定解條件和定解問題

1、定解條件和定解問題含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程.方程的分?jǐn)?shù)是1的稱為方程式，個數(shù)多于1的叫做方程組.方程（組）中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為方程（組）的階數(shù).如果方程（組）中的項關(guān)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的整體來講是線性的，就稱方程（組）為線性的，否則就稱為非線性的。非線性又分為半線性、擬線性和完全非線性。一、定解條件給定一個常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求滿足方程，即滿足某種物理定律,而不能完全確定一個物理狀態(tài).特解除了要求滿足方程還要滿足給定的外加（特殊）條件.對偏微分方程也是如此,換句話說,只有偏微分方程還不足以確定一個

2、物理量隨空間和時間的變化規(guī)律，因為在特定情況下這個物理量還與它的初始狀態(tài)和它在邊界受到的約束有關(guān)。描述初始時刻的物理狀態(tài)和邊界的約束情況，在數(shù)學(xué)上分別稱為初始條件（或初值條件）和邊界條件（或邊值條件），他們統(tǒng)稱為定解條件。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件，即描述物理過程初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件，即描述物理過程邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)條件。定解條件：初始條件和邊界條件的統(tǒng)稱。非穩(wěn)態(tài)問題:定解條件包括初始條件和邊界條件穩(wěn)態(tài)問題：定解條件為邊界條件。21、弦振動萬程(uttauxxf(x,t),0xl,t0)初始條件是指初始時刻(t0

3、)弦的位移和速度。若以(x),(x)分別表示弦上任意點(diǎn)x的初始位移和初始速度，則初始條件為:u (x, 0)ut(x, 0)(x),(x),邊界條件是指弦在兩端點(diǎn)的約束情況，一般有三種類型。(1)第一類邊界條件(狄利克雷(Dirichlet)邊界條件)：已知端點(diǎn)xa(ao或al)處弦的位移是ga(t),則邊界條件為：u(0,t)g(0,t)或u(l,t)g(l,t)當(dāng)g0(t)0或gl(t)0時，表示在該點(diǎn)處弦是固定的.(2)第二類邊界條件(諾伊曼(Neuman3邊界條件)：已知端點(diǎn)x0或xl處弦所受的垂直于弦線的外力g0(t)或gl(t),則邊界條件為：Tux(0,t)g0(t)或Tux(l

4、,x)gl(t)當(dāng)g00或gl(t)0時，表示弦在端點(diǎn)x0或xl處自由滑動。(3)第三類邊界條件(混合邊界條件或羅賓(Robin)邊界條件：已知端點(diǎn)處弦的位移和所受的垂直于弦線的外力的和：Tux(0,t)k0u(0,t)g0(t),k00,Tux(l,t)klu(l,t)g(t),kl0,其中k0和ki表示兩端支承的彈性系數(shù),當(dāng)g0(t)0或gi(t)0時，表示弦在該端點(diǎn)處被固定在一個彈性支承上。2、熱傳導(dǎo)方程(uta2Auf(x,t),x氏,to)初始條件是指初始時刻物體內(nèi)的溫度分布情況。T(x,y,z,0)(x,y,z)式中小(x,y,z)為已知函數(shù)，表示溫度在初始時刻的分布。邊界條件是指

5、邊界上溫度受周圍介質(zhì)的影響情況，可分為三種。(1)第一類邊界條件：介質(zhì)表面溫度已知T|S0(p,t)式中，p為邊界面上的點(diǎn)(2)第二類邊界條件：通過介質(zhì)表面單位面積的熱流量己知。TKconstnTnsf(P,t)(3)第三類邊界條件：邊界面與周圍空間的熱量交換規(guī)律已知qn(TTo)(為熱交換系數(shù))由熱量守恒定律可知，這個熱量等于單位時間內(nèi)流過單位面積上的熱量。KU(T項,ThT.f(P,t)3、位勢方程(泊松方程或拉普拉斯方程)對于穩(wěn)態(tài)問題,變量不隨時間發(fā)生變化。定解條件不含初始條件，只有邊界條件。第一邊值問題，狄利克萊問題(狄氏問題)Isf(P)第二邊值問題，牛曼問題f(p)ns第三邊值問題

6、(混合問題)魯賓問題一hf(P)ns聲振動是研究聲源與聲波 場之間的關(guān)系定解問題熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度 場之間的關(guān)系二、定解問題泊松方程表示的是電勢(或電場)和電荷分布之、間的關(guān)系一個方程匹配上定解條件就構(gòu)成定解問題。對于定解問題,通常由于定解條件的差異有下面的三種提法：偏微分方程（泛定方程）+初始條件+邊界條件，稱為初邊值問題或混合問題；偏微分方程（泛定方程）+初始條件，稱為初值問題或柯西問題；偏微分方程（泛定方程）邊界條件，稱為邊值問題.在一個偏微分方程的定解問題中，把不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項，稱為自由項.如果方程中的自由項為零，則稱方程為齊次方程，否則就稱為非齊次方程。如果邊界條件中的

7、自由項為零,則稱邊界條件為齊次邊界條件，否則就稱為非齊次邊界條件.例如，對于弦振動方程，當(dāng)外力等于零時，方程就變?yōu)辇R次方程，此時也稱它為弦的自由振動方程；當(dāng)弦的兩端固定時，邊界條件就是齊次邊界條件。三、例題1、長為l的弦，兩端固定于0和l.在中點(diǎn)位置將弦沿著橫向拉開距離h,如圖所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件.l/2lx解：初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有Ut（x,t）|t002hx初始位移u(x,t)|t01羽11x)1 x 0,2 x j端自由。電梯在下降過程中,當(dāng)速度為桿振動的定解問題。2ut2u(x,0)u(0,t)22 Ua 1,x0,ut(x,0)Ux(1,t)0,(0,l),t四、總