北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)及例題1

1、數(shù)學(xué)九年級上冊知識點(diǎn)總結(jié)第一章 特殊的平行四邊形復(fù)習(xí)中考考點(diǎn)綜述：特殊平行四邊形即矩形、菱形、正方形，它們是歷年中考的必考內(nèi)容之一，主要出現(xiàn)的題型多樣，注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)證明和計(jì)算能力，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。內(nèi)容主要包括：矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定，以及相關(guān)計(jì)算，了解平行四邊形與矩形、菱形、正方形之間的聯(lián)系，掌握平行四邊形是矩形、菱形、正方形的條件。 知識目標(biāo)掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，通過定理的證明和應(yīng)用的教學(xué)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分別從題設(shè)和結(jié)論出發(fā)，尋找論證思路分析法和綜合法。重難點(diǎn)： 1.矩形、菱形性質(zhì)及判定的應(yīng)用 2. 相關(guān)知識的

2、綜合應(yīng)用知識點(diǎn)歸納矩形菱形正方形性質(zhì)邊對邊平行且相等對邊平行，四邊相等對邊平行，四邊相等角四個(gè)角都是直角對角相等四個(gè)角都是直角對角線互相平分且相等互相垂直平分，且每條對角線平分一組對角互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角判定·有三個(gè)角是直角;·是平行四邊形且有一個(gè)角是直角;·是平行四邊形且兩條對角線相等.·四邊相等的四邊形；·是平行四邊形且有一組鄰邊相等；·是平行四邊形且兩條對角線互相垂直。·是矩形，且有一組鄰邊相等；·是菱形，且有一個(gè)角是直角。對稱性既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形一矩形矩形定義：有一角是直

3、角的平行四邊形叫做矩形【強(qiáng)調(diào)】矩形（1）是平行四邊形；（2）一一個(gè)角是直角矩形的性質(zhì)性質(zhì)1 矩形的四個(gè)角都是直角；性質(zhì)2 矩形的對角線相等，具有平行四邊形的所以性質(zhì)。；矩形的判定矩形判定方法1:對角線相等的平行四邊形是矩形注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）對角線相等矩形判定方法2:四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形矩形判斷方法3：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。例1：若矩形的對角線長為8cm，兩條對角線的一個(gè)交角為600，則該矩形的面積為 例2：菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是 （ ）A 對角線互相平分； B.四條邊都相等； C.對角相等； D.鄰角互補(bǔ)例3： 已知：如圖， ABC

4、D各角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形EFGH是矩形二菱形菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形【強(qiáng)調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等菱形的性質(zhì)性質(zhì)1 菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2 菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角；菱形的判定菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形例1  已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E 求證：AFD=CBE 例2已知：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC

5、分別交于E、F求證：四邊形AFCE是菱形 例3、如圖，在 ABCD中，O是對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形.例4、已知如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求證：AM=BE。 例5 （10湖南益陽）如圖，在菱形ABCD中，A=60°,=4,O為對角線BD的中點(diǎn)，過O點(diǎn)作OEAB，垂足為E(1)求線段的長例6、（2011四川自貢）如圖，四邊形ABCD是菱形，DEAB交BA的延長線于E，DFBC，交BC的延長線于F。請你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想例7、（20

6、11山東煙臺）如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.（1）求證：BDEBCF； （2）判斷BEF的形狀，并說明理由；（3）設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍.三正方形正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形）有一個(gè)角是直角的平行四邊形 （矩形）正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形 正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點(diǎn)的連線和對角線所在直線，共有四條對

7、稱軸；因?yàn)檎叫问瞧叫兴倪呅?、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對邊平行，四邊相等；角：四個(gè)角都是直角；對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角注意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì)正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)正方形的判定方法： (1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； (2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形 注意：1、正方形概念的三個(gè)要點(diǎn)： （1）是平行四邊形； （2）有一個(gè)角是直角； （3）有一組鄰邊

8、相等 2、要確定一個(gè)四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形. 例1 已知：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DGAE于G，DG交OA于F求證：OE=OF例2 已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點(diǎn)求證：四邊形PQMN是正方形例3、（2011海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證： PE=PD ； PEPD；（2）設(shè)AP=x, PBE的面積為y. 求出y關(guān)于x

9、的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； 當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值.實(shí)戰(zhàn)演練：1.對角線互相垂直平分的四邊形是（ ）A平行四邊形、菱形B矩形、菱形C矩形、正方形D菱形、正方形2.順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（ ）A.等腰梯形B.正方形C.平行四邊形D.矩形3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（ ）A當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形 B當(dāng)ACBD時(shí)，它是菱形DCBAC當(dāng)ABC=900時(shí)，它是矩形 D當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形4.如圖，在中，點(diǎn)分別在邊，上，且，下列四個(gè)判斷中，不正確的是（）A四邊形是平行四邊形B如果，那么四邊形是矩形C如果平分，那么四邊形

10、是菱形D如果且，那么四邊形是菱形5.如圖，四邊形為矩形紙片把紙片折疊，使點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，折痕為若，則等于（）AB CD6.如圖，矩形的周長為，兩條對角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)，連結(jié)，則的周長為（ ）A5cmB8cmC9cmD10cm7.在右圖的方格紙中有一個(gè)菱形ABCD（A、B、C、D四點(diǎn)均為格點(diǎn)），A若方格紙中每個(gè)最小正方形的邊長為1，則該菱形的面積為 ABCDDBC8.如圖，在矩形中，對角線交于點(diǎn)，已知，則的長為 9.邊長為cm的菱形，一條對角線長是6cm，則另一條對角線的長是 .10.如圖所示，菱形中，對角線相交于點(diǎn)，若再補(bǔ)充一個(gè)條件能使菱形成為正方形，則這個(gè)條件是 （

11、只填一個(gè)條件即可）BCDAPADCBO11.如圖，已知P是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，且BP = BC，則ACP度數(shù)是 12.如圖，矩形中，是與的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的延長線分別交于（1）求證：；FDOCBEA第12題圖（2）當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論13.將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起，設(shè)較短直角邊為1圖1圖2圖3圖4(1)四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由：_(2)如圖2，將RtBCD沿射線BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由：_(3)在RtBCD沿射線BD方向平移

12、的過程中，當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為_時(shí)，四邊形ABC1D1為矩形，其理由是_；當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為_時(shí)，四邊形ABC1D1為菱形，其理由是_(圖3、圖4用于探究)應(yīng)用探究：1.如圖，將矩形紙片沿對角線折疊，使點(diǎn)落在處，交于，若，則在不添加任何輔助線的情況下，圖中的角（虛線也視為角的邊）有（ ）A6個(gè)B5個(gè) C4個(gè) D3個(gè)DACBM2.如圖，正方形的面積為1，是的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（ ）ABCD3.已知為矩形的對角線，則圖中與一定不相等的是（ ）BA1DC2112BADCBAC12D12BADCA B C DB F CA H DE G4.紅絲帶是關(guān)注艾滋病防治問題的國際性標(biāo)志.將寬為的紅絲帶交

13、叉成60°角重疊在一起（如圖），則重疊四邊形的面積為_5.如圖，將矩形紙ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH3厘米，EF4厘米，則邊AD的長是_厘米.6.如圖，已知，點(diǎn)在邊上，四邊形是矩形請你只用無刻度的直尺在圖中畫出的平分線（請保留畫圖痕跡）ABCDE7.如圖：矩形紙片ABCD，AB=2，點(diǎn)E在BC上，且AE=EC若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC上，則AC的長是 ABCPDE第二章 一元二次方程一、一元二次方程 （一）一元二次方程定義含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程的一般形式，它的特征是

14、：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。例 方程是一元二次方程，則.二、一元二次方程的解法 1、直接開平方法直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。例 第二象限內(nèi)一點(diǎn)A（x1，x22），關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，且AB=6，則x=_2、配方法 一般步驟：（1） 方程兩邊同時(shí)除以a,將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.（2） 將所得方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊。（3） 所得方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（4） 配方，化成（5）開方，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

15、例 若方程有解，則的取值范圍是（）ABC D無法確定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：例 已知x24x2=0，那么3x212x2012的值為 4、因式分解法一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)使用此方法。例 已知一個(gè)三角形的兩邊長是方程x2-8x+15=0的兩根，則第三邊y的取值范圍是（ ） Ay<8 B3<y<5 c2<y<8 D無法確定補(bǔ)充：一元二次方程根的判別式 根的判別式1、定義：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式。2、性質(zhì)：當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等

16、的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。例 若關(guān)于x 的方程x2 2 (a 1 )x = (b+2)2有兩個(gè)相等的實(shí)根，則a2013+b5的值為 .例 若關(guān)于x的方程x2 2x(k-x)+6=0無實(shí)根，則k可取的最小整數(shù)為（ ）（A） - 5 （B） - 4 （C） - 3（D）- 2補(bǔ)充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識一、知識概括 1、頻率（1）在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)；（2）每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率； 即：（3）在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長方形的面積

17、等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，各個(gè)小長方形的面積的和等于1。2、概率的求法：（1）一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m個(gè)結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=（2）表格法用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（3）樹狀圖法 通過畫樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。（當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。）例 在布袋中裝有兩個(gè)大小一樣，質(zhì)地相同的球，其中一個(gè)為紅色，一個(gè)為白色。模擬“摸出一個(gè)球是白球

18、”的機(jī)會(huì)，可以用下列哪種替代物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（ ）（A） “拋擲一枚普通骰子出現(xiàn)1點(diǎn)朝上”的機(jī)會(huì)（B） “拋擲一枚啤酒瓶蓋出現(xiàn)蓋面朝上”的機(jī)會(huì)（C） “拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面朝上”的機(jī)會(huì)（D） “拋擲一枚普通圖釘出現(xiàn)針尖觸地”的機(jī)會(huì)例 如圖，圖中的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成5個(gè)和4個(gè)扇形，每個(gè)扇形上都標(biāo)有數(shù)字，同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針都落在奇數(shù)上的概率是（ ）（A） （B） （C） （D） 例 如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率是（ ）（A） （B） （C） （D） 例 如圖是從一副撲克牌中取出的兩組牌，分別

19、是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4，將它們背面朝上分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸出一張，那么摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和等于5的概率是（ ）（A） （B） （C） （D） 例 在圖中的甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤中，指針指向每一個(gè)數(shù)字的機(jī)會(huì)是均等的.當(dāng)同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，停止后指針?biāo)?2345甲26374乙的兩個(gè)數(shù)字表示兩條線段的長，如果第三條線段的長為5，那么這三條線段不能構(gòu)成三角形的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）三、典型例題 例1. 袋中有紅、黃、白色球各一個(gè)，它們除顏色外其余都相同，每次任取一個(gè)，又放回抽取兩次。求下列事件的概率。 （1）全紅（2）顏色全同（3）無白 解： 說明：顏色全

20、同包括都是紅色或都是黃色或都是白色；無白指沒有白色球。 例2. 一個(gè)密碼保險(xiǎn)柜的密碼由6個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字都是由09這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，王叔叔忘記了其中最后面的兩個(gè)數(shù)字，那么他一次就能打開保險(xiǎn)柜的概率是多少？ 解：他前面的4個(gè)數(shù)字都已知道只有最后兩個(gè)數(shù)字忘記了，而最后兩個(gè)數(shù)字每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的可能結(jié)果都有10種情況，那么組成兩個(gè)數(shù)字的可能結(jié)果就有100種，因此正好是密碼上的最后兩個(gè)數(shù)字的概率是。 例3. 袋中有紅色、黃色、藍(lán)色、白色球若干個(gè)，小剛又放入5個(gè)黑球后，小穎通過多次摸球?qū)嶒?yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球、藍(lán)球、白球及黑球的頻率依次為25，30，30，10，5，試估計(jì)袋中紅色球、黃色球、藍(lán)色球及

21、白色球各有多少個(gè)？ 解：小剛放入5個(gè)黑球后摸到的黑色球的頻率為5，則可以由此估計(jì)出袋中共有球100×2525個(gè)，黃色球100×3030個(gè)，藍(lán)色球100×3030個(gè)，白色球100×1010個(gè)。 例4. 甲、乙兩人用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲，轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各1次 （1）若兩次數(shù)字之差的絕對值為0，1或2，則甲勝，否則乙勝。這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？ （2）若兩次數(shù)字和是2的倍數(shù)，則甲勝，而若和是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)，則乙勝。這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？ 解：（1）用列表的方法可看出所有可能的結(jié)果： 從上表中可以看出兩個(gè)數(shù)字之差的絕對值，為0的有4種可能結(jié)果

22、，1的有7種可能甲勝的可能性比乙大，所以不公平。 （2）通過列表可知： 出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字之和是2的倍數(shù)有15種，出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)有10種，5比乙小，所以不公平。 例5. 小明與同學(xué)一起想知道每6個(gè)人中有兩個(gè)人生肖相同的概率，他們想設(shè)計(jì)一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)來估計(jì)6個(gè)人中恰有兩個(gè)人生肖相同的概率，你能幫他們設(shè)計(jì)這個(gè)模擬方案嗎？ 分析：可以用摸球、撲克牌、轉(zhuǎn)盤、計(jì)算器模擬隨機(jī)整數(shù)等方法。注意“一次實(shí)驗(yàn)”的設(shè)計(jì)。 解：用12個(gè)完全相同的小球分別編上號碼112，代表12個(gè)生肖，放入一個(gè)不透明的袋中搖勻后，從中隨機(jī)抽取一球，記下號碼后放回，再搖勻后取出一球記下號碼連續(xù)取出6個(gè)球?yàn)橐淮螌?shí)驗(yàn)，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過

23、程多次，統(tǒng)計(jì)每次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)相同號碼的次數(shù)除以總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，得到的實(shí)驗(yàn)頻率可估計(jì)每6個(gè)人中有兩個(gè)人生肖相同的概率。 第四章 圖形相似與相似三角形知識點(diǎn)解讀知識點(diǎn)1.相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。（即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形）解讀：（1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看做由另一個(gè)圖形放大或縮小得到（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同（3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看這兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)例1放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變解：是相似圖形。因?yàn)樗鼈兊男螤钕嗤?，大小不一定?/p>

24、同例2下列各組圖形：兩個(gè)平行四邊形；兩個(gè)圓；兩個(gè)矩形；有一個(gè)內(nèi)角80°的兩個(gè)等腰三角形；兩個(gè)正五邊形；有一個(gè)內(nèi)角是100°的兩個(gè)等腰三角形，其中一定是相似圖形的是_(填序號)解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似答案：知識點(diǎn)2比例線段對于四條線段a,b,c,d ，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a:b=c:d）那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段解讀：（1）四條線段a,b,c,d成比例

25、，記作（或a:b=c:d），不能寫成其他形式，即比例線段有順序性（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例的項(xiàng)為a,b,c,d，其中a,d為比例外項(xiàng)，b,c為比例內(nèi)項(xiàng)，d是第四比例項(xiàng)（3）如果比例內(nèi)項(xiàng)是相同的線段，即或a:b=b:c，那么線段b叫做線段和的比例中項(xiàng)。(4)通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a和b統(tǒng)一為一個(gè)單位，c和d統(tǒng)一為另一個(gè)單位也可以，因?yàn)檎w表示兩個(gè)比相等例3已知線段a=2cm, b=6mm, 求分析：求即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比例4已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的長度分析：由a,b,c,

26、d成比例，寫出比例式a:b=c:d，再把所給各線段a,b,d統(tǒng)一單位后代入求c知識點(diǎn)3相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等解讀：（1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對應(yīng)”關(guān)系（2）明確相似多邊形的“對應(yīng)”來自于書寫，且要明確相似比具有順序性例5若四邊形ABCD的四邊長分別是4，6，8，10，與四邊形ABCD相似的四邊形A1B1C1D1的最大邊長為30，則四邊形A1B1C1D1的最小邊長是多少？分析：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，且它們的相似比為對應(yīng)的最大邊長的比，即為，再根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長知識點(diǎn)4相似

27、三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形解讀：（1）相似三角形是相似多邊形中的一種；（2）應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；（3）相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；（4）相似用“”表示，讀作“相似于”；（5）相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比注意：相似比是有順序的，比如ABCA1B1C1，相似比為k,若A1B1C1ABC，則相似比為。若兩個(gè)三角形的相似比為1，則這兩個(gè)三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情況。若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形相似；若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形不一定全等例6如圖，已知ADEABC，DE=2，BC=4，則和的相似比是多少？點(diǎn)D

28、，E分別是AB，AC的中點(diǎn)嗎？ 注意：解決此類問題應(yīng)注意兩方面：（1）相似比的順序性，（2）圖形的識別解：因?yàn)锳DEABC，所以，因?yàn)?，所以，所以D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)知識點(diǎn)5相似三角的判定方法（1） 定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似；（2） 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長線）所構(gòu)成的三角形與原三角形相似（3） 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（4） 如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（5） 如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么

29、這兩個(gè)三角形相似（6） 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似經(jīng)過歸納和總結(jié)，相似三角形有以下幾種基本類型： 平行線型常見的有如下兩種，DEBC，則ADEABC 相交線型常見的有如下四種情形，如圖，已知1=B，則由公共角A得，ADEABC 如下左圖，已知1=B，則由公共角A得，ADCACB如下右圖，已知B=D，則由對頂角1=2得，ADEABC 旋轉(zhuǎn)型已知BAD=CAE，B=D，則ADEABC，下圖為常見的基本圖形 母子型已知ACB=90°，ABCD，則CBDABCACD 解決相似三角形問題，關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中分解出（構(gòu)造出）上述基本圖形例7如圖，點(diǎn)D在AB

30、C的邊AB上，滿足怎樣的條件時(shí)，ACD與ABC相似？試分別加以列舉 分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知，ACD與ABC已有公共角A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個(gè)條件即可解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件之一時(shí)，ACDABC條件一：1=B；條件二：2=ACB；條件三：，即AC2=AD·AB知識點(diǎn)6相似三角形的性質(zhì)（1） 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2） 對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3） 相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方例8如圖，已知ADEABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7（1） 求DE

31、、AE的長；（2） 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例 分析：此題重點(diǎn)考查由兩個(gè)三角形相似，可得到對應(yīng)邊成例，即解：（1）ADEABC， ，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 設(shè)DE=x，則， 12x=8×15, x=10;設(shè)AE=a,則, a=14.(2) 例9已知ABCA1B1C1，=，ABC的周長為20cm，面積為40cm2求（1）A1B1C1的周長；（2）A1B1C1的面積分析：根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解易求出A1B1C1的周長為30cm; A1B1C1的面積90cm2五、視圖與投影1、視圖三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。在畫視圖時(shí)，看得見

32、的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。例 如圖，一幾何體的三視圖如右：那么這個(gè)幾何體是 . 主視圖 左視圖 俯視圖 例 如果用表示1個(gè)立方體，用表示兩個(gè)立方體疊加，用表示三個(gè)立方體疊加，那么下面右圖由7個(gè)立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是（ ）2、投影（1）投影：物體在光線的照射下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。（2）平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。（3）中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。（4）區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源；

33、觀察影子。（5）從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；線段平行于投影面時(shí)，投影長度等于線段的實(shí)際長度；線段傾斜于投影面時(shí)，投影長度小于線段的實(shí)際長度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。例 小明在操場上練習(xí)雙杠時(shí)，在練習(xí)的過程中他發(fā)現(xiàn)在地上雙杠的兩橫杠的影子AEDCB（ ）A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 無法確定例 小明希望測量出電線桿AB的高度，于是在陽光明媚的一天，他在電線桿旁的點(diǎn)D處立一標(biāo)桿CD，