中考數(shù)學(xué)專題：正方形在二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題(解析版)

1、專題35 正方形在二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題1、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx+4與拋物線yx2+bx+c（b，c是常數(shù)）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C（1）求該拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），如圖2，若點(diǎn)P在直線AB上方，連接OP交AB于點(diǎn)D，求的最大值；如圖3，若點(diǎn)P在x軸的上方，連接PC，以PC為邊作正方形CPEF，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變當(dāng)頂點(diǎn)E或F恰好落在y軸上，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1） ；（2）；P點(diǎn)坐標(biāo)（，），（， ），（，2 ）（，2 ）【思路引導(dǎo)】（1）利用直線解析式求

2、出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）作PFBO交AB于點(diǎn)F，證PFDOBD，得比例線段，則PF取最大值時(shí)，求得的最大值；（3）（i）點(diǎn)F在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明CPHFCO，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PH=CO=2，然后利用二次函數(shù)解析式求解即可；（ii）點(diǎn)E在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PKx軸于K，作PSy軸于S，同理可證得EPSCPK，可得PS=PK，則P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)E在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PMx軸于M，作PNy軸于N，同理可證得PENPCM，可得PN=PM，則P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)【解析】解：（1）直線y

3、x+4與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)x0時(shí)，y4，x4時(shí)，y0，A（4，0），B（0，4），把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，解得，拋物線的解析式為 ；（2）如圖1，作PFBO交AB于點(diǎn)F，PFDOBD，OB為定值，當(dāng)PF取最大值時(shí)，有最大值，設(shè)P（x，），其中4x0，則F（x，x+4），PF，且對(duì)稱軸是直線x2，當(dāng)x2時(shí)，PF有最大值，此時(shí)PF2，；點(diǎn)C（2，0），CO2，（i）如圖2，點(diǎn)F在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于H，在正方形CPEF中，CPCF，PCF90°，PCH+OCF90°，PCH+HPC90°，HPCOCF，在CPH和FCO中，CPHFCO（AAS），

4、PHCO2，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，解得，（ii）如圖3，點(diǎn)E在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PKx軸于K，作PSy軸于S，同理可證得EPSCPK，PSPK，P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，解得x2（舍去），x2，如圖4，點(diǎn)E在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PMx軸于M，作PNy軸于N，同理可證得PENPCMPNPM，P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，解得，（舍去），綜合以上可得P點(diǎn)坐標(biāo)（，），（， ），（，2 ）（，2 ）【方法總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類討論2、如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)是軸的正半軸上一點(diǎn)，

5、將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線求拋物線的函數(shù)表達(dá)式:若拋物線與拋物線在軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】；四邊形可以為正方形，【解析】解： 將三點(diǎn)代入得解得；如圖關(guān)于對(duì)稱的拋物線為當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有解得: 當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有解得:；四邊形可以為正方形由題意設(shè)，是拋物線第一象限上的點(diǎn)解得:(舍去)即如圖作，于，于四邊形為正方形易證為將代入得解得:(舍去)當(dāng)時(shí)四邊形為正方形.3、如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為

6、，設(shè)點(diǎn)是軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線求拋物線的函數(shù)表達(dá)式:若拋物線與拋物線在軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】；四邊形可以為正方形，【解析】解： 將三點(diǎn)代入得解得；如圖關(guān)于對(duì)稱的拋物線為當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有解得: 當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有解得:；四邊形可以為正方形由題意設(shè)，是拋物線第一象限上的點(diǎn)解得:(舍去)即如圖作，于，于四邊形為正方形易證為將代入得解得:(舍去)當(dāng)時(shí)四邊形為正方形.4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二

7、次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)（1）求這個(gè)二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式（2）連接PO，PC，并將POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POPC，如果四邊形POPC為菱形,求點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）如果點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使得以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1）y=x22x3（2）（2）（2+102，-32）（3）P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4）【解析】（1）將B、C點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得：9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3，這

8、個(gè)二次函數(shù)yx2+bx+c的解析式為yx22x3；（2）四邊形POPC為菱形，OC與PP互相垂直平分，yP=OC2=32，即x22x3=32，解得：x1=2+102，x2=2102（舍），P（2+102，32）；（3）PBC90°，分兩種情況討論：如圖1，當(dāng)PCB90°時(shí)，過(guò)P作PHy軸于點(diǎn)H，BC的解析式為yx3，CP的解析式為yx3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，3m），將點(diǎn)P代入代入yx22x3中，解得：m10（舍），m21，即P（1，4）；AO1，OC3，CB=32+32=32，CP=12+（4+3）2=2，此時(shí)BCCP=COAO=3，AOCPCB；如圖2，當(dāng)BPC90

9、76;時(shí)，作PHy軸于H，作BDPH于DPCPB，PHCBDP，PHHC=BDPD設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m22m3），則PH=m，HC=（m22m3）（3）=m2+2m，BD=（m22m3），PD=3m，mm2+2m=(m22m3)3m，1m2=(m+1)，解得：m=1+52或152（舍去）當(dāng)m=1+52時(shí)，m22m3=5+52PHCBDP，PCPB=HCPD=m2+2m3m=5155=15=55COAO =3，以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與AOC不相似綜上所述：P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4）5、如圖，在平面直角些標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0

10、），C（2，0），與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）為拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有 個(gè)【答案】（1），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）；（2）最小值為；（3）5個(gè)【解析】(1)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)C(2，0)，解得：，二次函數(shù)的表達(dá)式為，y=，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()；(2)如圖，連接AB，作DHAB于H，交OB于P，此時(shí)PB+PD最小理由：OA=1，OB=，ABO=30°，PH=PB，PB

11、+PD=PH+PD=DH，此時(shí)PB+PD最短(垂線段最短);拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()，ABO=30°，HAD=60°，在RtADH中，AHD=90°，AD=，HAD=60°，sin60°=，DH=，PB+PD的最小值為；(3)以A為圓心AB為半徑畫弧，因?yàn)锳BAD，故此時(shí)圓弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且AM=AB，即M點(diǎn)存在兩個(gè)，所以滿足條件的N點(diǎn)有兩個(gè)；以B為圓心AB為半徑畫弧，因?yàn)椋蚀藭r(shí)圓弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且BM=AB，即M點(diǎn)有兩個(gè)，所以滿足條件的N點(diǎn)有兩個(gè)；線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM=BM，因?yàn)镸點(diǎn)有一個(gè)，所以滿足條件

12、的N點(diǎn)有一個(gè)；則滿足條件的N點(diǎn)共有5個(gè)，故答案為：56、已知，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，y軸右側(cè)部分拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線交直線l1于點(diǎn)D.（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，C在第一象限，求以CD為直徑的E的最大面積，并判斷此時(shí)E與拋物線的對(duì)稱軸是否相切？若不相切，求出使得E與該拋物線對(duì)稱軸相切時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)y=x2+2x+3；（2）不相切， C的橫

13、坐標(biāo)分別為2和5172；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）. 【解析】解：（1）直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，可得A點(diǎn)（3，0），B點(diǎn)（0，3），將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c，可得0=9+3b+c3=c，可得b=2，c=3拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x2+2x+3；（2）可得拋物線對(duì)稱軸為：x=b2a=1， C在第一象限,以CD為直徑的E的最大面積，即CD最長(zhǎng)時(shí)，圓的面積最大，設(shè)直線CD的橫坐標(biāo)為t，0t3，D點(diǎn)坐標(biāo)（t，-t+3），C點(diǎn)坐標(biāo)（t，-t2+2t+3）， |CD|=-t2+2t+3-(-t+3)= -t2+3t（0t3）

14、，當(dāng)t=b2a=32時(shí)，CD最長(zhǎng)，此時(shí)CD最長(zhǎng)為94，此時(shí)圓E的半徑為98，此時(shí)CD與對(duì)稱軸的距離為32-1=1298，故不相切.當(dāng)CD在對(duì)稱軸右邊時(shí)，即1t3時(shí)|CD|= -t2+3t（1t3）；圓E的半徑為t-1，可得|CD|=2r；-t2+3t=2（t-1），解得：t1=-1（舍去）；t2=2；當(dāng)CD在對(duì)稱軸左邊時(shí)，即即0t1時(shí)，有-t2+3t=2（1-t），解得：t1=5+172（舍去），t2=5172；綜上所述：t=2或t=5172，E與該拋物線對(duì)稱軸相切. (3)存在，由菱形性質(zhì)可得M點(diǎn)坐標(biāo)（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）.7、如圖，二次函數(shù)y=x2+3x+

15、m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(4,0)，另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸相交于C點(diǎn)（1）求m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得它與B，C兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大，若存在，求出此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由（3）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為Q，當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出答案)；【答案】(1)m=4, C(0,4)(2) 存在, M(2,6)(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+5,1+5)或(15,15)【解析】解：(1) 將點(diǎn)B(4,0)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=x2+3x+m，即42+3×4+m=0，解得m=4，故二次函數(shù)解析式為y=

16、x2+3x+4，令x=0，解得y=4，故C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4);(2)存在，理由：B(4,0)，C(0,4)直線BC的解析式為y=x+4，當(dāng)直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，MBC面積最大，y=x+4+by=x2+3x+4整理得：x24x+b=0=164b=0，b=4x=2y=6M(2,6)(3)如圖2、圖3所示，連接PQ交BC于點(diǎn)G。因?yàn)樗倪呅蜳BQC是菱形，所以G為BC的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,4)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得G點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，由(2)可知直線BC的解析式為y=x+4，由于PGBC，所以設(shè)直線PG的解析式為y=x+b，將G(2,2)代入，

17、求得直線PG的解析式為y=x，將直線PG的解析式與拋物線解析式聯(lián)立得：y=x2+3x+4y=x，消去y得：x=x2+3x+4，解得：x=1±5，將x=1+5代入直線PG的解析式得y=1+5，將x=15代入直線PG的解析式得y=15，故當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+5,1+5)或(15,15).8、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(4，t)(t0)二次函數(shù)yx2bx(b0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)D.(1)當(dāng)t12時(shí)，頂點(diǎn)D到x軸的距離等于_；(2)點(diǎn)E是二次函數(shù)yx2bx(b0)的圖象與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)O不重

18、合)求OE·EA的最大值及取得最大值時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式；(3)矩形OABC的對(duì)角線OB，AC交于點(diǎn)F，直線l平行于x軸，交二次函數(shù)yx2bx(b0)的圖象于點(diǎn)M，N，連結(jié)DM，DN.當(dāng)DMNFOC時(shí)，求t的值【解析】 (1)將B點(diǎn)坐標(biāo)(4，12)代入yx2bx求出二次函數(shù)關(guān)系式，再用配方法或二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解決問(wèn)題；(2)分別用含b的代數(shù)式表示OE，AE的長(zhǎng)，再運(yùn)用二次函數(shù)的求最值的方法(配方法)求出OE·EA的最大值；(3)由DMNFOC可得MNCOt，再分別用含b，t的代數(shù)式表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，將點(diǎn)M或點(diǎn)N的坐標(biāo)代入yx2bx就可以求出t的值解：(2)二次函數(shù)y

19、x2bx與x軸交于點(diǎn)E，E(b，0)OEb，AE4b.OE·EAb(b4)b24b(b2) 24.當(dāng)b2時(shí)，OE·EA有最大值，其最大值為4.此時(shí)b2，二次函數(shù)表達(dá)式為yx22x；第1題答圖(3)如答圖，過(guò)D作DGMN，垂足為G，過(guò)點(diǎn)F作FHCO，垂足為H.DMNFOC，MNCOt，DGFH2.D，N，即N.把x，y代入yx2bx，得b·，解得t±2，t0，t2.9、如圖所示，直線ykxm分別交y軸，x 軸于A(0，2)，B(4，0)兩點(diǎn)，拋物線yx2bxc過(guò)A，B兩點(diǎn)(1)求直線和拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)N(x，y)是(1)所得拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

20、N作直線MN垂直x軸交直線AB于點(diǎn)M，若點(diǎn)N在第一象限內(nèi)試問(wèn)：線段MN的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在(2)的情況下，以A，M，N，D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)【解析】 (1)由直線ykxm分別交y軸、x 軸于A(0，2)，B(4，0)兩點(diǎn)，拋物線yx2bxc過(guò)A，B兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得直線和拋物線的表達(dá)式；(2)假設(shè)xt時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度是最大值，可得M，N，則可得MNt24t(t2)24，然后由二次函數(shù)的最值問(wèn)題，求得答案；(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得答案解：(1)直線ykxm分別交y軸，x 軸于A(0，2

21、)，B(4，0)兩點(diǎn)，解得直線的表達(dá)式為yx2，將A(0，2)，B(4，0)分別代入拋物線，得解得拋物線的表達(dá)式為yx2x2；(2)存在假設(shè)xt時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度是最大值，由題意，得M，N，MNt24t(t2)24，當(dāng)t2時(shí)，MN有最大值4；第2題答圖(3)由題意可知，D的可能位置有如答圖三種情形當(dāng)D在y軸上時(shí)，設(shè)D的坐標(biāo)為(0，a)，由ADMN，得|a2|4，解得a16，a22，D(0，6)或D(0，2)；當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知D為D1N與D2M的交點(diǎn)，直線D1N的表達(dá)式為yx6，直線D2M的表達(dá)式為yx2，由兩方程聯(lián)立解得D(4，4)綜上可得，D的坐標(biāo)為(0，6)，(0，2)或(4，4

22、)10、如圖所示，拋物線yx26x交x軸正半軸于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸MB交x軸于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C(2，0)作射線CD交MB于點(diǎn)D(D在x軸上方)，OECD交MB于點(diǎn)E，EFx軸交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作直線MF.(1)求點(diǎn)A，M的坐標(biāo)；(2)當(dāng)BD為何值時(shí)，點(diǎn)F恰好落在該拋物線上？(3)當(dāng)BD1時(shí)，求直線MF的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)A是否落在該直線上；延長(zhǎng)OE交FM于點(diǎn)G，取CF中點(diǎn)P，連結(jié)PG，F(xiàn)PG，四邊形DEGP，四邊形OCDE的面積分別記為S1，S2，S3，則S1S2S3_348_.解：(1)令y0，則x26x0，解得x10，x26，A(6，0)，對(duì)稱軸是直線x3，M(3，9)；(2)OECF，

23、OCEF，C(2，0)，EFOC2，BC1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)F落在拋物線yx26x上，F(xiàn)(5，5)，BE5.，DE2BD，BE3BD，BD；(3)當(dāng)BD1時(shí)，BE3，F(xiàn)(5，3)第3題答圖設(shè)MF的表達(dá)式為ykxb，將M(3，9)，F(xiàn)(5，3)代入，得解得y3x18.當(dāng)x6時(shí)，y3×6180，點(diǎn)A落在直線MF上；BD1，BC1，BDC為等腰直角三角形，OBE為等腰直角三角形，CD，CFOE3，DP，PF，根據(jù)MF及OE的表達(dá)式求得點(diǎn)G的坐標(biāo)為，如答圖，過(guò)點(diǎn)G作GNEF交EF于點(diǎn)N，則ENGN，EG，SFPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面積比等于底之比，故SFP

24、GS梯形DEGPS梯形OCDEPF(DPEG)(DCOE)2424348.11、如圖所示，拋物線yax2bx3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC3OB.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D在y軸上，且BDOBAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 (1)本題需先根據(jù)已知條件，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即OC，進(jìn)而根據(jù)OC3OB求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)過(guò)A，B兩點(diǎn)，即可得出結(jié)果；(2)過(guò)點(diǎn)B作BEx軸交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由BDOBAC

25、，BODBEA90°得到RtBDO和RtBAE相似，得到OD，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)根據(jù)題意可知N點(diǎn)在對(duì)稱軸x1上，而A，B，M，N四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形符合題意的有三種情況：BMAN，AMBN；BNAM，ABMN；BMAN，ABMN，然后根據(jù)平行直線k相同可以得到點(diǎn)M的坐標(biāo)解：(1)令x0，由yax2bx3，得y3，C(0，3)，OC3，又OC3OB，OB1，B(1，0)，把點(diǎn)B(1，0)和A(2，3)分別代入yax2bx3，得 解得該二次函數(shù)的表達(dá)式為yx22x3.(2)如答圖，過(guò)點(diǎn)B作BEx軸交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.BDOBAC，BODBEA90°，RtBDORtBAE

26、，ODOBAE：BE，OD133，OD1，D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)或(0，1) 第4題答圖 第4題答圖(3)如答圖，M1(0，3)，M2(2，5)，M3(4，5)12、如圖所示，頂點(diǎn)為的拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)M(2，0) 原圖 備用圖(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)A是拋物線與x軸的交點(diǎn)(不與點(diǎn)M重合)，點(diǎn)B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是直線yx1上一點(diǎn)(處于x軸下方)，點(diǎn)D是反比例函數(shù)y(k>0)圖象上一點(diǎn)若以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求k的值【解析】 (1)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)頂點(diǎn)式為 ya，再把點(diǎn)M(2，0)代入，可求a1，所以拋物線的表達(dá)式可求；(2)先分別求出A，

27、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，及AB的長(zhǎng)，再根據(jù)反比例函數(shù)y(k>0)，考慮點(diǎn)C在x軸下方，故點(diǎn)D只能在第一、三象限確定菱形有兩種情形：菱形以AB為邊，如答圖，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)N，因此，BDNGAO45°，BDAB，從而求出DN，NO，即D的坐標(biāo)可求，從而k可求 菱形以AB為對(duì)角線，如答圖，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，與x軸交于點(diǎn)F，與過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線交于點(diǎn)E，可證DBE是等腰直角三角形，所以設(shè)BEDEx，則DFx2，DBx，在RtADF中，ADBDx，AFx1，利用勾股定理，構(gòu)造關(guān)于x的方程，求出x，則D點(diǎn)坐標(biāo)(x，x2)可求，k可求解：(1)依題意可設(shè)拋物線為ya，將點(diǎn)M(2，0)

28、代入可得a1，拋物線的表達(dá)式為yx2x2；(2)當(dāng)y0時(shí)，x2x20，解得x11，x22，A(1，0)，當(dāng)x0時(shí)，y2，B(0，2)在 RtOAB 中，OA1，OB2，AB.設(shè)直線 y x1 與 y 軸的交點(diǎn)為點(diǎn) G，易求 G(0，1)，RtAOG為等腰直角三角形，AGO45°.點(diǎn) C 在 yx1 上且在 x 軸下方，而 k>0，y的圖象位于第一、三象限，故點(diǎn) D 只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下兩種情況：第5題答圖菱形以 AB 為邊且 AC 也為邊，如答圖所示，過(guò)點(diǎn) D 作 DNy 軸于點(diǎn) N，在 RtBDN 中，DBNAGO 45°，DNBN，D，點(diǎn)D在y(k>0)的圖象上，k×.菱形以 AB 為對(duì)角線，如答圖所示，作 AB 的垂直平分線 CD 交直線 y x1 于點(diǎn) C，交 y的圖象于點(diǎn)D再分別過(guò)點(diǎn) D，B 作 DEx 軸于點(diǎn) F，BEy 軸，DE 與 BE 相交于點(diǎn) E.在 RtBDE 中，同可證AGODBO BDE 45°，BEDE.設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(x，x2)第5題答圖BE2DE2BD2，BDBE x.四邊形ACBD是菱形，ADBDx.在RtADF中，AD2AF2DF2，(x)2(x1)2(x2)2，解得x，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在y(k>0)的圖象上，k.綜上所述，k