全等三角形證明條件歸類

1、 全等三角形證明條件歸類 初學三角形全等證明，根據已知條件找到證明全等的三個條件是難點。如何才能找到證明全等證明的三個條件呢？從三角形全等證明的四種證明方法（邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊）來看：已知兩邊對應相等，第三個條件可以找已知兩邊的夾角對應相等，或找第三邊對應相等；如果告訴了兩個角對應相等，第三個條件找兩個角的夾邊對應相等，或是已知的兩個角中的某個角的對應邊相等；已知一邊和一角對應相等，第三個條件可能是對應相等角的另一邊對應相等，或是另一角對應相等。分析以上這些情況，找第三個條件分兩種情況：一是再找一組對應邊相等，二是再找一組對應角相等。對應邊相等的情形從題目給定的條件來看分以下幾種情

2、況：一是公共邊是第三個條件例1：如圖，在中，AC=BD，AD=BC，求證：ADCB證明：ABD和BAC中： BD=AC BC=AD AB=BA(公共邊)BACEFD第2圖 （SSS）二是相等對應邊+公共邊的和對應相等是第三個條件例1：如圖2，已知AC=DF, A=D,AE=BD, 求證：ABCDEF證明：AE=BD AE+EB=BD+EB（即AB=DE） 在ABC和DEF中AC=DF A=D AB=DEABCDEF（SAS）例2如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。CE=FB CE+EF=EF+FB（即CF=BE） AB=DC AE=DF CF=BEABECDF（SSS）

3、AF=DE三是相等對應邊-公共邊的差對應相等是第三個條件 例1：如圖：DF=CE，AD=BC，D=C。求證：AEDBFC。證明：DF=CE，DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在AED和BFC中， AD=BC， D=C ，DE=CF AEDBFC（SAS） 第5圖ABCDE四是等邊三角形的三邊相等（等腰三角形兩腰相等）是第三個條件例1：如圖5，ABC和CDE都是等邊三角形，求證：ACDBCE。證明：ABC和CDE都是等邊三角形AC=BC CD=CE ACB=DCE=60°ACB+ACE=DCE+ACE（即BCE=ACD）在ACD和BCE中， AC=BC BCE=ACD CD=CE，

4、 ACDBCE（SAS）五是添加輔助線與對應的線段相等是第三個條件例1已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2C證明：延長AB取點E，使AEAC，連接DEAD平分BAC EADCADAEAC ADADAEDACD （SAS） ECACAB+BD AEAB+BDAEAB+BE BDBE BDEEABCE+BDE ABC2E ABC2C六是二次證全等找到對應的線段相等是第三個條件例1已知：如圖，A=D=90°，AE=DE求證：ABCDCB證明：A=D AE=DE AEB=DEC（對頂角）AEDACD （ASA） EC=EB EC+AE=EB+DE（即AC=DB） 在RtABC

5、和RtDCB中 A=D=90° AC=DB BC=BC（公共邊） ABCDCB (HL)七是中點等分線段對應相等是第三個條件例1，如圖，DCAB，且DC=AE，E為AB的中點，求證：AEDEBC證明：DCAB CDEAEDDEDE，DCAE AEDEDCE為AB中點 AEBE BEDCDCAB DCEBECCECE EBCEDC AEDEBC八是其他情形對應角相等的情形從題目給定的條件來看分以下幾種情況：一是公共角相等是第三個條件例1 如圖，CABF于A，BECF于E，若AC=BE求證：AFCEFB證明：CABF BECF CAF=BEF=90° 在 AFC和EFB中 CA

6、F=BEF F= F（公共角） AC=BE AFCEFB（AAS）二是對頂角相等是第三個條件例1如圖：AE、BC交于點M，F點在AM上，CFM=E BE=CF。求證：BEMCFM證明：CFM=E CMF=BME（對頂角） BE=CF BEMCFM（AAS）三是平行線截得的同位角或內錯角相等是第三個條件BACDF21E例1. 已知：1=2，EF/AB，B=ACD CD=DE求證：EFDDAC 證明EF/AB1=EFD B=FED1=2 B=ACDEFD=2 FED=ACD在EFD和DAC中EFD=2 FED=ACD CD=DE EFDDAC四是同角（或等角）的余角（或補角）相等是第三個條件例1已

7、知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求證：AE=AD+BE證明：在AE上取F，使EFEB，連接CF CEAB CEBCEF90° EBEF，CECE CEBCEF BCFE BD180°，CFECFA180° DCFA AC平分BAD DACFAC 又ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE例2在ABC中，直線經過點，且于，于.(1)當直線繞點旋轉到圖1的位置時，求證： ； (2)當直線繞點旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.（1）ADC=ACB=BEC=90°

8、，CAD+ACD=90°，BCE+CBE=90°，ACD+BCE=90°CAD=BCE AC=BC， ADCCEB（2）略五是垂直相交的角是90°是第三個條件例1：如圖，DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M求證：MB=MD，ME=MF （1）DEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA（HL），DE=BF在RtDEM和RtBFM中DME=BMF DEC=BFA DE=BFRtCBFM（AAS） MB=MD，ME=MF （2）略 六是

9、角平分線分得的角對應相等是第三個條件例1如圖，在ABC中，AD平分BAC，1=2，求證：ABDACD證明：AD平分BAC BAD=CAD， 1=2 AD=AD BAD=CAD ABDACD（ASA）AEBMCF七是相等對應角+公共角的和對應相等是第三個條件例1如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：ABFAEC； 證明：AEAB，AFAC， BAE=CAF=90°BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF在ABF和AEC中，AE=AB，EAC=BAF，AF=AC，ABFAEC（SAS），八是相等對應角+相等對應角和對應相等是第三個條件例1如圖，已知1=2

10、，3=4，求證：ABCDCB證明：1=2，3=4 1+3=2+4（即ABC=DCB）在AOB和DOC中ABC=DCB BC=BC 4=3ABCDCB九是等邊三角形的三個角都等于60度（等腰三角形兩底角相等）是第三個條件例1：如圖所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F，求證：CFDBED證明：作CGAB,交AD于H, 則ACH=45º,BCH=45ºCAH=90º-CDA, BCE=90º-CDA CAH=BCE又AC=CB, ACH=B=45º ACHCBE, C

11、H=BE又DCH=B=45º CD=DBCFDBED十是添加輔助線與對應的角相等是第三個條件十一是二次證全等找到對應的角相等是第三個條件例1AB=AC，DB=DC，F是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF證明：在ABD與ACD中AB=AC BD=DC AD=ADABDACD（SSS） ADB=ADC BDF=FDC在BDF與FDC中BD=DC BDF=FDC DF=DFFBDFCD十二計算角的度數找到對應的角相等是第三個條件例1如圖，已知在ABC內，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：延長AB至D，使BDBP，連DP在等腰BPD中，可得BDP40°從而BDP40°ACPADPACP（ASA） 故ADAC又QBC40°QCB 故 BQQCBDBP 從而BQ+AQ=AB+BP例2 D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。求證CDEADF證明：連接D，D為等腰斜邊AB的中點，故有CDAB，CDDACD平分BCA90°，ECDDCA45°由于DMDN，有EDN90°由于 CDAB，有CDA90&