PID LQR H 控制器 實例已修正錯誤

1、目錄0 引言11 原系統(tǒng)的特性11.1 參考論文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分析11.2 控制對象的傳遞函數(shù)12 PID控制器設計32.1 PID控制器原理322 PID控制器設計42.3 控制器性能分析52.4 Simulink仿真link仿真63 極點配置控制器的設計73.1 極點配置設計73.2 極點配置控制器分析93.3 Simulink仿真94 LQR控制器的設計104.1 LQR控制器原理104.2 LQR控制器設計114.4 Simulink下仿真135 H控制器的設計155.1 H控制器原理155.2 H控制器設計175.3 H控制器分析215.4 Simulink下仿真226 綜合比較23參考

2、文獻240 引言隨著磁盤驅(qū)動器軌道密度的不斷增長，越來越多的算法被引入到磁盤驅(qū)動器的磁頭定位上；由于H控制能詳細的指定閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，利用H控制來增強HDD伺服系統(tǒng)的性能和魯棒性成為一種可行的方法；本文將對幾種常見的控制器：PID,極點配置，LQR和H控制器進行研究，并比較各種控制的優(yōu)缺點。本文則分別介紹了4種不同的控制控制器來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能、跟蹤性能和抗干擾性能。 1 原系統(tǒng)的特性1.1 參考論文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分析 本文通過閱讀A Comparative Study of the Use of the Generalized Hold Function for HDDs一文，對硬盤

3、伺服系統(tǒng)的模型進行分析，如圖1-1所示是參考論文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖1-1 參考論文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中P為控制對象、K為控制器、S為采樣器、y采樣器測量值、v為采樣測量噪聲、為外部干擾、W為低通濾波器、U為控制器輸出、和比例因子。參考論文采用的是H控制器來改善一個離散系統(tǒng)性能，本文在沒有考慮采樣器情況下，針對控制對象P來設計幾種控制器來改善一個連續(xù)系統(tǒng)性能，并做了一個橫向比較。1.2 控制對象的傳遞函數(shù)式（1）為控制對象傳遞函數(shù)，下文中針對控制對象P設計控制器，首先，經(jīng)過對被控對象分析，加入一個比例因子就可以達到一個基本的控制效果。MATLAB程序仿真如下：num=conv(-3*107,1 -2.4*

4、105 1.92*1010); %多項式乘法den=conv(1 251.3 3.948*105,1 2.4*105 1.92*1010);g1=tf(num,den)g=g1/(-76); %加入比例因子G=minreal(g)figure(1);step(G);Transfer function: 394800 s2 - 9.475e010 s + 7.58e015s4 + 2.403e005 s3 + 1.926e010 s2 + 4.92e012 s + 7.58e015圖1-2 原系統(tǒng)階躍響應曲線由仿真結(jié)果知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)互質(zhì)，狀態(tài)空間最小實現(xiàn)為4階。如圖1-2所示系統(tǒng)階躍響應曲線可

5、知系統(tǒng)穩(wěn)定，超調(diào)量53%，響應時間0.045s，但是控制效果不理想。因此，需要進一步設計控制器來改善系統(tǒng)性能。下面對硬盤模型P進行四種控制器的設計:PID控制器、基于極點配置的狀態(tài)反饋控制器、線性二次最優(yōu)（LQR）控制器、控制器。2 PID控制器設計2.1 PID控制器原理為了便于理解PID控制器的原理，首先介紹一下典型PID控制器系統(tǒng)原理框圖如圖2-1所示：-積分比例微分d/dt-被控對象PID控制器 -圖2-1 典型PID控制結(jié)構(gòu)在圖2-1中，系統(tǒng)的偏差信號為。在PID調(diào)節(jié)作用下，控制器對誤差信號分別進行比例、積分、微分運算，其結(jié)果的加權(quán)和構(gòu)成系統(tǒng)的控制信號，送給被控對象加以控制。PID控

6、制器的數(shù)學描述為： 式中，Kp為比例系數(shù)，Ti為積分時間常數(shù)，Td的微分時間常數(shù)。 連續(xù)PID控制器的Laplace變換式可以寫成： 但為了避免純微分運算，經(jīng)常用一階滯后環(huán)節(jié)來近似純微分環(huán)節(jié)，即將PID控制器寫成如下形式：本文采用Ziegler-Nichols公式得出PID函數(shù)來進行PID控制器的設計，從系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)精度等各方面來考慮, kp , ki , kd 的作用如下:(1) 比例系數(shù)kp 的作用是加快系統(tǒng)的響應速度,提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。kp 越大,系統(tǒng)的響應速度越快,系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度越高,但易產(chǎn)生超調(diào),甚至會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。kp 取值過小,則會降低調(diào)節(jié)精度,使響應

7、速度緩慢,從而延長調(diào)節(jié)時間,使系統(tǒng)靜態(tài)、動態(tài)特性變壞。(2) 積分作用系數(shù)ki 的作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。ki 越大,系統(tǒng)靜態(tài)誤差消除越快,但ki 過大,在響應過程的初期會產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象,從而引起響應過程的較大超調(diào)。若ki 過小,將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差難以消除,影響系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。(3) 微分作用系數(shù)kd 的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)特性,其作用主要是在響應過程中抑制偏差向任何方向的變化,對偏差變化進行提前預報。但kd 過大,會使響應過程提前制動,從而延長調(diào)節(jié)時間,而且會降低系統(tǒng)的抗干擾性能。22 PID控制器設計加入PID控制器之后，通過如上所述kp、ki、kd 的作用調(diào)節(jié)Kp、Ti、Td參數(shù)使得閉

8、環(huán)傳遞函數(shù)階躍響應達到理想效果，MATLAB程序仿真如下：num=conv(-3*107,1 -2.4*105 1.92*1010);den=conv(1 251.3 3.948*105,1 2.4*105 1.92*1010);G1=tf(num,den);G=G1/(-76); %這一項有問題G1=-G1;Kc,b,Wc,d=margin(G1);%取得控制對象幅值裕度Kc、相位裕度d、和交叉頻率Wc、dTc=2*pi/Wc; %求取參數(shù)Kp=0.45*Kc;Ti=0.5*Tc;Td=0.5*Tc;GPID=Kp*(1+tf(1,Ti 0)+tf(Td 0,Td/20 1); figure

9、(2);step(feedback(G1*GPID,1),'-',G,'-');figure(3);bode(feedback(G1*GPID,1),'-',feedback(G,1),'-');axis(0 0.01 0 1.6) %有問題，這里%各參數(shù)取值為：Kp = 68Ti = 9.728509668515869e-004Td = 9.728509668515869e-004N=20設計控制器為：系統(tǒng)階躍響應曲線如圖2-2所示：圖2-2 PID控制前后的階躍響應曲線圖2-3 PID控制后系統(tǒng)的伯德圖2.3 控制器性能分析如

10、圖2-2、圖2-3所示分析了PID控制前后系統(tǒng)動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，系統(tǒng)的超調(diào)量由53%降為14.2%，調(diào)節(jié)時間由0.045s降到0.00452s，動態(tài)性能明顯提高。從閉環(huán)系統(tǒng)伯德圖可以看出，系統(tǒng)零頻幅振比M(0)=0db,所以階躍響應輸入時，其穩(wěn)態(tài)誤差為0，另外，校正后系統(tǒng)的諧振峰值遠小于原系統(tǒng)，所有超調(diào)量比較小，而頻帶寬度比原系統(tǒng)寬，所以調(diào)節(jié)時間比較短，快速性比較好，但抗干擾性能比較差。再看PID控制的擾動輸入時情況。在原系統(tǒng)模型中：1、令，則可得到由輸入到輸出的傳遞函數(shù)為： （6）2、令，則可得到由干擾到輸出的傳遞函數(shù)為： （7）由以上分析可知，。MATLAB程序仿真如下：figure(3

11、);step(1/(1+GPID*G1); %干擾信號的階躍響應axis(0 0.007 -0.3 1.2);圖2-4 PID控制系統(tǒng)抗干擾性能曲線圖2-4所示，PID控制器作用下系統(tǒng)對階躍干擾信號幾乎可以完全抑制，系統(tǒng)抗干擾性能非常好。因此，該控制器方案達到預期效果。2.4 Simulink仿真link仿真利用Simulink仿真PID控制，仿真圖如下圖2-5圖2-5 Simulink仿真圖仿真結(jié)果如下：圖2-6 階躍響應曲線圖2-7 控制信號輸入從圖2-6，圖2-7仿真結(jié)果可以知道，系統(tǒng)可以較快跟蹤階躍信號，而且控制對象的控制信號輸入也在合理范圍以內(nèi)。3 極點配置控制器的設計3.1 極點配

12、置設計本文中原系統(tǒng)傳遞函數(shù)是4階SISO系統(tǒng)，且系統(tǒng)傳遞函數(shù)互質(zhì)，因此首先把系統(tǒng)化為能控標準型，然后可直接進行基于狀態(tài)反饋的極點配置。由對控制對象分析知道，系統(tǒng)的平衡實現(xiàn)中:g=116.1652 78.1759 0.0051 0.0005 可以看出系統(tǒng)有兩個極點的權(quán)重非常小，可以忽略它的影響，對系統(tǒng)分析時，系統(tǒng)的主要性能由主導極點決定。對系統(tǒng)進行降階，可以得到系統(tǒng)降階后傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)降階后模型為一個二階系統(tǒng)。對于二階系統(tǒng)，其特征多項式為，對應特征根為，對于二節(jié)系統(tǒng)動態(tài)特性來說，當=0.707是為比較理想，這時?；谝陨戏治鲞x擇兩個主導極點和兩個遠極點，得到MATLAB程序仿真如下：num=c

13、onv(-3*107,1 -2.4*105 1.92*1010);den=conv(1 251.3 3.948*105,1 2.4*105 1.92*1010);G1=tf(num,den);G=G1/(-76);Gs= sscanform(G,'ctrl') %把原系統(tǒng)化為能控標準型A B C D=ssdata(Gs);P=-3000-3000i,-3000+3000i,-20000,-21000; %期望極點K=acker(A,B,P);Ac=A-B*K;num,den=ss2tf(Ac,B,C,D);G1=tf(num,den);Gs1=sscanform(G1,'

14、;ctrl');figure(2);step(G,'-',G1,'-'); %控制前后的階躍響應figure(3);subplot(1,2,1)margin(G); %原系統(tǒng)伯德圖subplot(1,2,2)margin(G1); %PID控制系統(tǒng)伯德圖圖3-1 極點配置控制前后系統(tǒng)階躍響應曲線圖3-2 極點配置控制前后系統(tǒng)的伯德圖3.2 極點配置控制器分析如圖3-1、圖3-2所示基于極點配置狀態(tài)反饋控制前后系統(tǒng)動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，系統(tǒng)超調(diào)量由53%降為4%，調(diào)節(jié)時間由0.045s降到0.002s，動態(tài)性能大幅提高。從系統(tǒng)伯德圖可以看出，系統(tǒng)零頻幅振比M

15、(0)=0db,所以階躍響應輸入時，其穩(wěn)態(tài)誤差為0，另外，校正后系統(tǒng)的諧振峰值為0，所以沒有振蕩，且超調(diào)量比較小，而頻帶寬度比原系統(tǒng)寬，所以調(diào)節(jié)時間比較短，快速性比較好，但抗干擾性能比較差。3.3 Simulink仿真用simulink仿真如下：圖3-3 極點配置系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖3-4 極點配置系統(tǒng)階躍響應曲線如圖3-3、3-4所示simulink仿真與程序仿真效果一樣。因此，該控制器方案比較理想。4 LQR控制器的設計4.1 LQR控制器原理線性二次型調(diào)節(jié)器問題簡稱LQR (Linear Quadratic Regulator)問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置, 受到控制界的普遍重視。LQR

16、 方法具有設計規(guī)范、易于工程實現(xiàn)以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點。但在使用該方法時, 最優(yōu)控制效果取決于加權(quán)陣Q 和R 的選取, 如果Q 和R 選取不當, 則可能使求得的解不能滿足實際系統(tǒng)的性能要求, 就更談不上“最優(yōu)”了,有時還能得出誤導性的結(jié)論。設給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程: (1)二次性能指標函數(shù)定義為: 滿足二次型目標函數(shù)J為最小(8)其中:X為n 維狀態(tài)向量, U為r維輸入向量, A,B分別是n×n, n×r 維常數(shù)矩陣, Q為正定(或半正定)實對稱矩陣, R為正定厄米特或?qū)崒ΨQ矩陣。LQR(Linear Quadratic Regulator)問題表示這樣一種物理

17、概念:若系統(tǒng)受到外界擾動, 偏離零狀態(tài)后(即到達某一初態(tài)X0), 應施加怎樣的控制使系統(tǒng)回到零狀態(tài)附近, 并滿足二次型目標函數(shù)J 為最小。此時的稱為最優(yōu)控制,使式(8)取得最小值的最優(yōu)控制律為: （9）式中P就是Riccati方程的解, K是反饋增益矩陣。目前確定加權(quán)矩陣Q 和R 的普遍方法是仿真試湊法, 該方法的基本原理是:首先進行分析初步選取Q 和R, 通過計算機仿真判斷其是否符合設計要求, 如果符合要求則停止仿真。然后用MATLAB 函數(shù)庫可以直接求得反饋增益矩陣K,P=LQR(A B Q R) ,其中向量K為狀態(tài)反饋向量，P為Riccati代數(shù)方程的解，把K 代入到實際系統(tǒng)控制器參數(shù)中

18、,可以得到狀態(tài)反饋下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（A-BK，B，C-DK，D）。這樣就完成了控制器的設計。 一般情況下，如果希望輸入信號小，則選擇較大的R矩陣，這樣可以迫使輸入信號變小，否則目標函數(shù)將增大，不能達到最優(yōu)的要求。對多輸入系統(tǒng)來說，若希望第i個輸入小些，則R的第i列的值應該選得大一些，如果希望第j個狀態(tài)變量的值小一些，則應該相應地將Q矩陣的第j列元素選擇較大的值，這時最優(yōu)化功能會迫使該變量變小。4.2 LQR控制器設計在硬盤控制器中，經(jīng)過權(quán)衡各方參數(shù)后選取Q=1 0 0 0;0 50 0 0;0 0 1 0;0 0 0 5000;R=0.5;編寫matalab程序如下：num=conv(

19、-3*107,1 -2.4*105 1.92*1010);den=conv(1 251.3 3.948*105,1 2.4*105 1.92*1010); %原函數(shù)模型G1=tf(num,den); %程控傳遞函數(shù)G=G1/(-76); %把原函數(shù)變?yōu)閱挝粺o差G_t=G1/-36; %先選定一個比例因子 A B C D=ssdata(G_t); %狀態(tài)空間模型數(shù)據(jù)的訪問Q=1 0 0 0;0 50000 0 0;0 0 1 0;0 0 0 5000;R=0.5;K,S=lqr(A,B,Q,R);Ac=A-B*K;Cc=C-D*K; %計算狀態(tài)反饋后的狀態(tài)空間方程Gk=ss(Ac,B,Cc,D)

20、;Gk1=tf(Gk);figure(2);step(Gk1,'-',G,'-')%與原系統(tǒng)進行比較figure(3);bode(Gk,'-',G_t,'-');gm,pm,wg,wp=margin(Gk)；gm1,pm1,wg1,wp1=margin(G_t)；figure(4);step(1-Gk1);%擾動輸入階躍響應。結(jié)果如下：設計狀態(tài)反饋陣為：K = 11.3312 20.8006 202.0346 59.7220加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)模型為：Transfer function:8.333e005 s2 - 2e011 s

21、+ 1.6e016- （10）s4 + 2.41e005 s3 + 1.944e010 s2 + 1.88e013 s + 1.599e016系統(tǒng)階躍響應曲線如圖4-1所示： 圖4-1 原系統(tǒng)與校正后系統(tǒng)階躍響應圖4-2 原系統(tǒng)與校正后系統(tǒng)伯德圖4.3 LQR控制器分析1）如圖4-1所示：可以看出，經(jīng)過LQR校正后，系統(tǒng)的動態(tài)性能明顯好轉(zhuǎn)，對比如下：上升時間（ms）峰值超調(diào)量(%)調(diào)節(jié)時間(ms)穩(wěn)態(tài)值原系統(tǒng)1.931.5352.731.21校驗后系統(tǒng)1.931.14146.361如圖4-1所示系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量都得到改善，而且振蕩減小了。如圖4-2所示，從系統(tǒng)伯德圖可以看出，系統(tǒng)零頻幅振

22、比M(0)=0db,所以階躍響應輸入時，其穩(wěn)態(tài)誤差為0，另外，校正后系統(tǒng)的諧振峰值=0.925db，遠小于原系統(tǒng)，所以振蕩較小，且超調(diào)量比較小，而頻帶寬度比原系統(tǒng)寬，所以調(diào)節(jié)時間比較短，快速性比較好，但抗干擾性能比較差。4.4 Simulink下仿真利用MATLAB中的Simulink仿真以上設計，仿真圖如下：圖4-3系統(tǒng)simulink仿真結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果如圖：圖4-4 校正后系統(tǒng)階躍響應圖4-5 校正后系統(tǒng)控制輸入信號 圖4-6校正后系統(tǒng)狀態(tài)X1階躍輸入下的響應曲線 圖4-7原系統(tǒng)狀態(tài)X1在階躍響應輸入下響應曲線 圖4-8校正后系統(tǒng)狀態(tài)X2在階躍輸入下的響應曲線 圖4-9原系統(tǒng)X2在階躍輸入下

23、響應曲線 圖4-10校正后系統(tǒng)狀態(tài)X3在階躍輸入下的響應曲線 圖4-11原系統(tǒng)X3在階躍輸入下響應曲線 圖4-12校正后系統(tǒng)狀態(tài)X4在階躍輸入下的響應曲線圖4-13原系統(tǒng)X4在階躍響應輸入下響應曲線從以上各圖（圖4-6至圖4-13）可以看出，加入校正后系統(tǒng)的各個狀態(tài)在階躍信號輸入下的響應曲線有了較大的改善，信號幅值大大較小，從而驗證了LQR設計的目的，尋找一個最優(yōu)的控制使得目標函數(shù)的值最小。5 H控制器的設計5.1 H控制器原理現(xiàn)代控制理論的許多成果在理論上很漂亮，但實際應用并不成功。主要原因是忽略了對象的不確定性，并對系統(tǒng)所存在的干擾信號作了苛刻的要求。加拿大學者Zames在1981年提出了

24、著名的H¥控制思想，考慮如下一個單輸入單輸出系統(tǒng)的設計問題：對于屬于一個有限能量的干擾信號，設計一個控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且干擾對系統(tǒng)期望輸出影響最小。由于傳遞函數(shù)的H¥范數(shù)可描述有限輸入能量到輸出能量的最大增益，所以用表示上述影響的傳遞函數(shù)的H¥范數(shù)作為目標函數(shù)對系統(tǒng)進行優(yōu)化設計，就可使具有有限功率譜的干擾對系統(tǒng)期望輸出的影響最小。一個控制系統(tǒng)最重要的目的是使其達到給定的性能指標而同時又能保證系統(tǒng)的內(nèi)穩(wěn)定。一般來講，描述給定的性能指標的方法之一是用某些信號的大小來表示。H控制中的性能指標就是用傳遞函數(shù)矩陣的H范數(shù)來描述的。H魯棒控制理論是通過對傳遞函數(shù)的無窮范數(shù)

25、優(yōu)化而獲得具有魯棒性能的控制器的一種控制理論。H范數(shù)的物理意義是它代表系統(tǒng)獲得的最大能量增益。H魯棒控制理論的實質(zhì)是為MIMO(多輸入多輸出)且具有模型攝動和不確定性的系統(tǒng)提供了一種頻域的魯棒控制器設計方法。當一個多輸入多輸出系統(tǒng)存在有不確定性（如故障，擾動）時，我們就可以通過H控制理論來設計一個魯棒控制器，來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提供系統(tǒng)的魯棒性。魯棒控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)如下所示，其中P為增廣的對象模型，而F為控制器模型。從輸入信號u1到輸出信號y1的傳遞函數(shù)可以表示為。y1u1 圖5-1標準反饋控制結(jié)構(gòu)對于以上的雙端子狀態(tài)方程對象模型結(jié)構(gòu)，的設計目標是找到一個控制器F(s)，它能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的

26、范數(shù)限制在一個給定的小整數(shù)下，即<。這時控制器的狀態(tài)方程表示為 （11）其中 （12）且X與Y分別為下面兩個代數(shù)Riccati方程的解 （13）控制器存在的前提條件為：（1）足夠小，且滿足<；（2）控制器Riccati 方程的解X 為正定矩陣；(3) 觀測器Riccati 議程的解Y 為正定矩陣；(4) 。該式說明兩個Riccati方程的積矩陣的所有特征值均小于。5.2 H控制器設計對于一般混合靈敏度設計問題，其加權(quán)控制結(jié)構(gòu)如圖5-2所示：圖5-2一般加權(quán)靈敏度函數(shù)結(jié)構(gòu)其中W1，W2，W3都是加權(quán)函數(shù)，這些加權(quán)函數(shù)應該使得G(s),W1(s)、W3G(s)為正則。換句話說就是在S趨

27、向無窮是應該有界。一般情況下，由以上可以組成系統(tǒng)的增廣矩陣為：這個結(jié)構(gòu)又成為設計的一般混合靈敏度問題。在這樣的問題下，線性分式表示可以寫成為，其中F(s)為控制器模型，S(s)為靈敏度函數(shù)，其定義為，是從r (s) 到e (s) 的傳遞函數(shù)，而T(s)為補靈敏度函數(shù)，其定義為，是為從r (s) 到y(tǒng) (s) 的傳遞函數(shù)。靈敏度是決定跟蹤誤差大小的最重要指標，靈敏度越低，則系統(tǒng)的跟蹤誤差越小，估系統(tǒng)響應的品質(zhì)指標越好，而補靈敏度函數(shù)是決定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的重要指標，它制約系統(tǒng)輸出信號的大小，在存在不確定性時，有較大的加權(quán)會迫使系統(tǒng)輸出信號穩(wěn)定。靈敏度和補靈敏度函數(shù)的加權(quán)選擇是相互矛盾的，他們直接應

28、該存在折中。在系統(tǒng)設計時，一般開始時可以把W2設置為一個很小的值，這個W2幾乎為零，此時先考慮W1，w3的影響。輸入響應的最大能量等價于函數(shù)S（s）的范數(shù)。在硬盤控制系統(tǒng)設計中, 為了抑制系統(tǒng)低頻段內(nèi)干擾和模型誤差的影響, 應盡量減小S（s）在該頻段內(nèi)的增益, 通過整形S(s)的頻率特性使其位于某條曲線之下, 得到所要求S 的奇異值(R) 曲線, 就可以得到好的跟蹤性能, 減少穩(wěn)態(tài)誤差。S 對任一個加權(quán)矩陣W1 的跟蹤性能指標為:又因為魯棒穩(wěn)定性與補償靈敏度函數(shù)的最大奇異值成反比, 即補償靈敏度函數(shù)越小,魯棒穩(wěn)定性越好。同理可設計得到所要求T 的奇異值(R) 曲線, 通過整形T 的頻率特性使其

29、位于某條曲線之下時可以達到好的魯棒穩(wěn)定性能, 則得到T 對任一個加權(quán)矩陣W3的魯棒穩(wěn)定性指標為:W1, W3 是根據(jù)工程設計的需要而選取的加權(quán)傳遞函數(shù)矩陣。在MATLAB中，魯棒控制工具箱提供了hinf()函數(shù)來設計一個混合穩(wěn)定性與品質(zhì)魯棒性要求相結(jié)合的控制器。在設計控制器之前，首先自動檢驗控制器是否存在。如果所有的條件均滿足，則將設計出一個控制器。否則，將給出錯誤信息，提示用戶因某些原因不滿足，不能設計出所需的控制器。本文分別選取 。調(diào)用MATLAB語句如下：num=conv(-3*107,1 -2.4*105 1.92*1010);den=conv(1 251.3 3.948*105,1

30、2.4*105 1.92*1010);G1=tf(num,den);G=G1/(-76);W1=0,200;8,1; %設置加權(quán)函數(shù)W1,W2,W3W2=0.01;W3=1,0;0,5000;GP=augtf(G,W1,W2,W3);Gc=hinf(GP); %設計混合穩(wěn)定性與品質(zhì)魯棒性要求相結(jié)合的控制器figure(1);step(feedback(G*Gc,1),'-',G,'-');%校正后系統(tǒng)階躍響應figure(2);%bode(G*Gc,'-',G,'-');bode(feedback(G*Gc,1),'-&#

31、39;,G,'-');%求閉環(huán)系統(tǒng)伯德圖figure(3);step(1-feedback(G*Gc,1);%閉環(huán)反饋系統(tǒng)擾動階躍響應曲線figure(4);%step(feedback(Gc,G);%控制信號線S=1/(1+G*Gc);subplot(2,1,1)sigma(1/tf(0,200,8,1),'-',S,'-');%繪制靈敏度函數(shù)的奇異值曲線subplot(2,1,2)T=1-S;sigma(1/tf(1,0,0,8000),'-',T,'-');%繪制補靈敏度函數(shù)的奇異值曲線u,t=gensig(

32、'sin',0.01);%加入正弦波干擾figure(5);subplot(2,1,1)lsim(ss(G),u,t);%原系統(tǒng)subplot(2,1,2)lsim(ss(G*Gc),u,t);%調(diào)節(jié)后系統(tǒng)系統(tǒng)驗證控制器存在性：<< H-inf Optimal Control Synthesis >>Computing the 4-block H-inf optimal controllerusing the S-L-C loop-shifting/descriptor formulaeSolving for the H-inf controller F

33、(s) using U(s) = 0 (default)Solving Riccati equations and performing H-infinityexistence tests:1. Is D11 small enough? OK2. Solving state-feedback (P) Riccati .a. No Hamiltonian jw-axis roots? OKb. A-B2*F stable (P >= 0)? OK3. Solving output-injection (S) Riccati .a. No Hamiltonian jw-axis roots?

34、 OKb. A-G*C2 stable (S >= 0)? OK4. max eig(P*S) < 1 ? OK-all tests passed - computing H-inf controller .DONE!設計控制器Gc如下：Zero/pole/gain:50139207.2611 (s2 + 251.3s + 3.948e005) (s2 + 2.4e005s + 1.92e010)- （14）(s+9.868e007) (s+638.9) (s+0.125) (s2 + 2.4e005s + 1.92e010)階躍響應曲線如圖5-2所示：圖5-3 校正后系統(tǒng)與原系統(tǒng)

35、階躍響應圖5-4 校正后系統(tǒng)與原系統(tǒng)伯德圖圖5-5 階躍擾動輸入響應圖5-6 S與加權(quán)矩陣1/W1的奇異曲線圖5-7 T與加權(quán)矩陣1/w3的奇異曲線圖5-8 加入100HZ正弦波干擾5.3 H控制器分析從以上可以知道， ,可以看出W1 (s) 的低頻增益較大, 而高頻增益較小, 這樣選擇的目的是在有擾動及低頻模型誤差時, 可得到好的穩(wěn)定軌跡跟蹤, 因為在高頻處存在明顯的模型誤差及不確定性, 所以不強調(diào)高頻處的軌跡跟蹤。W3 (s) 的低頻增益為零, 如此選擇W3 (s) 可確保受控對象在低頻處的輸出不被衰減, 保證了軌跡跟蹤, 同時也保證有較好的魯棒穩(wěn)定性,W3 (s) 與零分貝線的交點為魯棒

36、控制帶寬8000rad/s.從階躍響應曲線如圖5-2所示，加入了控制器后，系統(tǒng)的動態(tài)性能得到改善。上升時間（ms）峰值超調(diào)量(%)調(diào)節(jié)時間(ms)穩(wěn)態(tài)值原系統(tǒng)1.931.5352.731.21校驗后系統(tǒng)4.821.044.1213.41系統(tǒng)伯德圖如圖5-3所示，校正后系統(tǒng)高頻段的曲線位于原系統(tǒng)的下方，證明對于高頻干擾的抑制，校驗后系統(tǒng)比原系統(tǒng)更加優(yōu)越，而且在較高頻段可以看出，校驗后系統(tǒng)的斜率明顯比原系統(tǒng)大，這樣對于高頻干擾的抑制能力更加強。對于階躍擾動輸入，系統(tǒng)都能夠很快克服擾動恢復到原狀態(tài)。如圖5-4所示系統(tǒng)在階躍擾動輸入下很快就恢復到0狀態(tài)，所以系統(tǒng)具有較強的抗干擾性能。從圖5-7可以看到，系統(tǒng)原系統(tǒng)在100HZ正弦波干擾下，擾動幅值增大，而在加入控制器后，擾動幅值得到衰減。5.4 Simulink下仿真利用MATLAB中的Simulink仿真控制器效果，仿真圖如5-5所示：圖5-9 系統(tǒng)simulink仿真結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果如下：圖5-10校正后系統(tǒng)階躍響應曲線圖5-11 控制信號曲線從以上可以可以看出，系統(tǒng)的性能有較大的改善，從控制信號曲線可以看出，控制器輸出信號保持在一個合理的范圍以內(nèi)。6 綜合比較本文以上