立方體表面展開圖規(guī)律的探索

1、立方體表面展開圖規(guī)律的探索 3.2直棱柱的表面展開圖教學(xué)片斷教學(xué)背景3.2直棱柱的表面展開圖是浙教版新教材八年級上冊第三章第二節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是四點：1. 了解直棱柱的表面展開圖的概念；2. 會在簡單情況下判斷一個平面圖形是否直棱柱的表面展開圖，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；3. 會畫簡單直棱柱的表面展開圖；4. 能根據(jù)展開圖判斷和制作立體模型. 教學(xué)重點是：直棱柱的表面展開圖,包括會認(rèn)和畫展開圖.教學(xué)難點是:立方體的表面展開圖的辨認(rèn).由于在這套教材體系里，學(xué)生是第一次接觸空間立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，因此，考慮到本節(jié)內(nèi)容自身的數(shù)學(xué)特點，以及學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，我認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)

2、該強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，充分重視數(shù)學(xué)過程，提供足夠的操作與交流的空間，有利于學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、嘗試、推理、交流、反思等活動，從而幫助學(xué)生建立初步的空間觀念，培養(yǎng)他們的空間想象能力.所以，我把這一節(jié)課定位于一節(jié)數(shù)學(xué)操作活動課.鑒于這樣的定位,我給出了相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計.我發(fā)現(xiàn)這節(jié)課的表面展開圖重點不在一般的直棱柱。而主要是立方體的表面展開圖。于是我下面就重點給出立方體表面展開圖規(guī)律的探索過程及結(jié)論，包括由杜登尼的著名謎題“蛛蠅問題”引出的空間立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，即從立方體的表面展開圖深化到長方體的表面展開圖的系列問題。預(yù)設(shè)與生成一、教學(xué)準(zhǔn)備教師和每個學(xué)生準(zhǔn)備六個邊長為8厘米

3、的正方形，并用透明膠粘成一個立方體紙盒,便于進行課堂內(nèi)的“剪與展”活動；分好四人學(xué)習(xí)小組；多媒體課件，輔助演示教學(xué)。二、教學(xué)片斷 （一）、片斷一：立方體表面展開圖規(guī)律的探索1、形成概念 （1）師：請同學(xué)們將事先準(zhǔn)備好的立方體紙盒，沿某些棱剪開，且使六個面連在一起，然后鋪平.你能得到怎樣的圖形? 你一共剪了幾刀?生：七刀。師：為什么？觀察一下六個面相連需要幾條棱？生：5條棱。噢總共有12條棱，剩下5條棱，那么當(dāng)然要剪七刀。（學(xué)生自己悟出）（2）請學(xué)生展示一下。通過展示學(xué)生的作品,讓學(xué)生直觀感受由一個立方體展開得到的平面圖形是不唯一。 （3）電腦演示立方體展開的過程，使學(xué)生進一步直觀感受和形成立方

4、體表面展開圖的概念. （請幾位學(xué)生出示，最好有意挑選幾個不同展開圖作為樣本，然后給出立方體的表面展開圖的定義：將立方體沿某些棱剪開后鋪平，且六個面連在一起，這樣的圖形叫立方體的表面展開圖。） 2、合作交流師：以四人小組為單位，得出一個立方體的表面展開圖共有幾種情況？ （學(xué)生交流后請四人小組代表總結(jié)本組的情況，教師對各種情況進行總結(jié)，對不能得出的情況作演示，并總結(jié)出11種情況。）1234561178910師：我們應(yīng)該探索一種畫圖的規(guī)律或者方法，保證我們能一個不少的將各種展開圖畫出來。要找到規(guī)律，大家不妨將以上畫出的展開圖按照什么規(guī)律分類歸納？生：一四一型：1、2、3、4、5、6；一三二型：7、8

5、、9；二個三型：10；三個二型：11。師：口訣：“一四一” “一三二”，“一”在同層可任意；“三個二”，成階梯，“二個三”，“日”狀連；異層必有“日”，整體無 “凹”、“田”。師：立方體相對兩個面在其展開圖中的位置有何關(guān)系？生：對面不相連。師：立方體表面展開圖的周長是小正方形邊長的多少倍？生：14倍。3、歸納規(guī)律(1)展開圖規(guī)律之一:立方體的展開過程需要剪七刀。(2)展開圖規(guī)律之二: 異層 “日”字連,整體沒有“田”。(3)展開圖規(guī)律之三: 對面不相連。(4)展開圖規(guī)律之四: 立方體表面展開圖的周長是小正方形邊長的14倍。規(guī)律五絕平面“七刀”現(xiàn)；對面“不相連”；“日”字異層見；整體沒有“田”。

6、（對立方體表面展開圖的概念,課本使用的是描述性的語句,所以這個概念應(yīng)該是體驗性的,應(yīng)該由學(xué)生直觀感受得到。因此,在這個環(huán)節(jié),學(xué)生動手操作必不可少。在這個環(huán)節(jié),原本我的設(shè)計是在得出概念之后,繼續(xù)歸納立方體的11種表面展開圖及其分類口訣。試教中發(fā)現(xiàn)時間花費很多,使整節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)發(fā)生了偏移,于是改變了第一次的設(shè)計,把這個環(huán)節(jié)的目標(biāo)定位于直觀感受和形成立方體表面展開圖的概念。） 4、例題解析，學(xué)會識圖例1：下列圖形可圍成一個立方體的是（ ）A. B. C. D.(設(shè)計這個例題使學(xué)生可以鞏固立方體展開圖的規(guī)律，事實證明學(xué)生很快掌握了規(guī)律，能很快的作答。)練習(xí)1讓想象力更充分一些：添上一個小正方形,使下

7、圖折疊后能圍成一個立方體,共有幾種添法？(錯誤) （正確） （正確） （正確） （正確）(錯誤，沒有“一二三型”) （通過這個練習(xí)可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于已經(jīng)總結(jié)出的規(guī)律并不是掌握的很好。例如：“一三二型”，學(xué)生則理解為只要有一二三就可以了，所以出現(xiàn)了如圖的錯誤。下次在講解時還是要強調(diào)一下，避免錯誤。）例2：下圖是一個立方體的表面展開圖嗎？如果是，請分別用1，2，3，4，5，6中的同一個數(shù)字表示立方體和它的展開圖中各對對應(yīng)的面（只要求給出一種表示方法）。214356（師生共同解析例1.對這個問題，學(xué)生在前一環(huán)節(jié)得出過這種“三個二”型的表面展開圖，那么第一問就很顯然；在驗證之后再讓學(xué)生對照填寫各對對應(yīng)面

8、的數(shù)字.不同的折疊方法對應(yīng)了不同的填寫結(jié)果.例題的原本要求是“只要求給出一種表示方法”，而通過各小組組內(nèi)及組間的交流，我們的學(xué)生可以自然得到多種不同的表示.通過學(xué)生代表向全班同學(xué)演示自己折疊的過程以及填數(shù)過程，引導(dǎo)學(xué)生體會和提煉折疊的方法：可先選定一個面作為起始面，這個面不妨看作原立方體的下底面，然后依次折疊成立方體.在折疊的過程中，先想一想，當(dāng)思維有困難時，再折一折.這個環(huán)節(jié)是學(xué)生建立空間觀念的關(guān)鍵之處.因此，提供足夠的操作與交流的時間，顯得尤其必要.惟有如此，學(xué)生才能在自己獨立的思維空間里進行“想一想”，并借助于學(xué)具“折一折”，在想象與操作的交互中，空間想象的思維能力得以提升.這樣的直接經(jīng)

9、驗是任何老師的教都無法取代的.此外還可以深化立方體表面展開圖，面面之間的關(guān)系，由此總結(jié)如下。原來以為學(xué)生掌握得會很好，后來作業(yè)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在想像哪兩個面相對比較難。所以在以后的教學(xué)中，我應(yīng)該強化這方面的練習(xí)。如果真的還是有難度，就讓學(xué)生自己動手操作一下。）1234561178910111111222222222221111133333333333444444444555555555556666666666644練習(xí)2.讓思維更活躍一點：如圖，這是一個正方體的展開圖，如果將它組成原來的正方體，哪些點與點P重合？（通過這個例題可以體現(xiàn)學(xué)生對于立方體展開圖中正方形哪幾個頂點重合還不是很清楚。其實歸根

10、結(jié)底是由于學(xué)生對于哪幾個面是相對的，相連的不清楚，導(dǎo)致不會做。所以例2的講解和擴展還是很重要的）練習(xí)3.如圖是一個正方體紙盒的展開圖，圖中的6個正方形中bc7a-1分別已填入了-1、7、a、b、c，使展開圖沿虛線折疊成正方體后相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù),求a,b,c的值:（這題的練習(xí)，其實在七年級上學(xué)期學(xué)相反數(shù)的時候已經(jīng)做過，出現(xiàn)在這里的目的還是為了強化學(xué)生對于立方體展開圖相對面的掌握，相對比較簡單。）ABDC練習(xí)4將前、右、上三個面做有標(biāo)記的立方體盒子展開，以下各示意圖中是它的展開圖的是（ ）（學(xué)生可以利用課前準(zhǔn)備的六個邊長為8厘米的正方形，自由粘貼組合成 “六連塊”，及立方體。進一步讓學(xué)生

11、在“先想一想，再折一折”的活動過程中，體會“展開與折疊”的對應(yīng)轉(zhuǎn)化，積累經(jīng)驗，建立自己的空間觀念.）（二）、片斷二：挑戰(zhàn)謎題，揭示本質(zhì)：1、情境引入師：有一個由鐵絲折成的立方體框，立方體的邊長為4米，在框的A處有一只螞蟻，在B處有一粒蜜糖，螞蟻想吃到蜜糖， 所走的最短路程是多少米？ BCA生：8米,有2條路線。（學(xué)生很容易解決本題）師：其余條件不變，把B處的蜜糖改成C處，又該如何？生：12米,有6條路線。（學(xué)生需要思考，可以電腦演示）師：那將“立方體的鐵絲框”改成“立方體的紙盒”，上述兩題結(jié)論又該如何呢？生：AB米，AC（學(xué)生產(chǎn)生問題）C（設(shè)計這個情境的理由：課本上節(jié)前圖是杜登尼的著名謎題“蛛

12、蠅問題”極具挑戰(zhàn)性，提供了很好的問題情境，但要求偏高.而將謎題稍作改編，降低了對學(xué)生空間想象能力的要求，更有利于激發(fā)學(xué)生探究與學(xué)習(xí)的愿望.在課堂內(nèi)我依次呈現(xiàn)兩個問題，并分別解決.讓學(xué)生感受到要解決此問，需要將空間立體的圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化，點明本節(jié)課的重要思想方法：立體轉(zhuǎn)化平面. 對第二問，部分學(xué)生能答出其中兩種路線（由前側(cè)面到上底面或由前側(cè)面到右側(cè)面），并不打算比較求解 “最短路程”，沒有人提到第三種路線：由下底面到后側(cè)面.也沒有學(xué)生提出要進行比較.也許學(xué)生只停留于“兩點之間線段最短”，還根本來不及思考“最短”的更深內(nèi)涵，我便將課引入預(yù)設(shè)的軌道：在此時揭示課題.）CB2、梯度變式，步步為營（1

13、）熱身探索一：如圖有一邊長4米立方體形的房間，一只蜘蛛在A處，一只蒼蠅在B處。A 試問，蜘蛛去抓蒼蠅需要爬行的最短路程是多少？ 若蒼蠅在C處，則最短路程是多少？ 師：從A到B的最短路程就是線段AB=cm，從A到C的最短路程只要將平面展開，根據(jù)兩點之間線段最短，就是線段AC=cm。（2）熱身探索二：CBCAD如圖有一長方體形的房間，地面為邊長4米的正方形，房間高3米. 一只蜘蛛在A處，一只蒼蠅在C處。試問，蜘蛛去抓蒼蠅需要爬行的最短路程是多少？AA師：在前側(cè)面 BCACFBCACG在左側(cè)面ABCAHALBCABCAAM 在底面（3）挑戰(zhàn)謎題：“蜘蛛和蒼蠅”問題在一個長方形長、寬、高 分別為3米，

14、2米，2米長方體房間內(nèi)，一蜘蛛在一面的中間，離天花板0.1米處(A點)，蒼蠅在對面墻的中間,離地面0.1米處(B點),試問:蜘蛛去捉蒼蠅需要爬行的最短距離是多少?AB探究活動：小組討論并探究怎樣利用表面展開圖和兩點間線段最短的原理解決節(jié)前圖的著名迷題。展開形式：以四人小組為單位，由組長分配好任務(wù)，先獨立完成，再組內(nèi)交流。（有了前面的良好的鋪墊和熱身，學(xué)生知道了解決問題的方法是由特殊到一般的科學(xué)方法。此時可以大膽的放手給學(xué)生，通過合作學(xué)習(xí)來完成本道題目，當(dāng)然，教師必須在最后給出小結(jié)。以完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)。利用長方體的表面展開圖解決引課的謎題，首尾呼應(yīng).我是按照分類思想討論出所有情形，歸納為三類六

15、種路線，其實最后路程長度即兩種類型：底+側(cè)，側(cè)+側(cè)，然后比較得到“最短路程”.接著將謎題條件改為 “蜘蛛和蒼蠅都在屋子外面”，那么共有幾種路線？最短路程是多少？“屋子的長、寬、高分別是3米、4米、5米”，那么共有幾種路線？最短路程是多少？）教學(xué)反思：回顧整個備課過程，從拿到教材，首先想到的就是定目標(biāo)、定主題.我把這節(jié)課的主題定位為操作活動課，既然是操作活動課，本課的側(cè)重點自然就放在學(xué)生的動手操作，親自體驗上. 興趣是最好的老師。學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣究竟來源于何處？聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗、社會事件和趣聞軼事，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境顯然是一種有效方法，本節(jié)課中的“挑戰(zhàn)世紀(jì)謎題”就充分的體現(xiàn)了這一點。然而，“問題是數(shù)

16、學(xué)的心臟”，根據(jù)學(xué)科特點創(chuàng)設(shè)問題情境應(yīng)是一種更有效的激趣手段。可以看出，學(xué)生對本節(jié)課的立方體的平面展開圖產(chǎn)生了濃厚興趣,這不僅來源于極具現(xiàn)實意義的學(xué)習(xí)素材，更在于問題中開放性、多樣性的不同展開圖所給的暇想空間、處理例題時步步追問能緊扣思維脈博，最后引伸的問題帶來了挑戰(zhàn)性的懸念。提出問題是知識之母，是由已知通向未知的橋梁。只有讓學(xué)生在探索問題之中學(xué)會提出問題，才能最終體驗到數(shù)學(xué)的抽象美、嚴(yán)謹(jǐn)美等內(nèi)在魅力，形成穩(wěn)定的、內(nèi)在的學(xué)習(xí)興趣。在整個教學(xué)過程中，我以立方體表面展開圖的規(guī)律探索為重點，引導(dǎo)學(xué)生能夠容易判斷平面六連塊是否是立方體的表面展開圖。此過程中也發(fā)現(xiàn)了問題，對于在表面展開圖中哪兩個面是相鄰

17、的，是相對的，學(xué)生光靠想不能完全解決一些問題，這時就要以學(xué)生“想一想，再折一折”為學(xué)習(xí)活動的開展形式，給學(xué)生以充分的時間思考、觀察、動手和驗證，關(guān)注學(xué)生“你是怎么想的”，充分暴露他們的思維過程，給予肯定和點撥。我真正做到了是“學(xué)生活動的組織者，問題的澄清者，思維的激發(fā)者”，引導(dǎo)、參與了學(xué)生的整個學(xué)習(xí)過程. 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人。新課標(biāo)強調(diào)，讓學(xué)生在自主探索與合作交流中學(xué)會學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本節(jié)課充分體現(xiàn)了這一理念，學(xué)生有足夠的自主探索時間，有與同學(xué)合作互動的空間，有與老師交流表達的機會。學(xué)生不是從老師那里獲取知識，而是在數(shù)學(xué)活動的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、體驗成功。教師是課堂的主導(dǎo)。教師是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。然而，組織、引導(dǎo)本身就強調(diào)了教師必須是一個特殊的“合作者”，而不是撒手不管的“非主導(dǎo)者”。教師的主導(dǎo)作用不是體現(xiàn)在“主宰”課堂，而應(yīng)體現(xiàn)在為學(xué)生提供鮮活的學(xué)習(xí)素材，體現(xiàn)在對學(xué)習(xí)團體的嚴(yán)密組織，