中考數(shù)學專題：正方形在二次函數(shù)中的綜合問題(解析版)

1、專題35 正方形在二次函數(shù)中的綜合問題1、如圖1，在平面直角坐標系中，直線yx+4與拋物線yx2+bx+c（b，c是常數(shù)）交于A、B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上設拋物線與x軸的另一個交點為點C（1）求該拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動點（不與點A、B重合），如圖2，若點P在直線AB上方，連接OP交AB于點D，求的最大值；如圖3，若點P在x軸的上方，連接PC，以PC為邊作正方形CPEF，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變當頂點E或F恰好落在y軸上，直接寫出對應的點P的坐標【答案】（1） ；（2）；P點坐標（，），（， ），（，2 ）（，2 ）【思路引導】（1）利用直線解析式求

2、出點A、B的坐標，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）作PFBO交AB于點F，證PFDOBD，得比例線段，則PF取最大值時，求得的最大值；（3）（i）點F在y軸上時，過點P作PHx軸于H，根據(jù)正方形的性質可證明CPHFCO，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PH=CO=2，然后利用二次函數(shù)解析式求解即可；（ii）點E在y軸上時，過點PKx軸于K，作PSy軸于S，同理可證得EPSCPK，可得PS=PK，則P點的橫縱坐標互為相反數(shù)，可求出P點坐標；點E在y軸上時，過點PMx軸于M，作PNy軸于N，同理可證得PENPCM，可得PN=PM，則P點的橫縱坐標相等，可求出P點坐標【解析】解：（1）直線y

3、x+4與坐標軸交于A、B兩點，當x0時，y4，x4時，y0，A（4，0），B（0，4），把A，B兩點的坐標代入解析式得，解得，拋物線的解析式為 ；（2）如圖1，作PFBO交AB于點F，PFDOBD，OB為定值，當PF取最大值時，有最大值，設P（x，），其中4x0，則F（x，x+4），PF，且對稱軸是直線x2，當x2時，PF有最大值，此時PF2，；點C（2，0），CO2，（i）如圖2，點F在y軸上時，過點P作PHx軸于H，在正方形CPEF中，CPCF，PCF90°，PCH+OCF90°，PCH+HPC90°，HPCOCF，在CPH和FCO中，CPHFCO（AAS），

4、PHCO2，點P的縱坐標為2，解得，（ii）如圖3，點E在y軸上時，過點PKx軸于K，作PSy軸于S，同理可證得EPSCPK，PSPK，P點的橫縱坐標互為相反數(shù)，解得x2（舍去），x2，如圖4，點E在y軸上時，過點PMx軸于M，作PNy軸于N，同理可證得PENPCMPNPM，P點的橫縱坐標相等，解得，（舍去），綜合以上可得P點坐標（，），（， ），（，2 ）（，2 ）【方法總結】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，全等三角形的判定與性質以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正方形的性質的應用，解題的關鍵是正確進行分類討論2、如圖1在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于兩點，頂點為，設點是軸的正半軸上一點，

5、將拋物線繞點旋轉，得到新的拋物線求拋物線的函數(shù)表達式:若拋物線與拋物線在軸的右側有兩個不同的公共點，求的取值范圍如圖2，是第一象限內拋物線上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點在拋物線上的對應點，設是上的動點，是上的動點，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請說明理由【答案】；四邊形可以為正方形，【解析】解： 將三點代入得解得；如圖關于對稱的拋物線為當過點時有解得: 當過點時有解得:；四邊形可以為正方形由題意設，是拋物線第一象限上的點解得:(舍去)即如圖作，于，于四邊形為正方形易證為將代入得解得:(舍去)當時四邊形為正方形.3、如圖1在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于兩點，頂點為

6、，設點是軸的正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉，得到新的拋物線求拋物線的函數(shù)表達式:若拋物線與拋物線在軸的右側有兩個不同的公共點，求的取值范圍如圖2，是第一象限內拋物線上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點在拋物線上的對應點，設是上的動點，是上的動點，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請說明理由【答案】；四邊形可以為正方形，【解析】解： 將三點代入得解得；如圖關于對稱的拋物線為當過點時有解得: 當過點時有解得:；四邊形可以為正方形由題意設，是拋物線第一象限上的點解得:(舍去)即如圖作，于，于四邊形為正方形易證為將代入得解得:(舍去)當時四邊形為正方形.4、如圖，在平面直角坐標系中，二

7、次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，3），點P是直線BC下方拋物線上的任意一點（1）求這個二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式（2）連接PO，PC，并將POC沿y軸對折，得到四邊形POPC，如果四邊形POPC為菱形,求點P的坐標（3）如果點P在運動過程中，能使得以P、C、B為頂點的三角形與AOC相似，請求出此時點P的坐標【答案】（1）y=x22x3（2）（2）（2+102，-32）（3）P、C、B為頂點的三角形與AOC相似，此時點P的坐標（1，4）【解析】（1）將B、C點代入函數(shù)解析式，得：9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3，這

8、個二次函數(shù)yx2+bx+c的解析式為yx22x3；（2）四邊形POPC為菱形，OC與PP互相垂直平分，yP=OC2=32，即x22x3=32，解得：x1=2+102，x2=2102（舍），P（2+102，32）；（3）PBC90°，分兩種情況討論：如圖1，當PCB90°時，過P作PHy軸于點H，BC的解析式為yx3，CP的解析式為yx3，設點P的坐標為（m，3m），將點P代入代入yx22x3中，解得：m10（舍），m21，即P（1，4）；AO1，OC3，CB=32+32=32，CP=12+（4+3）2=2，此時BCCP=COAO=3，AOCPCB；如圖2，當BPC90

9、76;時，作PHy軸于H，作BDPH于DPCPB，PHCBDP，PHHC=BDPD設點P的坐標為（m，m22m3），則PH=m，HC=（m22m3）（3）=m2+2m，BD=（m22m3），PD=3m，mm2+2m=(m22m3)3m，1m2=(m+1)，解得：m=1+52或152（舍去）當m=1+52時，m22m3=5+52PHCBDP，PCPB=HCPD=m2+2m3m=5155=15=55COAO =3，以P、C、B為頂點的三角形與AOC不相似綜上所述：P、C、B為頂點的三角形與AOC相似，此時點P的坐標（1，4）5、如圖，在平面直角些標系中，二次函數(shù)yax2+bx的圖象經過點A（1，0

10、），C（2，0），與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點的坐標；（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一個動點，若平面內存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有 個【答案】（1），拋物線的頂點坐標為（）；（2）最小值為；（3）5個【解析】(1)二次函數(shù)的圖象經過點A(1，0)C(2，0)，解得：，二次函數(shù)的表達式為，y=，拋物線的頂點坐標為()；(2)如圖，連接AB，作DHAB于H，交OB于P，此時PB+PD最小理由：OA=1，OB=，ABO=30°，PH=PB，PB

11、+PD=PH+PD=DH，此時PB+PD最短(垂線段最短);拋物線的頂點坐標為()，ABO=30°，HAD=60°，在RtADH中，AHD=90°，AD=，HAD=60°，sin60°=，DH=，PB+PD的最小值為；(3)以A為圓心AB為半徑畫弧，因為ABAD，故此時圓弧與對稱軸有兩個交點，且AM=AB，即M點存在兩個，所以滿足條件的N點有兩個；以B為圓心AB為半徑畫弧，因為，故此時圓弧與對稱軸有兩個交點，且BM=AB，即M點有兩個，所以滿足條件的N點有兩個；線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM=BM，因為M點有一個，所以滿足條件

12、的N點有一個；則滿足條件的N點共有5個，故答案為：56、已知，在平面直角坐標系內一直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c經過A、B兩點，y軸右側部分拋物線上有一動點C，過點C作y軸的平行線交直線l1于點D.（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，C在第一象限，求以CD為直徑的E的最大面積，并判斷此時E與拋物線的對稱軸是否相切？若不相切，求出使得E與該拋物線對稱軸相切時點C的橫坐標；（3）坐標平面內是否存在點M，使B、C、D、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；不存在，請說明理由.【答案】(1)y=x2+2x+3；（2）不相切， C的橫

13、坐標分別為2和5172；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）. 【解析】解：（1）直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點，可得A點（3，0），B點（0，3），將A、B兩點坐標代入y=-x2+bx+c，可得0=9+3b+c3=c，可得b=2，c=3拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=x2+2x+3；（2）可得拋物線對稱軸為：x=b2a=1， C在第一象限,以CD為直徑的E的最大面積，即CD最長時，圓的面積最大，設直線CD的橫坐標為t，0t3，D點坐標（t，-t+3），C點坐標（t，-t2+2t+3）， |CD|=-t2+2t+3-(-t+3)= -t2+3t（0t3）

14、，當t=b2a=32時，CD最長，此時CD最長為94，此時圓E的半徑為98，此時CD與對稱軸的距離為32-1=1298，故不相切.當CD在對稱軸右邊時，即1t3時|CD|= -t2+3t（1t3）；圓E的半徑為t-1，可得|CD|=2r；-t2+3t=2（t-1），解得：t1=-1（舍去）；t2=2；當CD在對稱軸左邊時，即即0t1時，有-t2+3t=2（1-t），解得：t1=5+172（舍去），t2=5172；綜上所述：t=2或t=5172，E與該拋物線對稱軸相切. (3)存在，由菱形性質可得M點坐標（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）.7、如圖，二次函數(shù)y=x2+3x+

15、m的圖象與x軸的一個交點為B(4,0)，另一個交點為A，且與y軸相交于C點（1）求m的值及C點坐標；（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標；若不存在，請簡要說明理由（3）P為拋物線上一點，它關于直線BC的對稱點為Q，當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(直接寫出答案)；【答案】(1)m=4, C(0,4)(2) 存在, M(2,6)(3)P點坐標為(1+5,1+5)或(15,15)【解析】解：(1) 將點B(4,0)的坐標代入二次函數(shù)y=x2+3x+m，即42+3×4+m=0，解得m=4，故二次函數(shù)解析式為y=

16、x2+3x+4，令x=0，解得y=4，故C點坐標為(0,4);(2)存在，理由：B(4,0)，C(0,4)直線BC的解析式為y=x+4，當直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個公共點時，MBC面積最大，y=x+4+by=x2+3x+4整理得：x24x+b=0=164b=0，b=4x=2y=6M(2,6)(3)如圖2、圖3所示，連接PQ交BC于點G。因為四邊形PBQC是菱形，所以G為BC的中點，因為點B、C的坐標分別為(4,0)、(0,4)，所以由中點坐標公式得G點坐標為(2,2)，由(2)可知直線BC的解析式為y=x+4，由于PGBC，所以設直線PG的解析式為y=x+b，將G(2,2)代入，

17、求得直線PG的解析式為y=x，將直線PG的解析式與拋物線解析式聯(lián)立得：y=x2+3x+4y=x，消去y得：x=x2+3x+4，解得：x=1±5，將x=1+5代入直線PG的解析式得y=1+5，將x=15代入直線PG的解析式得y=15，故當四邊形PBQC為菱形時，P點坐標為(1+5,1+5)或(15,15).8、如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點B坐標為(4，t)(t0)二次函數(shù)yx2bx(b0)的圖象經過點B，頂點為點D.(1)當t12時，頂點D到x軸的距離等于_；(2)點E是二次函數(shù)yx2bx(b0)的圖象與x軸的一個公共點(點E與點O不重

18、合)求OE·EA的最大值及取得最大值時的二次函數(shù)表達式；(3)矩形OABC的對角線OB，AC交于點F，直線l平行于x軸，交二次函數(shù)yx2bx(b0)的圖象于點M，N，連結DM，DN.當DMNFOC時，求t的值【解析】 (1)將B點坐標(4，12)代入yx2bx求出二次函數(shù)關系式，再用配方法或二次函數(shù)的頂點坐標公式解決問題；(2)分別用含b的代數(shù)式表示OE，AE的長，再運用二次函數(shù)的求最值的方法(配方法)求出OE·EA的最大值；(3)由DMNFOC可得MNCOt，再分別用含b，t的代數(shù)式表示出點M，N的坐標，將點M或點N的坐標代入yx2bx就可以求出t的值解：(2)二次函數(shù)y

19、x2bx與x軸交于點E，E(b，0)OEb，AE4b.OE·EAb(b4)b24b(b2) 24.當b2時，OE·EA有最大值，其最大值為4.此時b2，二次函數(shù)表達式為yx22x；第1題答圖(3)如答圖，過D作DGMN，垂足為G，過點F作FHCO，垂足為H.DMNFOC，MNCOt，DGFH2.D，N，即N.把x，y代入yx2bx，得b·，解得t±2，t0，t2.9、如圖所示，直線ykxm分別交y軸，x 軸于A(0，2)，B(4，0)兩點，拋物線yx2bxc過A，B兩點(1)求直線和拋物線的表達式；(2)設N(x，y)是(1)所得拋物線上的一個動點，過點

20、N作直線MN垂直x軸交直線AB于點M，若點N在第一象限內試問：線段MN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；(3)在(2)的情況下，以A，M，N，D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標【解析】 (1)由直線ykxm分別交y軸、x 軸于A(0，2)，B(4，0)兩點，拋物線yx2bxc過A，B兩點，利用待定系數(shù)法即可求得直線和拋物線的表達式；(2)假設xt時，線段MN的長度是最大值，可得M，N，則可得MNt24t(t2)24，然后由二次函數(shù)的最值問題，求得答案；(3)根據(jù)平行四邊形的性質即可求得答案解：(1)直線ykxm分別交y軸，x 軸于A(0，2

21、)，B(4，0)兩點，解得直線的表達式為yx2，將A(0，2)，B(4，0)分別代入拋物線，得解得拋物線的表達式為yx2x2；(2)存在假設xt時，線段MN的長度是最大值，由題意，得M，N，MNt24t(t2)24，當t2時，MN有最大值4；第2題答圖(3)由題意可知，D的可能位置有如答圖三種情形當D在y軸上時，設D的坐標為(0，a)，由ADMN，得|a2|4，解得a16，a22，D(0，6)或D(0，2)；當D不在y軸上時，由圖可知D為D1N與D2M的交點，直線D1N的表達式為yx6，直線D2M的表達式為yx2，由兩方程聯(lián)立解得D(4，4)綜上可得，D的坐標為(0，6)，(0，2)或(4，4

22、)10、如圖所示，拋物線yx26x交x軸正半軸于點A，頂點為M，對稱軸MB交x軸于點B，過點C(2，0)作射線CD交MB于點D(D在x軸上方)，OECD交MB于點E，EFx軸交CD的延長線于點F，作直線MF.(1)求點A，M的坐標；(2)當BD為何值時，點F恰好落在該拋物線上？(3)當BD1時，求直線MF的表達式，并判斷點A是否落在該直線上；延長OE交FM于點G，取CF中點P，連結PG，F(xiàn)PG，四邊形DEGP，四邊形OCDE的面積分別記為S1，S2，S3，則S1S2S3_348_.解：(1)令y0，則x26x0，解得x10，x26，A(6，0)，對稱軸是直線x3，M(3，9)；(2)OECF，

23、OCEF，C(2，0)，EFOC2，BC1，點F的橫坐標為5，點F落在拋物線yx26x上，F(xiàn)(5，5)，BE5.，DE2BD，BE3BD，BD；(3)當BD1時，BE3，F(xiàn)(5，3)第3題答圖設MF的表達式為ykxb，將M(3，9)，F(xiàn)(5，3)代入，得解得y3x18.當x6時，y3×6180，點A落在直線MF上；BD1，BC1，BDC為等腰直角三角形，OBE為等腰直角三角形，CD，CFOE3，DP，PF，根據(jù)MF及OE的表達式求得點G的坐標為，如答圖，過點G作GNEF交EF于點N，則ENGN，EG，SFPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面積比等于底之比，故SFP

24、GS梯形DEGPS梯形OCDEPF(DPEG)(DCOE)2424348.11、如圖所示，拋物線yax2bx3經過點A(2，3)，與x軸負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC3OB.(1)求拋物線的表達式；(2)點D在y軸上，且BDOBAC，求點D的坐標；(3)點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由【解析】 (1)本題需先根據(jù)已知條件，求出C點坐標，即OC，進而根據(jù)OC3OB求出點B的坐標，再根據(jù)過A，B兩點，即可得出結果；(2)過點B作BEx軸交AC的延長線于點E，由BDOBAC

25、，BODBEA90°得到RtBDO和RtBAE相似，得到OD，進而得到點D的坐標；(3)根據(jù)題意可知N點在對稱軸x1上，而A，B，M，N四點構成平行四邊形符合題意的有三種情況：BMAN，AMBN；BNAM，ABMN；BMAN，ABMN，然后根據(jù)平行直線k相同可以得到點M的坐標解：(1)令x0，由yax2bx3，得y3，C(0，3)，OC3，又OC3OB，OB1，B(1，0)，把點B(1，0)和A(2，3)分別代入yax2bx3，得 解得該二次函數(shù)的表達式為yx22x3.(2)如答圖，過點B作BEx軸交AC的延長線于點E.BDOBAC，BODBEA90°，RtBDORtBAE

26、，ODOBAE：BE，OD133，OD1，D點坐標為(0，1)或(0，1) 第4題答圖 第4題答圖(3)如答圖，M1(0，3)，M2(2，5)，M3(4，5)12、如圖所示，頂點為的拋物線yax2bxc過點M(2，0) 原圖 備用圖(1)求拋物線的表達式；(2)點A是拋物線與x軸的交點(不與點M重合)，點B是拋物線與y軸的交點，點C是直線yx1上一點(處于x軸下方)，點D是反比例函數(shù)y(k>0)圖象上一點若以點A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形，求k的值【解析】 (1)已知拋物線的頂點坐標，可設頂點式為 ya，再把點M(2，0)代入，可求a1，所以拋物線的表達式可求；(2)先分別求出A，

27、B兩點的坐標，及AB的長，再根據(jù)反比例函數(shù)y(k>0)，考慮點C在x軸下方，故點D只能在第一、三象限確定菱形有兩種情形：菱形以AB為邊，如答圖，過點D作y軸的垂線，交y軸于點N，因此，BDNGAO45°，BDAB，從而求出DN，NO，即D的坐標可求，從而k可求 菱形以AB為對角線，如答圖，過點D作x軸的垂線，與x軸交于點F，與過點B作y軸的垂線交于點E，可證DBE是等腰直角三角形，所以設BEDEx，則DFx2，DBx，在RtADF中，ADBDx，AFx1，利用勾股定理，構造關于x的方程，求出x，則D點坐標(x，x2)可求，k可求解：(1)依題意可設拋物線為ya，將點M(2，0)

28、代入可得a1，拋物線的表達式為yx2x2；(2)當y0時，x2x20，解得x11，x22，A(1，0)，當x0時，y2，B(0，2)在 RtOAB 中，OA1，OB2，AB.設直線 y x1 與 y 軸的交點為點 G，易求 G(0，1)，RtAOG為等腰直角三角形，AGO45°.點 C 在 yx1 上且在 x 軸下方，而 k>0，y的圖象位于第一、三象限，故點 D 只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下兩種情況：第5題答圖菱形以 AB 為邊且 AC 也為邊，如答圖所示，過點 D 作 DNy 軸于點 N，在 RtBDN 中，DBNAGO 45°，DNBN，D，點D在y(k>0)的圖象上，k×.菱形以 AB 為對角線，如答圖所示，作 AB 的垂直平分線 CD 交直線 y x1 于點 C，交 y的圖象于點D再分別過點 D，B 作 DEx 軸于點 F，BEy 軸，DE 與 BE 相交于點 E.在 RtBDE 中，同可證AGODBO BDE 45°，BEDE.設點 D 的坐標為(x，x2)第5題答圖BE2DE2BD2，BDBE x.四邊形ACBD是菱形，ADBDx.在RtADF中，AD2AF2DF2，(x)2(x1)2(x2)2，解得x，點D的坐標為，點D在y(k>0)的圖象上，k.綜上所述，k