含有絕對值的不等式的解法

1、含有絕對值的不等式的解法 【學(xué)習(xí)目標】1使學(xué)生掌握axbc與 axbc(c0)型的不等式的解法2使學(xué)生能夠利用數(shù)形結(jié)合，分類討論，方程與化歸的思想解一些簡單的絕對值不等式【學(xué)習(xí)障礙】1對絕對值的幾何意義理解不到位2對于axbc與axbc(c0)兩種類型的不等式的解法分辨不清3學(xué)生對數(shù)軸的利用率不夠高【學(xué)習(xí)策略】學(xué)習(xí)導(dǎo)引1預(yù)習(xí)課本P14152本節(jié)課的重點是xa與xa(a0)；axbc與axbc(c0)型不等式的解法，難點是對絕對值幾何意義的理解關(guān)于本節(jié)的知識點有以下幾個：(1)一般地，不等式xa(a0)的解集是：xaxa(2)不等式xa(a0)的解集是xxa或xa(3)其推論為：axb

2、c(c0)的解為：caxbcaxbc(c0)的解為axbc或axbc知識拓寬1不等式axb(ba0)的解法圖111 可以利用絕對值在數(shù)軸上的意義直接得出axb或bxa也可以利用不等式組來解例1解不等式12x15思路一：這是一個雙連不等式，利用絕對值在數(shù)軸上的意義可以得出12x15或52x11，從而求出不等式的解解：原不等式等價于12x15或52x11，即：22x6或42x0 解得：1x3或2x0故原不等式的解集為x2x0或1x3思路二：將原不等式轉(zhuǎn)化為進而求出與不等式解集的交集解：原不等式等價于即或不等式組的解為1x3 不等式組的解為2x0故原不等式的解集為x2x0或1x3誤區(qū)點評：在進行原不

3、等式等價轉(zhuǎn)化時，容易發(fā)生以下失誤在第一種解法中，將不等式轉(zhuǎn)化為12x15或12x15，在第二種解法中，將不等式轉(zhuǎn)化為2含有兩個或兩個以上的絕對值號的不等式的解法例2解不等式x3x38思路一：這是一個含有兩個絕對值符號的不等式，為了使其轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的不等式，應(yīng)進行分類討論解：令x30，x30，得x3或3，解得：x4，解得：，解得：x4取的并集得原不等式的解為x4或x4點評：解這類絕對值符號里是一次式的不等式如：xaxbc或xaxbc，xaxb或xaxb常用“零點分段法”其一般步驟為：(1)分別求出每個絕對值為零的根，稱之為零點；(2)將各零點在數(shù)軸上標出來，它們將數(shù)軸分成若干段；(3)

4、依次對各段上的x進行討論，求出相應(yīng)所得不等式的解集；(4)取這些不等式解集的并集即得原不等式的解集思路二：利用函數(shù)的圖象解題解：分別畫出y1x3x3與y28的圖象圖112y1由圖象觀察可知：要使y1y2，只須x4或x4原不等式的解集為xx4或x4思路三：利用絕對值的幾何意義解題解：x3x38圖113表示數(shù)軸上與A(3)，B(3)兩點距離之和大于8的點，而AB6，如圖112因此，要找與A、B距離之和為8的點，只須由點B右移1個單位，或點A左移一個單位，如圖113由圖象可得：原不等式的解集為xx4或x4點評：對于形如xaxbc，xaxbc，或xaxb的不等式，利用不等式的幾何意義或者畫出左右兩邊的

5、圖象去解不等式，更為直觀，簡捷3解關(guān)于x的絕對值不等式axbc(a0)例3解不等式axbc(a0)解：當(dāng)c0時，解集為R當(dāng)c0時，得axbc或axbc，即：axcb或axcb()a0時，不等式的解集為xx或x()a0時，不等式的解集為xx或x當(dāng)c0時，不等式的解集為xxR且x點評：在解含有字母的絕對值不等式時，要討論字母的取值范圍，考慮全面例4解不等式x12x思路一：對2x的取值分類討論(1)當(dāng)2x0時，(x1)2(2x)2得x2(2)當(dāng)2x0時，不等式恒成立x2不等式的解集為xx思路二：對x1的取值進行分類討論解：原不等式等價于： 或得：x或 不等式的解集為xx思路三：利用等價形式解：原不等

6、式等價于x12x或x1x2，得x或不等式解集為xx點評：對于xa(a0) xa或xa可推廣為：f(x)，g(x)是關(guān)于x的代數(shù)式則f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x)g(x)可正也可負；同理：xa(a0)也可推廣到f(x)，g(x)障礙分析1如何理解絕對值的幾何意義？實數(shù)的絕對值，設(shè)aR，則a其幾何意義是：a表示數(shù)軸上的點到原點的距離例5求不等式x23的解集思路：利用絕對值的幾何意義求解x2的幾何意義是x在數(shù)軸上的對應(yīng)點到2的對應(yīng)點之間的距離圖114解：x2的幾何意義是x在數(shù)軸上的對應(yīng)點之間的距離，因而，x23的解集是數(shù)軸上到2的對應(yīng)點的距離小于3的點所對應(yīng)的數(shù)組成的集合即x1

7、x5如圖114點評：對于這類題，關(guān)鍵在于正確地揭示問題的背景，實施正確的轉(zhuǎn)化，還應(yīng)注意端點是否能取到2axbc和axbc(c0)的解有何區(qū)別？類 型化去絕對值后集合上解的意義區(qū)別axbccaxbcxaxbcxaxbc，交集axbcaxbc或axbcxaxbcxaxbc，并集3利用數(shù)軸時應(yīng)注意的幾個問題：注意端點值能否取到“或”，端點值取不到，對應(yīng)在數(shù)軸上用“”表示；“或”端點值能取到，對應(yīng)在數(shù)軸上，用“·”表示，反之亦然何時取“”，何時取“”?且的時候取交，或的時候取并，如：1x23等價于x23且x21，最后兩個不等式的解集應(yīng)取交集而3x23等價于3x23或3x23，最后應(yīng)取其并集思

8、維拓展例6若不等式x43xa的解集是空集，求a的取值范圍思路一：直接進行分類討論解：當(dāng)a0時，不等式x43xa的解集是空集當(dāng)a0先求不等式x43xa有解時a的取值范圍令x40，3x0，得x4，x3()當(dāng)x4時，x4x3a，即：2x7a4x，a1()當(dāng)3x4時，有4xx3a，即a1()當(dāng)x3時，有4x3xa，即72xaa3，a1綜合()()()可知當(dāng)a1時，原不等式有解從而當(dāng)0a1時，原不等式的解集為由兩種情況可知不等式x43xa的解集是空集，a的取值范圍是a1點評：對于a0的情況下，解答不等式x43xa解集為空集，求a的取值范圍比較困難，常常轉(zhuǎn)化為求“不等式x43xa有解時a的取值范圍”這樣就

9、轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，使難度大大降低，這是補集思想的一種體現(xiàn)思路二：利用圖象來解，把x43xa的解集為問題轉(zhuǎn)化為y1x43x的圖象與y1a的圖象無交點問題圖115解：令y1x43x則y1 作出其函數(shù)的圖象由圖象觀察可知當(dāng)a1時y2a與y1的圖象無交點即：x43xa的解集為點評：這種把求解問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題或轉(zhuǎn)化成求x3x2的最小值問題，體現(xiàn)了一種化復(fù)雜為簡單，化一般為特殊的思想方法，這也是解決數(shù)學(xué)問題的一般方法思路三：利用絕對值的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求數(shù)軸上兩點間的最小距離解：令yx43xx4x3圖116則y表示數(shù)軸上x對應(yīng)點與4，3對應(yīng)點的距離之和y的最小值為431ay的解集為空集時，a1

10、探究學(xué)習(xí)設(shè)Ax2x13，Bxx21，滿足下列條件的集合C是否存在，若存在求出，不存在說明理由C(AB)Z；C中有三個元素；CB【同步強化練習(xí)】一、選擇題1當(dāng)a0時，axb的解集為Axx Bxx CR D 2不等式2x1的解集是Axx3 Bxx1或x3 Cxx1 Dx1x33若不等式2xbc的解集是x4x6，則b、c的值分別為A2，10 B1，5 C2，10 D1，54不等式2x123x的解集為A(，)(1，) B(， ) Cxx或x Dx3x二、填空題5不等式x2x37的解集是_6不等式52x520的解集是_7若有意義，則x的取值范圍是_三、解答題8已知集合Axx1c，c0，Bxx34且AB，

11、求c的取值范圍9解關(guān)于x的不等式ax12a 【同步強化練習(xí)答案】一、1A 提示：因a0，所以axb，除以a時要變號，所以xx2D 提示：因2x1等價于x21所以1x21，即1x33A 提示：因為2xbcc2xbc，即：x，所以6，4，解之：b2，c104B 提示：原不等式等價于3x22x123x即解之：x，原不等式的解集為xx二、5xx4或x3 提示：不等式x2x37的等價式為：解之：x4或x3，所以不等式的解集為：xx4或x36x5x或x0 提示：原不等式等價于52x520或202x55，解之：5x或x0，所以原不等式的解集為x5xx07xx或x且x± 提示：由題所以x的取值范圍：xx或x且x±三、8解：Axx1c(c0) x1cx1c，c0Bxx34xx1或x7AB，解之：0c29解