代數(shù)式的變形

1、代數(shù)式的變形在化簡、求值、證明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的過程中，常需將代數(shù)式變形，現(xiàn)結合實例對代數(shù)式的基本變形，如配方、因式分解、換元、設參、拆項與逐步合并等方法作初步介紹.1  配方在實數(shù)范圍內(nèi)，配方的目的就是為了發(fā)現(xiàn)題中的隱含條件，以便利用實數(shù)的性質(zhì)來解題.例1          （1986年全國初中競賽題）設a、b、c、d都是整數(shù)，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成兩個整數(shù)的平方和，其形式是_.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+

2、a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式為(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2（1984年重慶初中競賽題）設x、y、z為實數(shù)，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解  將條件化簡成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0x=y=z,原式=1.2.因式分解前面已介紹過因式分解的各種典型方法,下面再舉幾個應用方面的例子.例3(1987年北京初

3、二數(shù)學競賽題)如果a是x2-3x+1=0的根,試求的值.解  a為x2-3x+1=0的根, a2-3a+1=0,且=1.原式說明:這里只對所求式分子進行因式分解,避免了解方程和復雜的計算.3.換元換元使復雜的問題變得簡潔明了.例4 設a+b+c=3m,求證:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.證明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c則p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0p3+q3+r3-3pqr=0即  (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b

4、)(m-c)=0例5 (民主德國競賽試題) 若,試比較A、B的大小.解 設 則.2xy     2x-y0, 又y0,可知  AB.4.設參當已知條件以連比的形式出現(xiàn)時,可引進一個比例系數(shù)來表示這個連比.例6 若求x+y+z的值.解  令則有   x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7 已知a、b、c為非負實數(shù)，且a2+b2+c2=1,求a+b+c的值.解  設 a+b+c=k則a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.

5、由條件知即    a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.a2+b2+c2=1,k=a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)(a+b)2+c2-(a+b)c-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,k(-ab-bc-ac)=0.若K=0, 就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即 (a+b+c)2-(a2+b

6、2+c2)=0,(a+b+c)2=1,a+b+c=±1綜上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重點介紹分式的變形：（1） 分離分式  為了討論某些用分式表示的數(shù)的性質(zhì)，有時要將一個分式表示為一個整式和一個分式的代數(shù)和.例8（第1屆國際數(shù)學競賽試題）證明對于任意自然數(shù)n，分數(shù)皆不可約.,證明  如果一個假分數(shù)可以通約，化為帶分數(shù)后，它的真分數(shù)部分也必定可以通約.而     顯然不可通約，故不可通約，從而也不可通約.（2） 表示成部分分式  將一個分式表示為部分分式就是將分式化為若干

7、個真分式的代數(shù)和.例9 設n為正整數(shù)，求證：  證明  令通分，比較、兩式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.令k=1,2,n得  (3)通分  通分是分式中最基本的變形,例9的變形就是以通分為基礎的,下面再看一個技巧性較強的例子.例10(1986年冬令營賽前訓練題)已知求證:.證明   6.其他變形例11 (1985年全國初中競賽題)已知x(x0，±1)和1兩個數(shù)，如果只許用加法、減法和1作被除數(shù)的除法三種運算（可用括號），經(jīng)過六步算出x2.那么計算的表達式是_.解   x2=x(x+1

8、)-x或  x2=x(x-1)+x例12 （第3屆美國中學生數(shù)學競賽題）設a、b、c、d都是正整數(shù)，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解  由質(zhì)因數(shù)分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可設a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)   解得  x=3.  y=10.      d-b=y3-x5=757            

9、               練習 七1選擇題（1）（第34屆美國數(shù)學競賽題）把相乘，其乘積是一個多項式，該多項式的次數(shù)是（  ）（A）2         （B）3          （C）6       &#

10、160;    （D）7       （E）8（3） 已知則的值是（  ）.(A)1      (B)0     (C)-1     (D)3（3）（第37屆美國中學數(shù)學競賽題）假定x和y是正數(shù)并且成反比，若x增加了p%，則y減少了（  ）.（A）p%     (B)%    &

11、#160;   (C)%          (D)%   (E)%2填空題（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，則a+b+c+d+e+f=_,  b+c+d+e=_.(2)若=_.(3)已知y1=2x,y2=,則y1y1986=_3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,試求x+z與y的關系.4（1985年寧夏初中數(shù)學競賽題）把寫成兩個因式的積,使它們的和為，求這兩個式子.5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.

12、6.已知x,y,z為互不相等的三個數(shù),求證7已知a2+c2=2b2,求證8.設有多項式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求證:如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一個二次三項式的平方.9.設(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求證:ac=bd. 練習七1.C.C.E2.(1)-32,210    (2)    (3)23.略.4.5.    6.略, &#

13、160;  7.略.8.p2-4q-4(m+1)=0,   4q=p2-4(m+1)=0,f(x)=4x4-4px3+p2-4(m+1)x2+2p·(m+1)x+(m+1)2=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x=2x2-px-(m+1)2.9.令a+b=p,c+d=q,由條件化為pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展開整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).均可

14、得出ac=bd.定義新運算定義新運算（一） 我們已經(jīng)學習過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數(shù)學中最基本的運算，它們的意義、符號及運算律已被同學們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的運算及其符號，在中、小學課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學習討論這些新運算，對于開拓思路及今后的學習都大有益處。例1 對于任意數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。根據(jù)以上的規(guī)定，求106的值。3，x>=

15、2，求x的值。分析與解：按照定義的運算，<1，2，3，x>=2，x=6。由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+，-，×，÷，等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運算符號使用“*”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。分析與解：按新運算的定義，符號“”表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。按通常的規(guī)則從左至右進行運算。分析與解：從

16、已知的三式來看，運算“”表示幾個數(shù)相加，每個加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號前面的那個數(shù)，而符號后面的數(shù)是幾，就表示幾個數(shù)之和，其中第1個數(shù)是1位數(shù)，第2個數(shù)是2位數(shù)，第3個數(shù)是3位數(shù)按此規(guī)定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。從例5知，有時新運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進行運算。例6 對于任意自然數(shù)，定義：n！=1×2× ×n。例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字是幾？分析與解：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1&

17、#215;2×3×4=24，5！=1×2×3×4×5=120，6！=1×2×3×4×5×6=720，由此可推知，從5！開始，以后6！，7！，8！，100！的末位數(shù)字都是0。所以，要求1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字，只要把1！至4！的個位數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個位數(shù)字是3。例7 如果m，n表示兩個數(shù)，那么規(guī)定：m¤n=4n-（m+n）÷2。求3¤（4¤6）¤12的值。解：3¤（4¤6）&#

18、164;12=3¤4×6-（4+6）÷2¤12=3¤19¤12=4×19-（3+19）÷2¤12=65¤12=4×12-（65+12）÷2=9.5。 練習1.對于任意的兩個數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。2.已知ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。3.已知ab表示（a-b）÷（a+b），試計算：（53）（106）。4.規(guī)定ab表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求82的值。5.假定mn表示m的3倍減去n的2倍，即m

19、n=3m-2n。（2）已知x（41）=7，求x的值。7.對于任意的兩個數(shù)P， Q，規(guī)定 PQ=（P×Q）÷4。例如：28=（2×8）÷4。已知x（85）=10，求x的值。8.定義： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（43）（2b）。9.已知： 23=2×3×4， 45=4×5×6×7×8， 求（44）÷（33）的值。 定義新運算（二）例1 已知ab=（a+b）-（a-b），求92的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結果。但是，

20、根據(jù)四則運算的法則，我們可以先把新運算“”化簡，再求結果。ab=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。所以，92=2×2=4。由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。例2 定義運算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：27=3×2+5×2×7+7k。（1）已知52=73。問：85與58的值相等嗎？（2）當k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有ab=ba，即新運算“”符合交換律？分析與解：（1）首先應

21、當確定新運算中的常數(shù)k。因為52=3×5+5×5×2+k×2 =65+2k，所以由已知 52=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運算是：ab=3a+5ab+4b。85=3×8+5×8×5+4×5=244，58=3×5+5×5×8+4×8=247。因為244247，所以8558。（2）要使ab=ba，由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k

22、)(a-b)=0。對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。當新運算是ab=3a+5ab+3b時，具有交換律，即ab=ba。例3 對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為ab，即ab=a，b-（a，b）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么1014=70-2=68。（1）求1221的值；（2）已知6x=27，求x的值。分析與解：（1）1221=12，21-（12，21）=84-3=81；（2）因為定義的新運算“”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數(shù)代入表達式求x，只能用推理的方法。因為6x=6，x-（6，x）=27，而6與x的最大公約

23、數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)6，x只能是28， 29， 30， 33。這四個數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因為a×b=a，b×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn)90°，b表示順時針旋轉(zhuǎn)180°，c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90°，d表示不轉(zhuǎn)。定義運算“”表示“接著做”。求：ab；bc；ca。分析與解： ab表示先順時針轉(zhuǎn)90°，再順時針轉(zhuǎn)180°，等于順時針轉(zhuǎn)270°，也等于逆時針轉(zhuǎn)90&#

24、176;，所以ab=c。bc表示先順時針轉(zhuǎn)180°，再逆時針轉(zhuǎn)90°，等于順時針轉(zhuǎn)90°，所以bc=a。ca表示先逆時針轉(zhuǎn)90°，再順時針轉(zhuǎn)90°，等于沒轉(zhuǎn)動，所以ca=d。對于a，b，c，d四種運動，可以做一個關于“”的運算表（見下表）。比如cb，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是cb的結果。因為運算符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結果。例5 對任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（x+1）=21，

25、求x的值。解：（1） f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；（2）f（g（2）+g（f（2） =f（2×2）+g（2×2+1） =f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。 練習 2.定義兩種運算“”和“”如下：ab表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，ab表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比如：45=4×3=12，45=5×2.5=12.5。計算：(0.60.5)+(0.30.8)

26、÷(1.20.7)-(0.640.2)。4.設m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算mn=（A×m-n）÷4，并且23=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：（57）×（22）÷（32）。5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：a表示順時針旋轉(zhuǎn)240°，b表示順時針旋轉(zhuǎn)120°，c表示不旋轉(zhuǎn)。運算“”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。6.對任意兩個不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）計算：19982000，（519）

27、19，5（195）；（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。7.對于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。（1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x的值。   1.2。2.4。3.0。 提示：（2）x（41）= 7， x（4×3-1×2）= 7，x10=7， 3x-10×2=7，x=9。 （2）相當于由1×2×3× ×x=40320，求x。40320÷220160，20160÷3= 6720

28、，6720÷4=1680，1680÷5=336，8÷8=1，即1/40320=1×1/2×1/3×1/4×1/5×1/6×1/7×1/8。所以x=8。7.4。解：x（85）= x（8×5÷4）= x10= x×10÷4，由x×10÷4=10，求得x=4。8.0。解： （43）（26）= (4×3-3×3)(4×2-6/2) = 35=3×5-3×5=0。9.14。提示：新運算“”是：從第

29、一個數(shù)字起，求越來越大的連續(xù)幾個自然數(shù)的乘積，因數(shù)個數(shù)是第二個數(shù)字。（44）÷（33）= （4×5×6×7）÷（3×4×5）=14。    2.7。解：原式=（0.5×3+0.8×2.5）÷(0.7×3-0.64×2.5)=7。3.33。提示：從已知的四式發(fā)現(xiàn)，第一個數(shù)的4倍加上第二個數(shù)等于結果，所 提示：由 23= （A×2-3）÷4=0.75，推知A=3。定義的運算是： mn=（3m-n）÷4。 （57）

30、5;（22）÷（32）=（3×5-7）÷4×(3×2- 2)÷4÷（3×3-2）÷4=2×1÷7/4=8/7。5.6.（1）2，3，1；（2）7或14。提示：（1）（59）19= 419=3，5（195）= 54= 1。（2）當x11時，x是7；當x11時，x是14。7.（1）10；（2）4。解：（1）f（g（6）- g（f（3）= f(6÷2+1)- g（3×3-1）= f( 4)- g（8）= （4×4-1）-（8÷2+1）= 10；。 （2

31、）由f( g（x）)= 8=3×3-1，推知g（x）= 3；再由x÷2+1=3，得x=4。分解質(zhì)因數(shù)自然數(shù)中任何一個合數(shù)都可以表示成若干個質(zhì)因數(shù)乘積的形式，如果不考慮因數(shù)的順序，那么這個表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)乘積的形式叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。例1 一個正方體的體積是13824厘米3，它的表面積是多少？分析與解：正方體的體積是“棱長×棱長×棱長”，現(xiàn)在已知正方體的體積是13824厘米3，若能把13824寫成三個相同的數(shù)相乘，則可求出棱長。為此，我們先將138

32、24分解質(zhì)因數(shù)：把這些因數(shù)分成三組，使每組因數(shù)之積相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），于是，得到棱長是23×3=24（厘米）。所求表面積是24×24×6=3456（厘米2）。例2 學區(qū)舉行團體操表演，有1430名學生參加，分成人數(shù)相等的若干隊，要求每隊人數(shù)在100至200之間，共有幾種分法？分析與解：按題意，每隊人數(shù)×隊數(shù)=1430，每隊人數(shù)在100至200之間，所以問題相當于求1430有多少個在100至200之間的約數(shù)。為此，先把1430分解質(zhì)因數(shù)，得14302×5&

33、#215;11×13。從這四個質(zhì)數(shù)中選若干個，使其乘積在100到200之間，這是每隊人數(shù)，其余的質(zhì)因數(shù)之積便是隊數(shù)。2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。所以共有三種分法，即分成13隊，每隊110人；分成11隊，每隊130人；分成10隊，每隊143人。例3 1×2×3××40能否被90909整除？分析與解：首先將90909分解質(zhì)因數(shù)，得 90909=33×7×13×37。 因為33（=27），7，13，3

34、7都在140中，所以1×2×3××40能被90909整除。例4 求72有多少個不同的約數(shù)。分析與解：將72分解質(zhì)因數(shù)得到72=23×32。根據(jù)72的約數(shù)含有2和3的個數(shù)，可將72的約數(shù)列表如下：上表中，第三、四行的數(shù)字分別是第二行對應數(shù)字乘以3和32，第三、四、五列的數(shù)字分別是第二列對應數(shù)字乘以2，22和23。對比72=23×32，72的任何一個約數(shù)至多有兩個不同質(zhì)因數(shù)：2和3。因為72有3個質(zhì)因數(shù)2，所以在某一個約數(shù)的質(zhì)因數(shù)中，2可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次、出現(xiàn)3次，這就有4種情況；同理，因為72有兩個質(zhì)因數(shù)3，所以3可能不出現(xiàn)

35、或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次，共有3種情況。根據(jù)乘法原理，72的不同約數(shù)共有4×3=12（個）。從例4可以歸納出求自然數(shù)N的所有不同約數(shù)的個數(shù)的方法：一個大于1的自然數(shù)N的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)加1的連乘積。例如，2352=24×3×72，因為2352的質(zhì)因數(shù)分解式中有4個2，1個3，2個7，所以2352的不同約數(shù)有（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（個）；又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的約數(shù)有（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1

36、）=48（個）。例5 試求不大于50的所有約數(shù)個數(shù)為6的自然數(shù)。分析與解：這是求一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)的逆問題，因此解題方法正好與例4相反。因為這個數(shù)有六個約數(shù)，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，當這個數(shù)只有一個質(zhì)因數(shù)a時，這個數(shù)是a5；當這個數(shù)有兩個質(zhì)因數(shù)a和b時，這個數(shù)是a2×b。因為這個數(shù)不大于50，所以對于a5，只有a=2，即25=32；對于a2×b，經(jīng)試算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50。所以滿足題

37、意的數(shù)有八個：32，12，20，28，44，18，45，50。 練習1.一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209分米2，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少立方分米？2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693，4年前他們的年齡都是質(zhì)數(shù)。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？3.某車間有216個零件，如果平均分成若干份，分的份數(shù)在5至20之間，那么有多少種分法？4.小英參加小學數(shù)學競賽，她說：“我得的成績和我的歲數(shù)以及我得的名次乘起來是3916，滿分是100分?！蹦芊裰佬∮⒌哪挲g、考試成績及名次？5.舉例回答下面各問題：（1）兩個質(zhì)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)嗎？（2）兩個質(zhì)數(shù)的積能是質(zhì)數(shù)嗎？（3）

38、兩個合數(shù)的和仍是合數(shù)嗎？（4）兩個合數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）仍是合數(shù)嗎？（5）一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)的和是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？6.求不大于100的約數(shù)最多的自然數(shù)。7.同學們?nèi)ド浼?，?guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶）或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩同學各射5箭，每人得到的總環(huán)數(shù)之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總環(huán)數(shù)。 1.374分米3提示：長方體正面和上面的面積和是：長×高+長×寬=長×（高+寬）=209=11×19=11×（2+7），所求體積為11×2×17=374（分米3）。2.9歲，

39、77歲。提示：693=32×7×11，因為爺孫的歲數(shù)都大于4歲，693分解成兩個大于4的約數(shù)的乘積，有693=7×99=9×77=11×63=21×33，相乘的兩個約數(shù)減4都是質(zhì)數(shù)的有9×77和21×33，但爺孫的年齡不可能是21歲和33歲，所以是9歲和77歲。3.5種。提示：216=23×33，216的介于5與20之間的約數(shù)有6，8，9，12和18五個。4.11歲，87分，第四名。提示：3916=22×11×89，小英的年齡應在712歲。5.（1）不一定；（2）不能；（3）不一定；（

40、4）不一定；（5）不一定。6.72，60，84，90。提示：只有一個質(zhì)因數(shù)時，約數(shù)最多的是26=64，有7個約數(shù)；有兩個質(zhì)因數(shù)時，約數(shù)最多的是23×32=72，有12個約數(shù)；有三個質(zhì)因數(shù)時，約數(shù)最多的是22×3×5=60，22×3×7=84，2×32×5=90，各有12個約數(shù)。7.甲24環(huán)，乙28環(huán)。解：因為環(huán)數(shù)之積都是1764，說明他們的環(huán)數(shù)中沒有0環(huán)和10環(huán)，環(huán)數(shù)都是1764的大于0小于10的約數(shù)。1764=2×2×3×3×7×7。五箭的環(huán)數(shù)可能的情況有：（1）1，2&#

41、215;2，3×3，7，7即1，4，9，7，7環(huán)，和是28；（2）1，2×3，2×3，7，7即1，6，6，7，7環(huán)，和是27；（3）2，2，3×3，7，7即2，2，9，9，7環(huán)，和是27；（4）2，3，2×3，7，7即2，3，6，7，7環(huán)，和是25；（5）2×2，3，3，7，7即4，3，3，7，7環(huán)，和是24。已知甲比乙的總環(huán)數(shù)少4環(huán)，所以甲總環(huán)數(shù)是24，乙總環(huán)數(shù)是28。奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，（2）不能被2整除的

42、自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇

43、數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。因為（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4&

44、#215;（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+1997+1998。分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解

45、法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關，與加數(shù)中的偶數(shù)無關。11998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。例2 能否在下式的中填上“+”或“-”，使得等式成立？123456789=66。分析與解：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。例3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999？分析與解：假設這兩個五位數(shù)的和等

46、于99999，則有下式：其中組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于 9+9=18，豎式中和的個位數(shù)是9，所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。另一方面，因為組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。奇數(shù)偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設這兩個五位數(shù)的和等于99999，所以假設不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999。例4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學互相頻頻握手。請問：握過

47、奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結論矛盾，所以B類人即握過

48、奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。例5 五（2）班部分學生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：本題要求出這部分學生的總成績是不可能的，所以應從每個人得分的情況入手分析。因為每道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50道題，50個奇數(shù)相加減，結果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學生的總分必是偶數(shù)。 練習1.能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22？2.任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三

49、位數(shù)，一位同學將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學的計算有沒有錯？3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。4.某班學生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.A市舉辦五年級小學生“春暉杯”數(shù)學競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5

50、分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。7.紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學校各有1999名學生包場看這兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學校的學生，為什么？   1.五個奇數(shù)的和不可能等于22。2.與例3類似，這位同學計算有錯誤。3.甲勝。提示：七個整數(shù)中，奇、偶數(shù)的個數(shù)肯定不等，如果奇（偶）數(shù)多，那么至少有一列的兩個數(shù)都是奇（偶）數(shù)，這列的差是偶數(shù)，七

51、個差中有一個偶數(shù)，七個差之積必是偶數(shù)，所以甲勝。4.偶數(shù)。提示：因為這次活動是有來有往，所以總的通信數(shù)是偶數(shù)。又因為寫了偶數(shù)封信的人寫信的總數(shù)是偶數(shù)，所以寫了奇數(shù)封信的人寫信的總數(shù)也是偶數(shù)。因為只有偶數(shù)個奇數(shù)之和是偶數(shù)，所以寫奇數(shù)封信的人數(shù)是偶數(shù)。5.奇數(shù)。提示：每個同學的得分都是奇數(shù)。6.不可能。提示：假設在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，5條直線上的紅圈總數(shù)就會是奇數(shù)（奇數(shù)乘以奇數(shù)仍是奇數(shù)）。因為每個紅圈均在兩條直線上，所以按各條直線上的紅圈數(shù)計算和時，每個紅圈都被算了兩次，所以紅圈總數(shù)應是偶數(shù)。這就出現(xiàn)了矛盾。所以假設在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)是不可能的。7.提示：如果每個座位上、下午

52、坐的都是同一個學校的學生，那么每個學校來看電影的學生數(shù)應當是偶數(shù)，與每所學校有1999名學生來看電影矛盾。這個矛盾說明必有上、下午坐的是不同學校的學生的座位。奇偶性（二）例1用09這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？分析與解：有時題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調(diào)整，使最后結果達到全部要求。這道題的幾個要求中，滿足“和最大”是最容易的。暫時不考慮這五個數(shù)的和是奇數(shù)的要求。要使組成的五個兩位數(shù)的和最大，應該把十個數(shù)碼中最大的五個分別放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而個位上放0，1，2，3，4。根據(jù)奇數(shù)的定義，這樣

53、組成的五個兩位數(shù)中，有兩個是奇數(shù)，即個位是1和3的兩個兩位數(shù)。要滿足這五個兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運算規(guī)律，這五個數(shù)中應有奇數(shù)個奇數(shù)?，F(xiàn)有兩個奇數(shù)，即個位數(shù)是1，3的兩位數(shù)。所以五個數(shù)的和是偶數(shù)，不合要求，必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十位與個位上的數(shù)字。要使五個數(shù)有奇數(shù)個奇數(shù)，并且五個數(shù)的和盡可能最大，只要將個位和十位上的一個奇數(shù)與一個偶數(shù)交換，并且交換的兩個的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿足題設要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4，6，7，8，9，個位上的數(shù)碼是0，1，2，3，5，所求這五個數(shù)的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=35

54、1。例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？分析與解：盲目的試驗，可能總也找不到要領。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因為只能翻轉(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。例3 有m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)

55、過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？分析與解：當m是奇數(shù)時，（m-1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能全部朝上。當m是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m= 4的情形入手觀察，在下表中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動的杯子用*號標記。翻轉(zhuǎn)情況如下：由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動，就可達到要求。一般來說，對于一只杯子，

56、要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只杯子，當m是偶數(shù)時，因為（m-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點，只需要翻轉(zhuǎn)m次，并且依次保持第1，2，m只杯子不動，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒有翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了（m-1）次。綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）只。當m是奇數(shù)時，無論翻轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當m是偶數(shù)時，翻轉(zhuǎn)m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。例4 一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，3，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼

57、的最多有幾篇？分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的，即排版奇數(shù)頁的文章，第一面是奇數(shù)頁碼，最后一面也是奇數(shù)頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁碼上。一篇有偶數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁的文章，第一面是奇（偶）數(shù)頁碼，最后一面應是偶（奇）數(shù)頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）數(shù)頁碼上。以上說明本題的解答主要是根據(jù)奇偶特點來處理。題目要求第一面排在奇數(shù)頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁的文章，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上（如

58、第1頁），那么接著每一篇有偶數(shù)頁的文章都會是第一面排在奇數(shù)頁碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數(shù)頁的文章，第一篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，第二篇的第一面就會排在偶數(shù)頁碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，如此等等。在8篇奇數(shù)頁的文章中，有4篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上。例5 有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后

59、，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？分析與解：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2（枚）棋子。從大盒內(nèi)每次摸2枚棋子有以下兩種情況：（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)。當所摸兩枚棋子同是黑色，這時大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內(nèi)多了一枚黑棋子。（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內(nèi)少了一枚黑棋子。綜合（1）（2），每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一

60、枚，即改變了黑棋子數(shù)的奇偶性。原來大盒內(nèi)有1000枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數(shù)枚黑棋子。因為大盒內(nèi)只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。例6 一串數(shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到這串數(shù)的第1000個數(shù)為止，共有多少個偶數(shù)？分析與解：首先分析這串數(shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況。1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，這串數(shù)的規(guī)律是，從第三項起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。根據(jù)奇偶數(shù)的加法性質(zhì)，可以得出這串數(shù)的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，容易看出，這串數(shù)是按“奇，奇，偶”每三個數(shù)為一組周期變化的。 1000÷3=3331，這串數(shù)的前1000個數(shù)有333組又1個數(shù)，每組的三個數(shù)中有1個偶數(shù)，并且是第3個數(shù)，所以這串數(shù)到第1000個數(shù)時，共有333個偶數(shù)。  練習1.在11，111，1111，11111，這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不會是某一個自然數(shù)的平方。這樣說對嗎？2.一本書由17個故事組成，各個