全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽分類匯編專題01不等式

1、不等式1、（2001一試6）已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24，而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價(jià)格之和小于22元，則2枝玫瑰的價(jià)格和3枝康乃馨的價(jià)格比較，結(jié)果是（）2枝玫瑰價(jià)格高3枝康乃馨價(jià)格高 價(jià)格相同 不確定【答案】A2、（2003一試5）已知x，y都在區(qū)間(2，2)內(nèi)，且xy=1，則函數(shù)u=+的最小值是（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】D3、（2004一試3）不等式+logx3+2>0的解集為（ ） A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 【答案】C【解析】令log2x=t1時(shí)，>t2t1，2)，Þx2，4)，選C4、（2005一試1）使關(guān)于的

2、不等式有解的實(shí)數(shù)的最大值是（ ）A B C D【答案】D5、（2006一試2）設(shè)，則的取值范圍為（ ）A B C D 【答案】B6、（2007一試2）設(shè)實(shí)數(shù)a使得不等式|2xa|+|3x2a|a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是（ ）A. B. C. D. 3，3【答案】A【解析】令，則有，排除B、D。由對(duì)稱性排除C，從而只有A正確。一般地，對(duì)kR，令，則原不等式為，由此易知原不等式等價(jià)于，對(duì)任意的kR成立。由于，所以，從而上述不等式等價(jià)于。7、（2001一試10）不等式的解集為 。9、（2009一試3）在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域和，為，是隨變化的區(qū)域，它由不等式所確定，的取值范圍

3、是，則和的公共面積是函數(shù) 【答案】【解析】由題意知 10、（2009一試4）使不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)的值為 【答案】2009【解析】設(shè)顯然單調(diào)遞減，則由的最大值，可得11、（2011一試3）設(shè)為正實(shí)數(shù)，則 12、（2012一試3）設(shè)，則的最大值是 .13、（2001一試15）用電阻值分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的電阻組裝成一個(gè)如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最??？證明你的結(jié)論。3設(shè)4個(gè)電阻的組件(如圖2)的總電阻為RCD 若記 ，則S1、S2為定值，于是 只有當(dāng)R3R4最小，

4、R1R2R3最大時(shí)，RCD最小，故應(yīng)取R4R3，R3R2，R3Rl，即得總電阻的阻值最小 4°對(duì)于圖3把由R1、R2、R3組成的組件用等效電阻RAB代替要使RFG最小，由3°必需使R6R5；且由1°應(yīng)使RCE最小由2°知要使RCE最小，必需使R5R4，且應(yīng)使RCD最小 而由3°，要使RCD最小，應(yīng)使R4R3R2且R4R3R1， 這就說明，要證結(jié)論成立14、（2003一試13）設(shè)x5，證明不等式2+<215、（2003二試3）由n個(gè)點(diǎn)和這些點(diǎn)之間的l條連線段組成一個(gè)空間圖形，其中n=q2+q+1，lq(q+1)2+1，q2，qN已知此圖中任

5、四點(diǎn)不共面，每點(diǎn)至少有一條連線段，存在一點(diǎn)至少有q+2條連線段證明：圖中必存在一個(gè)空間四邊形(即由四點(diǎn)A、B、C、D和四條連線段AB、BC、CD、DA組成的圖形)【解析】證明：設(shè)點(diǎn)集為VA0，A1，An1，與Ai連線的點(diǎn)集為Bi，且|Bi|bi于是1bin1又顯然有bi2lq(q+1)2+2若存在一點(diǎn)與其余點(diǎn)都連線，不妨設(shè)b0n1則B0中n1個(gè)點(diǎn)的連線數(shù)lb0q(q+1)2+1(n1) (注意：q(q+1)q2+qn1)(q+1)(n1)(n1)+1(q1)(n1)+1(n1)+1(n1)+1(由q2)但若在這n1個(gè)點(diǎn)內(nèi)，沒有任一點(diǎn)同時(shí)與其余兩點(diǎn)連線，則這n1個(gè)點(diǎn)內(nèi)至多連線條，故在B0中存在一

6、點(diǎn)Ai，它與兩點(diǎn)Aj、Ak(i、j、k互不相等，且1i，j，k)連了線，于是A0、Aj、Ai、Ak連成四邊形現(xiàn)設(shè)任一點(diǎn)連的線數(shù)n2且設(shè)b0q+2n2且設(shè)圖中沒有四邊形于是當(dāng)ij時(shí)，Bi與Bj沒有公共的點(diǎn)對(duì)，即|BiBj|1(0i，jn1)記VB0，則由|BiB0|1，得|Bi|bi1(i1，2，n1)，且當(dāng)1i，jn1且ij時(shí)，Bi與Bj無公共點(diǎn)對(duì)從而 (n1)(nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0)(n1q(q+1)代入)得 q(q+1)( nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0)(各取一部分因數(shù)比較) 但(nqqn+3b0)q(nb01)(q1)b0n

7、+3(b0q+2)(q1)(q+2)n+3q2+q+1n0 (nqq+2b0)(q+1)(nb0)qb0qn+2q(q+1)n+210 又(nqqn+3b0)、(nqq+2b0)、q(nb01)、 (q+1)(nb0)均為正整數(shù)，從而由、得， q(q+1)(nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0) 由、矛盾，知原命題成立又證：畫一個(gè)n×n表格，記題中n個(gè)點(diǎn)為A1，A2，An，若Ai與Aj連了線，則將表格中第i行j列的方格中心涂紅于是表中共有2l個(gè)紅點(diǎn)，當(dāng)d(Ai)m時(shí)，則表格中的i行及i列各有m個(gè)紅點(diǎn)且表格的主對(duì)角線上的方格中心都沒有涂紅由已知，表格中必有一行有q2

8、個(gè)紅點(diǎn)不妨設(shè)最后一行前q2格為紅點(diǎn)其余格則不為紅點(diǎn)(若有紅點(diǎn)則更易證)，于是：問題轉(zhuǎn)化為：證明存在四個(gè)紅點(diǎn)是一個(gè)邊平行于格線的矩形頂點(diǎn)若否，則表格中任何四個(gè)紅點(diǎn)其中心都不是一個(gè)邊平行于格線的矩形頂點(diǎn)于是，前n1行的前q2個(gè)方格中，每行至多有1個(gè)紅點(diǎn)去掉表格的第n行及前q2列，則至多去掉q2(n1)q2q2q(q1)21個(gè)紅點(diǎn)于是在余下(n1)×(nq2)方格表中，至少有2l(q1)21q(q1)22(q1)21(q1)(q1)21q3q2q個(gè)紅點(diǎn)設(shè)此表格中第i行有mi(i1，2，n1)個(gè)紅點(diǎn)，于是，同行的紅點(diǎn)點(diǎn)對(duì)數(shù)的總和C其中n1q2q(由于當(dāng)nk時(shí)，CCCC，故當(dāng)紅點(diǎn)總數(shù)16、（2008一試14）解不等式【解析】方法一：由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于即 分組分解 ， 所以，。所以，即故原不等式解集為 方法二： 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等17、（2009一試11）求函數(shù)的最大和最小值【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)楫?dāng)時(shí)等號(hào)成立故的最小值為又由柯西不等式得 所以 由柯西不等式等號(hào)成立的條件，得，解得故當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因此 的最大值為18、（2009二試2）求證不等式：，2，【