常見裂項有：、例：已知數(shù)列的通項為：，求 4、倒序相加法：利用等差數(shù)列前項和公式的推導方法求解，將數(shù)列正著寫，倒著寫再相加。例：已知，（、）求在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應用。八、由數(shù)列遞推關系式求通項公式。1、形如型（用累加法）例：已知數(shù)列滿足、，求2、形如型（階差法、參數(shù)法）。例：若數(shù)列滿足、，求3、遞推關系中既含有，又含有型（統(tǒng)一為僅含有項或僅含有和的關系，然后再作處理，依據(jù)是） 例

34、：已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（1）求證：是等差數(shù)列； （2）求的表達式九、有關的思想方法1、從方程的思想上看：利用通項公式和前項和公式及等差數(shù)列的五個量：、（等比數(shù)列的五個量：、）中的三個量可求其余兩個量，即“知三求二”，基本能解決數(shù)列的常規(guī)考題。2、從函數(shù)的思想上看：等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式都可以看作是的函數(shù)，所以等差、等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解.3、從分類討論的思想上看：用等比數(shù)列求和公式應分為 ()及 ()；已知求時，也要進行分類。4、在解數(shù)列問題時，應注意觀察題目中給出條件中“下標”的特點，有時可以更簡便的計算5、在解答有關的數(shù)列應用題時，要認真地進行分析，將實

35、際問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再利用有關數(shù)列知識和方法來解決。解答此類應用題是數(shù)學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯。第六章 不等式一、不等式的基本性質(zhì)：1、反對稱性：若，則2、傳遞性：若，則3、加法單調(diào)性：若，為任意實數(shù)，則4、乘法單調(diào)性：若，為任意實數(shù)，則 若，為任意實數(shù)，則5、不等式相加（指同向不等式）：若，則6、不等式相減（指異向不等式）：若，則7、不等式相乘：若，則8、不等式相除：若，則9、乘方法則：若，且，則10、開方法則：若，且，則11、倒數(shù)法則：若且，則二、均值不等式：兩個數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。1、若、

36、，則 （當且僅當時取等號） 基本變形：； 基本應用：放縮，求函數(shù)最值（常用的方法為：拆、湊、平方；） 注意確?！耙徽ㄈ嗟取?積定和小，和定積大。例：（1）函數(shù)的最小值 。（2） 若正數(shù)滿足，則的最小值 。三、絕對值不等式： 注意：上述等號“”成立的條件； 變式：如果、為實數(shù)，則，當且僅當時取等號四、柯西不等式：1、柯西不等式的向量形式：（當且僅當時取等號）2、（當且僅當時取等號）3、二維形式三角不等式：五、證明不等式常用方法：1、比較法：作差比較：、作差比較的步驟：作差（對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差）；變形，（對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和）；判斷差的符號，（結(jié)合

37、變形的結(jié)果及題設條件判斷差的符號）；得出結(jié)論。注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。此外，有時也用到比商法2、綜合法：執(zhí)因索果。3、分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證只需證，只需證4、反證法：正難則反。5、放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有： 添加或舍去一些項，如：； 將分子或分母放大（或縮?。?利用基本不等式，如：； 利用常用結(jié)論：() ；() ； () 6、換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知，可設、已知，可設、 ()；已知，可設、已知，可設、7、構(gòu)造法：通過構(gòu)造函

38、數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；六、不等式的解法： 1、一元一次不等式： ： 若，則； 若，則； ： 若，則； 若，則；2、一元二次不等式：注重二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式這三個二次之間的聯(lián)系。能根據(jù)二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式；會解簡單的含參數(shù)的不等式，要應用分類討論的的思想；對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖。 例：已知二次函數(shù)（、）滿足且，對于任意實數(shù)都有、（1）證明， （2）設函數(shù)（），求的取值范圍，使函數(shù)上是單調(diào)函數(shù)。3、絕對值不等式：若，則；或； 絕對值的幾何意義：、 解有關絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：（）對絕對值內(nèi)的部分按大于、等

39、于、小于零進行討論去絕對值；若 則；若 則； 若 則；（）通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。（）含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解。 例：解不等式：、4、高次不等式的解法：（穿根法：最高次為正時從右上角開始、最高次為負時從右下角始；奇過偶不過）5、分式不等式的解法：（通常變形為整式不等式，也可考慮用穿根法）6、指數(shù)不等式和對數(shù)不等式（利用函數(shù)的單調(diào)性）6、解含有參數(shù)的不等式： 解含參數(shù)的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論： 不等式兩端乘除一個含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性. 在求解過程中，需

40、要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對它們的底數(shù)進行討論. 在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數(shù)的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況(有時要分析)比較兩個根的大小,設根為、（或更多）但含參數(shù)，要分、討論。7、不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。七、二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃1、了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組。（直線定界、原點定域）2、利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟： 作出可行解、可行域，將約束條件中的每一

41、個不等式當作等式，作出相應的直線，并確定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集； 作出目標函數(shù)的等值線； 求出最終結(jié)果，在可行域內(nèi)平行移動目標等值線，從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解，或者是有無窮最優(yōu)解，或是無最優(yōu)解。3、能從實際情境中抽象簡單的二元線性規(guī)劃問題，并加以解決，其步驟為： 認真分析并掌握實際問題的背景，收集有關數(shù)據(jù)； 將影響問題的各項主要因素作為決策量，設為未知數(shù)； 根據(jù)問題特點，寫出約束條件； 根據(jù)問題特點，寫出目標函數(shù)，并求出最優(yōu)解或其他要求的解。 第七章 三角函數(shù)一、基本概念和定義：正角、負角、零角、角度制、弧度制、象限角、軸上角、正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正

42、弦線、余弦線、正切線二、同角關系：1、倒數(shù)關系：（對角線上的兩個三角函數(shù)值互為倒數(shù)） 2、平方關系：（有陰影部分的三角形上面二個頂點處的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點處的三角函數(shù)值的平方。） 3、商的關系：（正六邊形任意相鄰三個頂點中兩端的三角函數(shù)值的積等于中間的三角函數(shù)值。） 三、誘導公式：奇變偶不變，符號看象限四、三角恒等變換1、兩角和與差的三角函數(shù)（1）正弦的和角公式： （2）正弦的差角公式： （3）余弦的和角公式： （4）余弦的差角公式： （5）由/得正切的和角公式： （6）由/得正切的和角公式： 注：公式有變式：2、二倍角公式：（1）對公式令可得正弦的二倍角公式： 變式1：（萬能公式

43、） 變式2：（1與正弦的配搭）（2）對公式令可得余弦的二倍角公式： 變式1：（萬能公式） 變式2： 變式3：（降冪公式）由公式、變形可得降冪公式： 變式4：（1與余弦的配搭） （3）對公式令可得余弦的二倍角公式：（也可以由公式/再經(jīng)過變形）可得： 正切的半角公式：3、積化和（差）在和（差）角中，由+得： 即 在和（差）角中，由-得：即 在和（差）角中，由+得： 即在和（差）角中，由-得： 即4、和（差）化積令 和，則有和，分別代入、得： 即 即 即 即 (21)5、輔助角公式： （其中輔助角的終邊與點在同一象限，且）五、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像及性質(zhì)五點、草圖定義域值域單調(diào)區(qū)間增：減

44、：增： 減：周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)對稱軸（經(jīng)過最高或最低點且與軸垂直的直線）（經(jīng)過最高或最低點且與軸垂直的直線）對稱中心 （圖像與軸的交點） （圖像與軸的交點）（1）能用五點法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的草圖；利用圖像掌握函數(shù)的二域三性，能找出對稱軸、對稱中心；能利用三角函數(shù)的圖象解簡單的三角方程、三角不等式。（2）了解函數(shù)（）的物理意義，能作出其科圖像，根據(jù)其圖象了掌握其性質(zhì)：振幅，周期, 頻率, 相位，初相（3）函數(shù)的圖像是由函數(shù)經(jīng)過平移、伸縮變換得到的。例：要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像進行怎樣的平移？（4）正切函數(shù)的圖象：利用正切函數(shù)的圖像掌握其二域三性，能找出對稱中心。定義域：； 值

45、域：； 奇函數(shù)； 增區(qū)間：；周期：六、三角函數(shù)的最值 一次型（引入輔助角，化為，再由正弦的取值范圍求之）例：求函數(shù)的最值。 例：求函數(shù)，的最值。二次型（設，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之） 例：求函數(shù)的最值。 形如：（1、由的有界性來限定；2、分離常數(shù)法；3、數(shù)形結(jié)合；）例：求函數(shù)的最值。 形如：（設，化為二次函數(shù)，在閉區(qū)間上求之）例：求函數(shù)的最值。 七、三角變換： 化函數(shù)名變換：通過變換，化異名函數(shù)為同名函數(shù)，或減少函數(shù)名，變函數(shù)名可根據(jù)同角變名或異角變名。（如切割化弦法）例：化簡 化角變換（、）例：已知：，且 、（）求證： 公式變換：兩角和的正切公式的變形： 例：求值 升降冪的變換：倍角

46、公式及其變形例：化簡例：化簡例：求證函數(shù)的最小正周期是： “1”的三角代換。 例：求證：=八、公式、結(jié)論1、弧長、扇形面積公式：、2、同角三角函數(shù)值的大小比較與的大小關系如圖1（陰影部分；無陰影部分）；與0的大小關系如圖2（陰影部分；無陰影部分）；與的大小關系如圖3（陰影部分；無陰影部分）圖3圖2圖13、在中，；4、為銳角的兩個內(nèi)角，則5、為鈍角的兩個銳角，則6、在中,給定、的正弦或余弦值,則角的正弦或余弦有解(即存在)的充要條件是 有解有解因此判斷是否有解,只須考慮的符號即可,了解這一結(jié)論對做選擇題或填空題來說,將十分方便.如: 在中, 中，則= .第八章 解三角形一、正弦定理：（為三角形外

47、接圓半徑） 變式1：（邊化角） 、 變式2：（角化邊）、變式3：（求三角形面積）二、余弦定理： 三、解三形的類型：SSS（先用余弦定理求角）、SAS（先用余弦定理求第三邊）AAS（先用正弦定理求邊）、ASA（用正弦定理求邊）SSA（有可能出現(xiàn)無解、一解、二解，可用正弦定理，也可用余弦定理）四、在中有下列常見知識：1、等邊對等角、等角對等邊、大邊對大角、大角對大邊2、成等差數(shù)列的充要條件是、3、4、給定、的正弦值或余弦值，則的正弦值或余弦值有解的充要條件是：，證明如下：有解有解五、解三形應用的有關名詞、術語：仰角和俯角、方位角、坡角、坡比六、解三形應用要求能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和解決一

48、些與測量和幾何計算有關的實際問題（可以參見必修五中的例題）第九章 向量本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾、立幾等結(jié)合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。一、基本概念：向量、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量（平行向量）、相等向量。二、向量的線性運算1、向量加法 定義 向量加法的三角形法則（首尾相連，首尾連） 向量加法的平行四邊形法則：以向量、為鄰邊作平行

49、四邊形，則向量2、向量減法 定義 向量減法的三角形法則（首首相連，尾連尾，方向指向被減） 向量減法的平行四邊形法則：以向量、為鄰邊作平行四邊形，則向量、，3、實數(shù)與向量積： 定義：實數(shù)與向量的積是一個向量。 ; 當時，與的方向相同； 當時，與的方向相反； 當時，4、運算律： (交換律)、(結(jié)合律)、 、5、三、向量共線的條件：1、平行向量的基本定理：如果，則；如果（），則存在唯一實數(shù)，使2、三點共線四、平面向量基本定理：若、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)、，使得（其中，、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底。當基底、是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了

50、平面直角坐標系。三點共線，這是直線的向量參數(shù)方程式，特別地，當時，為線段的中點。 在平面坐標系中，分別取與軸、軸正方向相同的兩個單位向量、作為基底，對任一向量，有且僅用一對實數(shù)、，使得，則實數(shù)對叫做向量的坐標，叫做向量坐標表示。 在平面坐標系中，若，則，若，則 平面向量的坐標運算若、，則、五、平面向量的數(shù)量積1、向量的夾角：已知兩個非零向量與，作， ，則 （）叫向量與的夾角。2、兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則 其中稱為向量在方向上的投影。3、向量的數(shù)量積的性質(zhì)：若、，則 (為單位向量); (、為非零向量)；;4、向量的數(shù)量積的運算律：； ； 六、定比分點坐標公式：若；、

51、的坐標分別為、；則由向量相等的充要條件易得： （）， 中點坐標公式：七、常見結(jié)論：1、若，則與的中線的共線2、，則與的角平分線的共線3、，則與的角高線的共線八、空間向量中，向量的定義、零向量、平行（共線）向量、向量的長度（模）、相等向量與平面向量中定義完全一致?？臻g向量的線性運算及運算律同平面向量一致?？臻g向量的坐標運算與平面向量相類似，只是擴展到三維，空間向量基本定理：如果三個向量、不共面，那么空間任一向量，存在唯一有序數(shù)組、，使得第十章 立體幾何一、柱、錐 、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征及有關的計算公式。（有關柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應以公式法為基礎，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關的幾何元素。要注意運用好“平面化”的方法）1、棱柱 掌握棱柱的定義、分類，理解直棱柱、正棱柱的性質(zhì)。 掌握長方體的對角線的性質(zhì)。 平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體這些幾何體之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及它們的特有性質(zhì)。 各側(cè)面的面積和。2、棱錐 棱錐的定義、分類、理解正棱錐的定義（底面是正多邊形，頂點