專題復習(六)-求最短路徑問題(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題復習(六)求最短路徑問題最短路徑問題在四川省的中考中出現(xiàn)的頻率很高，這類問題一般與垂線段最短、兩點之間線段最短關(guān)系密切類型1利用“垂線段最短”求最短路徑問題如圖所示，AB是一條河流，要鋪設管道將河水引到C，D兩個用水點，現(xiàn)有兩種鋪設管道的方案方案一：分別過C，D作AB的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，沿CE，DF鋪設管道；方案二：連接CD交AB于點P，沿PC、PD鋪設管道問：這兩種鋪設管道的方案中哪一種更節(jié)省材料，為什么？【思路點撥】方案一管道長為CEDF，方案二管道長為PCPD，利用垂線段最短即可比較出大小【解答】按方案一鋪設管道更節(jié)省材料理由如下：CEAB，DFAB，

2、而AB與CD不垂直，根據(jù)“垂線段最短”，可知DFDP，CECP，CEDFCPDP，沿CE、DF鋪設管道更節(jié)省材料本題易錯誤的利用兩點之間線段最短解決，解答時需要準確識圖，找到圖形對應的知識點1(2015·保定一模)如圖，點A的坐標為(1，0)，點B(a，a)，當線段AB最短時，點B的坐標為( )A(0，0)B(，)C(，)D(，)2(2015·杭州模擬)在直角坐標系中，點P落在直線x2y60上，O為坐標原點，則|OP|的最小值為( )A. B3 C. D.3(2013·內(nèi)江)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A(13，0)，直線ykx3k4與O交于B

3、、C兩點，則弦BC的長的最小值為_4(2015·碑林區(qū)期中)如圖，平原上有A，B，C，D四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府準備投資修建一個蓄水池(1)不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H點的位置，使它到四個村莊距離之和最?。?2)計劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短并說明根據(jù)類型2利用“兩點之間線段最短”求最短路徑問題(2015·樂陵模擬)(1)如圖1，直線同側(cè)有兩點A，B，在直線MN上求一點C，使它到A、B之和最??；(保留作圖痕跡不寫作法)(2)知識拓展：如圖2，點P在AOB內(nèi)部，試在OA、OB上分別找出兩點E、F，使PEF周長最短；(保留作圖痕跡不寫作法)(3)解決問

4、題：如圖3，在五邊形ABCDE中，在BC，DE上分別找一點M，N，使得AMN周長最??；(保留作圖痕跡不寫作法)若BAE125°，BE90°，ABBC，AEDE，AMNANM的度數(shù)為_【思路點撥】(1)根據(jù)兩點之間線段最短，作A關(guān)于直線MN的對稱點E，連接BE交直線MN于C，即可解決；(2)作P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD交OA、OB于E、F，此時PEF周長有最小值；(3)取點A關(guān)于BC的對稱點P，關(guān)于DE的對稱點Q，連接PQ與BC相交于點M，與DE相交于點N，PQ的長度即為AMN的周長最小值；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出PQ，再根據(jù)三角形的外角以及

5、三角形內(nèi)角和知識運用整體思想解決【解答】(1)作A關(guān)于直線MN的對稱點E，連接BE交直線MN于C，連接AC，BC，則此時C點符合要求圖1圖2 圖3(2)作圖如圖(3)作圖如圖BAE125°，PQ180°125°55°.AMNPPAM2P，ANMQQAN2Q，AMNANM2(PQ)2×55°110°.“兩點(直線同側(cè))一線型”在直線上求一點到兩點的和最短時，利用軸對稱的知識作一點關(guān)于直線的對稱點，連接對稱點與另一點與直線的交點就是所求的點；“一點兩線型”求三角形周長最短問題，作點關(guān)于兩直線的對稱點，連接兩個對稱點與兩直線分別有

6、兩個交點，順次連接所給的點與兩交點即可得三角形；“兩點兩線型”求四邊形的周長最短類比“一點兩線型”即可1(2015·內(nèi)江)如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PDPE最小，則這個最小值為( )A. B2 C2 D.2(2015·遵義)如圖，在四邊形ABCD中，C50°，BD90°，E、F分別是BC、DC上的點，當AEF的周長最小時，EAF的度數(shù)為( )A50° B60° C70° D80°3(2015·攀枝花)如圖，在邊長為2的等邊ABC

7、中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BEDE的最小值為_4(2015·鄂州)如圖，AOB30°，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分AOB，且OP6，當PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為_5(2015·涼山)菱形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B(2，0)，DOB60°，點P是對角線OC上一個動點，E(0，1)，當EPBP最短時，點P的坐標為_6(2015·廣元改編)如圖，已知拋物線y(x2)(xm)(m0)與x軸相交于點A，B，與y軸相交于點C，且點A在點B的左側(cè)(1)若拋物線過點G(2，2)，求實數(shù)m

8、的值； (2)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使AHCH最小，并求出點H的坐標7(2015·成都改編)如圖，一次函數(shù)yx4的圖象與反比例y(k為常數(shù)，且k0)的圖象交于A，B兩點在x軸上找一點P，使PAPB的值最小，求滿足條件的點P的坐標8如圖所示，已知點A是半圓上的三等分點，B是的中點，P是直徑MN上的一動點，O的半徑為1，請問：P在MN上什么位置時，APBP的值最小？并給出APBP的最小值9(2015·達州)如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，AOC的平分線交AB于點D，E為BC的中點，已知A(0，4)、C

9、(5，0)，二次函數(shù)yx2bxc的圖象拋物線經(jīng)過A，C兩點(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接D、E、F、G構(gòu)成四邊形DEFG，求四邊形DEFG周長的最小值；(3)拋物線上是否在點P，使ODP的面積為12？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由參考答案類型1利用“垂線段最短”求最短路徑問題1D2.C3.24提示：直線ykx3k4必過點D(3，4)，當BC過點D且BCOD時最小點D的坐標是(3，4)，OD5.OBOA13，根據(jù)勾股定理可得BD12.BC的長的最小值為24.4.(1)兩點之間線段最短，連接AD，BC交于H，則H為蓄水池位置，它到四個村莊距

10、離之和最小(2)過H作HGEF，垂足為G.則沿HG開渠最短，根據(jù)垂線段最短類型2利用“兩點之間線段最短”求最短路徑問題1B2.D3.提示：作B關(guān)于AC的對稱點B，連接AD、AB、BB、BD，交AC于E，此時BEEDBEEDBD，根據(jù)兩點之間線段最短可知BD就是BEED的最小值，B、B關(guān)于AC對稱，AC、BB互相垂直平分四邊形ABCB是平行四邊形三角形ABC是邊長為2，D為BC的中點，ADBC.AD，BDCD1，BB2AD2，作BGBC的延長線于G，BGAD，在RtBBG中，BG3.DGBGBD312.在RtBDG中，BD.故BEED的最小值為.4.36545.(23，2)6.(1)拋物線過點G

11、(2，2)時，(22)(2m)2，即m4.(2)m4，y(x2)(x4)令y0，則(x2)(x4)0，解得x12，x24.A(2，0)，B(4，0)拋物線對稱軸為直線x1.令x0，則y2，C(0，2)B點與A點關(guān)于對稱軸對稱，連接BC，BC與對稱軸的交點便為所求點H.B(4，0)，C(0，2)，求得線段BC所在直線為yx2.當x1時，y，H(1，)7.聯(lián)立解得或A(1，3)，B(3，1)B點關(guān)于x軸的對稱點B坐標為(3，1)，連接AB交x軸于點P，連接BP.設直線AB為ykxb，聯(lián)立得解得y2x5.令y0，得x.P(，0)即滿足條件的P的坐標為(，0)8.作A關(guān)于MN的對稱點A，根據(jù)圓的對稱性

12、，則A必在圓上，連接BA交MN于P，連接PA，則PAPB最小，此時PAPBPAPBAB.連接OA、OA、OB，AONAON60°.，BONAON30°.AOB90°.AB，即APBP的最小值是.9.(1)將A(0，4)、C(5，0)代入二次函數(shù)yx2bxc，得解得二次函數(shù)的表達式y(tǒng)x2x4.(2)延長EC至E，使ECEC，延長DA至D，使DADA，連接DE，交x軸于F點，交y軸于G點，連接DG，EF，DE，GDGD，EFEF，(DGGFEFED)最小DEDE，由E點坐標為(5，2)，D(4，4)，得D(4，4)，E(5，2)由勾股定理，得DE，DE3，(DGGFEFED)最小DEDE3，即四邊形DEFG周長的最小值為3.(3)如下圖：OD4.SODP12.點P到OD的距離3.過點O作OFOD，取OF3，過點F作直線FGOD，交y軸于G點，交拋物線于點P1，P2，在RtOGF中，OG6.直線GF的解析式為yx6.將yx6代入yx2x4得：x6x2x4.解得