全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷

1、2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷一 試（考試時間：80分鐘 滿分100分）一、填空題（共8小題，分）1、已知,點(x,y)在直線 x+2y=3上移動,當(dāng)取最小值時,點(x ,y )與原點的距離是 。2、設(shè)為正整數(shù)n（十進制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如。記，則 。3、如圖，正方體中，二面角的度數(shù)是 。4、在中隨機選取三個數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是 。5、若正數(shù)滿足，則的最大值是 。6、在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點M（-1，2）和N（1，4），點P在X軸上移動，當(dāng)MPN取最大值時，點P的橫坐標(biāo)是 。7、已知數(shù)列滿足關(guān)系式且，則的值是 。8、函數(shù)在時的最小值為 。二、解答題（共3題，）9、

2、設(shè)數(shù)列滿足條件：，且)求證：對于任何正整數(shù)n，都有：10、已知曲線，為正常數(shù)直線與曲線的實軸不垂直，且依次交直線、曲線、直線于、4個點，為坐標(biāo)原點。（1）若，求證：的面積為定值；（2）若的面積等于面積的，求證：11、已知、是方程（）的兩個不等實根，函數(shù)的定義域為，。 （）求 （）證明：對于，若，則。二 試（考試時間：150分鐘 總分：200分）EFABCGHPO1。O2一、（本題50分）如圖，O1和O2與ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點，并且EG、FH的延長線交于P點。求證：直線PA與BC垂直。二、（本題50分）正實數(shù)，滿足。證明：三、（本題50分）對每個正整數(shù)n，定義函

3、數(shù)（其中x表示不超過x的最大整數(shù)，。試求：的值。四、（本題50分）在世界杯足球賽前，F(xiàn)國的教練員為了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7這七名隊員，準(zhǔn)備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場，假設(shè)在比賽的任何時刻，這些隊員都有且只有一人在場上，并且A1、A2、A3、A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除，A5、A6、A7每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除如果每場換人的次數(shù)不限，那么，按每名隊員上場的總時間計，共有多少種不同的情況？答案與解析一、填空題1、。2= 4。x =,y =時取最小值, 此時=。2、4。 解： 將記做，于是有從89開始，是周期為8的周期

4、數(shù)列。故。3、60°。 解：連結(jié)，垂足為E，延長CE交于F，則，連結(jié)AE，由對稱性知是二面角的平面角。連結(jié)AC，設(shè)AB=1，則中，在的補角，。4、。 解：三個數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為 ，按題意必須滿足 。 對于給定的d，a可以取1，2，2010-2d。 故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個數(shù)為 三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為 。5、。 解：由條件，有，令；則，從而原條件可化為： 令則，解得，故6、1。 解：經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3x上，設(shè)圓心為S（a，3a），則圓S的方程為：對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時，經(jīng)過M，N，P三點

5、的圓S必與X軸相切于點P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對應(yīng)的切點分別為，而過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點P（1，0）為所求，所以點P的橫坐標(biāo)為1。7、。解：設(shè)即故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，。8、4。 解：（由調(diào)和平均值不等式）要使上式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)（1）（2）得到，即得。因為，所以當(dāng)時，。所以。二、解答題9、證明：令 ,則有 ，且 于是 由算術(shù)-幾何平均值不等式，可得+注意到 ，可知 ，即 BACQPyOCxDBA10、解：（1）設(shè)直線：代入得：，得：，設(shè)，則有，設(shè)，易得：，由得，故，代入得，整理得：，又，=為定值. （2）設(shè)中點為，

6、中點為則，所以，、重合，從而，從而，又的面積等于面積的，所以，從而.11、解：（）設(shè)則又故在區(qū)間上是增函數(shù)。（）證：，而均值不等式與柯西不等式中，等號不能同時成立，二 試一、證明：延長PA交EF于D，則PEG和PHF分別是ACD與ABD的截線，由梅涅勞斯定理得： =1 =1PO1、O2都是ABC的旁切圓，HGEC=CG=（BC+CA+AB）=BF=HBO2O1A于是由、得：FEDCB =又RtAGO1RtAHO2 =而O1、A、O2三點共線，且 二、證明：原不等式可變形為即 由柯西不等式以及可得 即 同理 上面三式相加并利用得三、解：對任意，若，則，設(shè)則讓a跑遍區(qū)間）中的所有整數(shù)，則于是下面計

7、算畫一張2k×2k的表，第i行中，凡是i行中的位數(shù)處填寫“*”號，則這行的“*”號共個，全表的“*”號共個；另一方面，按列收集“*”號數(shù)，第j列中，若j有T（j）個正因數(shù)，則該列使有T（j）個“*”號，故全表的“*”號個數(shù)共個，因此=.示例如下：ji1234561*2*3*4*56*則由此，記易得的取值情況如下：k123456789101112131415356678698881071010因此，據(jù)定義，又當(dāng)，則從則四、解：設(shè)各人上場時間分別為7t1，7t2，7t3，7t4，13t5，13t6，13t7，(ti為正整數(shù))得方程 7(t1+t2+t3+t4)+13(t5+t6+t7)=90×3令t1+t2+t3+t4=x，t5+t6+t7=y，得方程7x+13y=270。即求此方程滿足4x38，3y20的整數(shù)解即6y4(mod 7)，3y2(mod 7)，y3(mod 7) y=3，10，17，相應(yīng)的x=