中考數(shù)學(xué)專題：相似三角形判定在二次函數(shù)中的綜合問題(解析版)

1、專題37 相似三角形判定在二次函數(shù)中的綜合問題1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c過原點O、點A （2，4）、點B （3，3），與x軸交于點C，直線AB交x軸于點D，交y軸于點E（1）求拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標(biāo)； （2）直線AFx軸，垂足為點F，AF上取一點G，使GBAAOD，求此時點G的坐標(biāo)； （3）過直線AF左側(cè)的拋物線上點M作直線AB的垂線，垂足為點N，若BMN=OAF，求直線BM的函數(shù)表達式【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2， 83）；（3）y=13x2或y=-3x+6【解析】（1）解：將原點O（0,0）、點A （2，4）、點B （3，3），分別代入y=ax2

2、+bx+c，得 ，解得 ，y=x2-4x= ，頂點為（2，-4）.（2）解：設(shè)直線AB為y=kx+b，由點A（2，-4），B（3，-3），得 解得 ，直線AB為y=x-6.當(dāng)y=0時，x=6，點D（6，0）.點A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，DF=AF，又AFx軸，AD0=DAF=45，GBAAOD， ， ，解得 ，F(xiàn)G=AF-AG=4- ，點G（2， ）.（3）解：如圖1，BMN=OAF， ，MBN=AOF，設(shè)直線BM與AF交于點H，ABH=AOD，HAB=ADO， ，則 ，解得AH= ，H（2， ）.設(shè)直線

3、BM為y=kx+b，將點B、G的坐標(biāo)代入得 ，解得 直線BM的解析式為y= ；如圖2，BD=AD-AB= BMN=OAF，GDB=ODA，HBDAOD ，即 ，解得DH=4點H的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b將點B和點G的坐標(biāo)代入得： ，解得k=-3，b=6直線BM的解析式為y=-3x+6綜上所述，直線MB的解析式為y= 或y=-3x+62、在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：經(jīng)過點A（-3，0）和點B（0，-6），L關(guān)于原點O對稱的拋物線為.（1）求拋物線L的表達式；（2）點P在拋物線上，且位于第一象限，過點P作PDy軸，垂足為D.若POD與AOB相似，求符合條件的點P的坐標(biāo)

4、.【答案】(1) y=x25x6；(2)符合條件的點P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)?！舅悸芬龑?dǎo)】(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可得；(2)由關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征可知點A(-3，0)、B(0，-6)在L上的對應(yīng)點分別為A(3，0)、B(0，6)，利用待定系數(shù)法求得拋物線L的表達式為yx25x6，設(shè)P(m，m25m6)(m0)，根據(jù)PDy軸，可得點D的坐標(biāo)為(0，m25m6)，可得PDm，ODm25m6，再由RtPOD與RtAOB相似，分RtPDORtAOB或RtODPRtAOB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別進行求解即可得.【解析】 (1)由題意，得，解得：，L：

5、y=x25x6；(2)拋物線L關(guān)于原點O對稱的拋物線為，點A(-3，0)、B(0，-6)在L上的對應(yīng)點分別為A(3，0)、B(0，6)，設(shè)拋物線L的表達式y(tǒng)x2bx6，將A(3，0)代入yx2bx6，得b5，拋物線L的表達式為yx25x6，A(3，0)，B(0，6)，AO3，OB6，設(shè)P(m，m25m6)(m0)，PDy軸，點D的坐標(biāo)為(0，m25m6)，PDm，ODm25m6，RtPDO與RtAOB相似，有RtPDORtAOB或RtODPRtAOB兩種情況，當(dāng)RtPDORtAOB時，則，即，解得m11，m26，P1(1，2)，P2(6，12)；當(dāng)RtODPRtAOB時，則，即，解得m3，m4

6、4，P3(，)，P4(4，2)，P1、P2、P3、P4均在第一象限，符合條件的點P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).【方法總結(jié)】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法、關(guān)于原點對稱的拋物線的特點、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，難度較大，正確把握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.3、如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點，直線交二次函數(shù)圖象的對稱軸于點，若點C為的中點. （1）求的值；（2）若二次函數(shù)圖象上有一點，使得，求點的坐標(biāo)；（3）對于（2）中的點，在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）

7、或；（3）不存在，理由見解析.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)對稱軸與軸交于點，如圖1，易求出拋物線的對稱軸，可得OE的長，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得OA的長，進而可得點A的坐標(biāo)，再把點A的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出m的值；（2）設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為n，當(dāng)點在軸上方時，過點Q作QHx軸于點H，利用可得關(guān)于n的方程，解方程即可求出n的值，進而可得點Q坐標(biāo)；當(dāng)點在軸下方時，注意到，所以點與點關(guān)于直線對稱，由此可得點Q坐標(biāo)；（3）當(dāng)點為x軸上方的點時，若存在點P，可先求出直線BQ的解析式，由BPBQ可求得直線BP的解析式，然后聯(lián)立直線BP和拋物線的解析式即可求出點P的坐標(biāo)，再計算此時兩個三角形的兩組對應(yīng)邊

8、是否成比例即可判斷點P是否滿足條件；當(dāng)點Q取另外一種情況的坐標(biāo)時，再按照同樣的方法計算判斷即可.【解析】解：（1）設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點，如圖1，軸，拋物線的對稱軸是直線，OE=1，將點代入函數(shù)表達式得：，；（2）設(shè)，點在軸上方時，如圖2，過點Q作QHx軸于點H，解得：或（舍），；點在軸下方時，OA=1，OC=3，點與點關(guān)于直線對稱，；（3）當(dāng)點為時，若存在點P，使，則PBQ=COA=90，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，聯(lián)立方程組：，解得：，不存在； 當(dāng)點為時，如圖4，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，聯(lián)立方程

9、組：，解得：，不存在.綜上所述，不存在滿足條件的點，使.【方法總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和兩個函數(shù)的交點等知識，綜合性強、具有相當(dāng)?shù)碾y度，熟練掌握上述知識、靈活應(yīng)用分類和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵.4、如果一條拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個交點，那么以拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，a，b，c稱為“拋物線系數(shù)”（1）任意拋物線都有“拋物線三角形”是_（填“真”或“假”）命題；（2）若一條拋物線系數(shù)為1，0，2，則其“拋物線三角形”的面積為_；（

10、3）若一條拋物線系數(shù)為1，2b，0，其“拋物線三角形”是個直角三角形，求該拋物線的解析式；（4）在（3）的前提下，該拋物線的頂點為A，與x軸交于O，B兩點，在拋物線上是否存在一點P，過P作PQx軸于點Q，使得BPQOAB，如果存在，求出P點坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由【答案】（1）假；（2）22；（3）yx22x 或yx22x；（4）P（1，1）或P（1，3）或P（1，3）或（1，1）【解析】（1）當(dāng)0時，拋物線與x軸有兩個交點，此時拋物線才有“拋物線三角形”，故此命題為假命題；（2）由題意得：y=x22，令y=0，得：x=2， S=12222=22；（3）依題意：yx22bx，它與x軸交于點

11、（0，0）和（2b，0）；當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形 yx22bx=(xb)2+b2，頂點為（b，b2），由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：b2=122b，b2=b，解得：b0（舍去）或b1，yx22x 或yx22x（4）當(dāng)拋物線為yx22x 時AOB為等腰直角三角形，且BPQOAB，BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，a22a），Q（a，0），則a22a2a，即a(a2)=a2a20，a=1，a=1，P（1，1）或（1， 3）當(dāng)拋物線為yx22x 時AOB為等腰直角三角形，且BPQOAB，BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，a22a），Q（a，0

12、），則a22a2+a，即a(a+2)=a+2a+20，a=1，a=1，P（1，3，）或（1，1）綜上所述：P（1，1）或P（1，3）或P（1，3，）或（1，1）5、如圖1，一次函數(shù)yx+3的圖象交x軸于點A，交y軸于點D，拋物線yax2+bx+c（a0）的頂點為C，其圖象過A、D兩點，并與x軸交于另一個點B（B點在A點左側(cè)），若ABAD=23；（1）求此拋物線的解析式；（2）連結(jié)AC、BD，問在x軸上是否存在一個動點Q，使A、C、Q三點構(gòu)成的三角形與ABD相似如果存在，求出Q點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由（3）如圖2，若點P是拋物線上一動點，且在直線AD下方，（點P不與點A、點D重合），過點P

13、作y軸的平行線l與直線AD交于點M，點N在直線AD上，且滿足MPNABD，求MPN面積的最大值【答案】（1）yx24x+3；（2）見解析;（3）MPN的面積的最大值為:24364【解析】（1）當(dāng)x0時，yx+33，則D（3，0）；當(dāng)y0時，x+30，解得x3，則A（3，0），ODOA，OAD為等腰直角三角形，AD32，ABAD=23，AB2，B（1，0），設(shè)拋物線解析式為ya（x1）（x3），把D（0，3）代入得a（1）（3）3，解得a1，拋物線解析式為y（x1）（x3），即yx24x+3；（2）作CHx軸，如圖1，yx24x+3（x2）21，C（2，1）AHCH1，ACH為等腰直角三角形，C

14、AH45，AC2，OAD為等腰直角三角形，DAO45，CAQDAB，當(dāng)AQAD=ACAB時，AQCADB，即AQ32=22，解得AQ3，此時Q（0，0）；當(dāng)AQAB=ACAD時，AQCABD，即AQ2=232，解得AQ23，此時Q（73，0）；綜上所述，Q點的坐標(biāo)為（0，0）或（73，0）；（3）作PEAD于E，如圖2，MPNABD，MNAD=MPAB，MN322MP，設(shè)P（x，x24x+3），則M（x，x+3），MPx+3（x24x+3）x2+3x（x32）2+94，當(dāng)x32時，MP有最大值94，MN的最大值為322942728，PME45，PE22PM，PE的最大值為2294928，MPN

15、的面積的最大值為12272892824364 6、已知，拋物線（a0）與x軸交于A（3，0）、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x=1，D為拋物線的頂點，點E在y軸C點的上方，且CE=（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）求證：直線DE是ACD外接圓的切線；（3）在直線AC上方的拋物線上找一點P，使，求點P的坐標(biāo)；（4）在坐標(biāo)軸上找一點M，使以點B、C、M為頂點的三角形與ACD相似，直接寫出點M的坐標(biāo)【答案】（1），頂點D（1，4）；（2）證明見解析；（3）P（，）或（，）；（4）（0，0）或（9，0）或（0，）【解析】解：（1）拋物線的對稱軸是直線x=1，點A（3，0），根據(jù)

16、拋物線的對稱性知點B的坐標(biāo)為（1，0），OA=3，將A（3，0），B（1，0）代入拋物線解析式中得：，解得：，拋物線解析式為；當(dāng)x=1時，y=4，頂點D（1，4）（2）當(dāng)=0時，點C的坐標(biāo)為（0，3），AC= =，CD=，AD= =，AC2+CD2=AD2，ACD為直角三角形，ACD=90，AD為ACD外接圓的直徑，點E在 軸C點的上方，且CE=，E（0，），AE= =，DE= =，DE2+AD2=AE2，AED為直角三角形，ADE=90，ADDE，又AD為ACD外接圓的直徑，DE是ACD外接圓的切線；（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：，解得：，直線AC的解析式為y=x+3，

17、A（3，0），D（1，4），線段AD的中點N的坐標(biāo)為（2，2），過點N作NPAC，交拋物線于點P，設(shè)直線NP的解析式為y=x+c，則2+c=2，解得：c=4，直線NP的解析式為y=x+4，由y=x+4，y=x2+2x+3聯(lián)立得：x2+2x+3=x+4，解得：x=或x=，y=，或y=，P（，）或（，）；（4）分三種情況：M恰好為原點，滿足CMBACD，M（0，0）；M在x軸正半軸上，MCBACD，此時M（9，0）；M在y軸負半軸上，CBMACD，此時M（0，）；綜上所述，點M的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）或（0，）7、如圖，拋物線經(jīng)過A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三點(1)求出拋物線的

18、解析式；(2)P是拋物線上一動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】 (1) y12x252x2;(2)點P為(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).【解析】解：(1)該拋物線過點C(0，2)，可設(shè)該拋物線的解析式為yax2bx2.將A(4，0)，B(1，0)代入，得16a+4b2=0a+b2=0，解得 a=12b=52 ，此拋物線的解析式為y12x252x2.(2)存在， 設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，則P點的縱坐標(biāo)為12m252m2，當(dāng)1m4時，AM4m，PM12m252m2.

19、又COAPMA90，當(dāng)AMPMAOOC21時，APMACO，即4m2(12m252m2)解得m12，m24(舍去)，P(2，1) 當(dāng)AMPMOCOA12時，APMCAO，即2(4m)12m252m2.解得m14，m25(均不合題意，舍去)，當(dāng)1m4時，P(2，1) 類似地可求出當(dāng)m4時，P(5，2) 當(dāng)m1時，P(3，14)或P(0，2)， 綜上所述，符合條件的點P為(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).8、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（9，10），ACx軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點（1）求拋物線的解析式；（2）過點P且與

20、y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與ABC相似，若存在，求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由【答案】(1) 拋物線的解析式為y=x2-2x+1，(2) 四邊形AECP的面積的最大值是，點P（，）；(3) Q（4,1）或（-3，1）.【解析】解：(1)將A(0，1)，B(9，10)代入函數(shù)解析式得：819bc10，c1，解得b2，c1，所以拋物線的解析式y(tǒng)x22x1；(2)ACx軸，A(0，1)，x22x11，解得x16，x20(舍)，即C點坐標(biāo)為(6

21、，1)，點A(0，1)，點B(9，10)，直線AB的解析式為yx1，設(shè)P(m，m22m1)，E(m，m1)，PEm1(m22m1)m23m.ACPE，AC6，S四邊形AECPSAECSAPCACEFACPFAC(EFPF)ACEP6(m23m)m29m.0m6，當(dāng)m時，四邊形AECP的面積最大值是，此時P()；(3)yx22x1(x3)22，P(3，2)，PFyFyp3，CFxFxC3，PFCF，PCF45，同理可得EAF45，PCFEAF，在直線AC上存在滿足條件的點Q，設(shè)Q(t，1)且AB，AC6，CP，以C，P，Q為頂點的三角形與ABC相似，當(dāng)CPQABC時，CQ:ACCP:AB，(6t

22、):6，解得t4，所以Q(4，1)；當(dāng)CQPABC時，CQ:ABCP:AC，(6t)6，解得t3，所以Q(3，1).綜上所述：當(dāng)點P為拋物線的頂點時，在直線AC上存在點Q，使得以C，P，Q為頂點的三角形與ABC相似，Q點的坐標(biāo)為(4，1)或(3，1).9、如圖，已知直線y=2x+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC x軸于點C，交拋物線于點D（1）若拋物線的解析式為y=2x2+2x+4，設(shè)其頂點為M，其對稱軸交AB于點N求點M、N的坐標(biāo)；是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；（2）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B

23、、P、D為頂點的三角形與AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由【答案】（1）M(12,92) N(12,3) 答案見解析 （2）存在，y=2x2+2x+4或y=52x2+3x+4【解析】（1）如圖1，y=2x2+2x+4=2(x12)2+92，頂點為M的坐標(biāo)為(12，92)，當(dāng)x=12時，y=212+4=3，則點N坐標(biāo)為(12，3)；不存在理由如下：MN=923=32，設(shè)P點坐標(biāo)為(m,2m+4)，則D(m,2m2+2m+4)，PD=2m2+2m+4(2m+4)=2m2+4m，PD/MN，當(dāng)PD=MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，即2m2+4m=32，解得m1

24、=12（舍去），m2=32，此時P點坐標(biāo)為(32，1)，PN=(1232)2+(31)2=5，PNMN，平行四邊形MNPD不為菱形，不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；（2）存在如圖2，OB=4，OA=2，則AB=22+42=25，當(dāng)x=1時，y=2x+4=2，則P(1,2)，PB=12+(24)2=5，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4，把A(2,0)代入得4a+2b+4=0，解得b=2a2，拋物線的解析式為y=ax22(a+1)x+4，當(dāng)x=1時，y=ax22(a+1)x+4=a2a2+4=2a，則D(1,2a)，PD=2a2=a，DC/OB，DPB=OBA，當(dāng)PDBO=PBBA時，P

25、DBBOA，即a4=525，解得a=2，此時拋物線解析式為y=2x2+2x+4；當(dāng)PDBA=PBBO時，PDBBAO，即a25=54，解得a=52，此時拋物線解析式為y=52x2+3x+4；綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為y=2x2+2x+4或y=52x2+3x+410、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PEx軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)點P在直線BC上方時，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；

26、（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）PG=；（3）存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與DEH相似，此時m的值為1或【解析】解：（1）拋物線與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，4），解得.拋物線的解析式為.（2）E（m，0），B（0，4），PEx軸交拋物線于點P，交BC于點G，P（m，），G（m，4）.PG=.（3）在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與DEH相似，當(dāng)y=0時，解得x=1或3.D（3，0）當(dāng)點P在直線BC上方時，3m0設(shè)直線B

27、D的解析式為y=kx+4，將D（3，0）代入，得3k+4=0，解得k=.直線BD的解析式為y=x+4. H（m，m+4）分兩種情況：如果BGPDEH，那么，即.由3m0，解得m=1.如果PGBDEH，那么，即.由3m0，解得m=綜上所述，在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與DEH相似，此時m的值為1或11、如圖，一次函數(shù)yx2的圖象與二次函數(shù)yax2+bx4的圖象交于x軸上一點A，與y 軸交于點B，在x軸上有一動點C已知二次函數(shù)yax2+bx4的圖象與y軸交于點D，對稱軸為直線xn（n0），n是方程2x23x20的一個根，連接AD（1）求二次函數(shù)的解析式（2）當(dāng)SACB

28、3SADB 時，求點C的坐標(biāo)（3）試判斷坐標(biāo)軸上是否存在這樣的點C，使得以點A、B、C組成的三角形與ADB 相似？若存在，試求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）y2x2+2x4；（2）點 C 的坐標(biāo)為（4，0）或（8，0）；（3）在 x 軸上有一點 C（4，0）或（6，0），使得以點 A、B、C 組成的三角形與ADB 相似【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，則x=-2A（-2，0）由2x2-3x-2=0，得x1=-12，x2=2，二次函數(shù)y=ax2+bx-4的對稱軸為直線x=-12，4a2b40b2a12，解得a2b2，二次函數(shù)的解析式為：y=2x2+2x-4；（2）SAD

29、B=12BDOA=2，SACB=3SADB=6點C在x軸上，SACB=12ACOB=122AC=6，AC=6點A的坐標(biāo)為（-2，0），當(dāng)SACB=3SADB時，點C的坐標(biāo)為（4，0）或（-8，0）；（3）存在理由：令x=0，一次函數(shù)與y軸的交點為點B（0，-2），AB=22+22=22，OAB=OBA=45在ABD中，BAD、ADB都不等于45，ABD=180-45=135，點C在點A的左邊AC與BD是對應(yīng)邊時，ADBBCA，ACAB=ABBD=1，AC=BD=2，OC=OA+AC=2+2=4，點C的坐標(biāo)為（-4，0）當(dāng)AC與AB是對應(yīng)邊時，ADBCBAACAB=ABBD=222，AC=2AB

30、=222=4，OC=OA+AC=2+4=6，點C的坐標(biāo)為（-6，0）綜上所述，在x軸上有一點C（-4，0）或（-6，0），使得以點A、B、C組成的三角形與ADB相似12、如圖，拋物線（a0）交x軸于A、B兩點，A點坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標(biāo)為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長；（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點

31、的三角形和AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷PCM的形狀；若不存在，請說明理由【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0m3）；（3）存在這樣的點P使PFC與AEM相似此時m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形【解析】解：（1）拋物線（a0）經(jīng)過點A（3，0），點C（0，4），解得拋物線的解析式為（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，A（3，0），點C（0，4），解得直線AC的解析式為點M的橫坐標(biāo)為m，點M在AC上，M點的坐標(biāo)為（m，）點P的橫坐標(biāo)為m，點P在拋物線上，點P的坐標(biāo)為（m，）PM=PEME=（）（）=PM=（0m3）（3）在（2）的條件下，連接PC，在C

32、D上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和AEM相似理由如下：由題意，可得AE=3m，EM=，CF=m，PF=，若以P、C、F為頂點的三角形和AEM相似，分兩種情況：若PFCAEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3m）=m：（），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AMEAME=CMF，PCF=CMF在直角CMF中，CMF+MCF=90，PCF+MCF=90，即PCM=90PCM為直角三角形若CFPAEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3m）=（）：（），m0且m3，m=1CFPAEM，CPF=AMEAME=CMF，CPF=CMFCP=CMPCM為等腰三角形

33、綜上所述，存在這樣的點P使PFC與AEM相似此時m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形13、如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x2交于B，C兩點求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；求證：ABC是直角三角形；若點N為x軸上的一個動點，過點N作MNx軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點的三角形與ABC相似？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(1)y=x2+2x；C(-1，-3)；(2)證明過程略；(3)（53，0）或（73，0）或（1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）頂點坐標(biāo)為（1，1），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）2+1，又拋物線

34、過原點，0=a（0-1）2+1，解得a=-1，拋物線解析式為y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得y=x2+2xy=x2 ,解得x=2y=0或x=1y=3 ,B（2，0），C（-1，-3）；（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45，即ABC=90，ABC是直角三角形；（3）假設(shè)存在滿足條件的點N，設(shè)N（x，0），則M（x，-x2+2x），ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分別求得AB=2 ，BC=32，MNx軸于點NABC=MNO=90，當(dāng)ABC和MNO相似時