二項式定理及性質(zhì)

1、2013-2014學(xué)年度xx學(xué)校xx月考卷1、在的展開式中，記項的系數(shù)為，則(   )A.45         B.60             C.120               D.210C本題考查二項式定理以及組合數(shù)的運(yùn)算，中檔題

2、由二項式定理知：，所以2、在的展開式中，含項的系數(shù)為（  ）A  B   C   DC本題考查二項式定理及簡單的組合運(yùn)算，簡單題含項為3、的展開式中的系數(shù)是（    ）A、-20 B、-5  C、5   D、20A 在的展開式中，第項展開式為,則時, ,故選A.本題考查：本題主要考查二項式定理4、若二項式的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)（   ）A.2  B.   C. 1  D. C二項式的展開式中，第項為

3、，令，得，所以，解得。因此選C。本題考查：本題主要考查二項展開式中的系數(shù)及其方程的思想。5、在的二項展開式中，的系數(shù)為(    ).A.         B.         C.         D. C在的展開式中，第項為，當(dāng)時，為含的項，其系數(shù)是，故選擇C.6、展開式中不含x項的系數(shù)絕對值的和為243，不含y的項的系數(shù)絕對

4、值的各為32，則a,b,n的值可能為(    ).A. ，        B. ，C. ，        D. ，D注意到，因此依題意得，于是結(jié)合各選項逐一檢驗可知，當(dāng)時，因此選D.7、的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為(    ).A.-40        B.-20    

5、;    C.20        D.40D對于，可令得，故.的展開式的通項，要得到展開式的常數(shù)項，則的x與展開式的相乘，的與的展開式的x相乘，故令得，令得，從而可得常數(shù)項為.8、若，則的值為（    ）A2    B0    C-1    D-2C令可得，所以.再令可得，因而.9、在的二項展開式中，x的系數(shù)為（    ）A.10 

6、60;      B.-10        C.40        D.-40D因為二項式展開式的第項為，當(dāng)時，含有x，其系數(shù)為.【易錯點(diǎn)撥】二項式展開式的第項的二項式系數(shù)是，不是.10、的展開式中常數(shù)項為(    ).A.         B.     &#

7、160;   C.         D.105B二項展開式的通項，當(dāng)時，展開式中的常數(shù)項為11、設(shè)，且，若能被13整除，則(    ).A.0        B.1        C.11        D.12D，被13整除余，結(jié)合選項可得時，能被

8、13整除.【易錯點(diǎn)撥】造成此題錯解的原因是對于較大數(shù)據(jù)的展開沒有想到運(yùn)用二項式定理，或除13后余誤當(dāng)成余.12、的展開式中的系數(shù)是(    ).A.42        B.35        C.28        D.21D依題意可知，二項式的展開式中的系數(shù)等于，選D13、如果的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（   ）

9、.A.7       B. -7      C.21      D. -21C令x=1得(3-1)n=128，n=7，在的展開式中，令，得r=6，的系數(shù)為.故選C。14、在的二項展開式中，含的奇次冪的項之和為,當(dāng)時，等于（   ）A.23015      B. -23014      C.23014 

10、0;    D. -23008B當(dāng)時，選B.15、如果的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為（  ）. A.3               B.5          C.6        D. 10B由得。    由2n-5k=0,

11、得2n=5k.    又nN*，kN,故n必為5的倍數(shù)，從而正整數(shù)n的最小值為5.16、在的展開式中，系數(shù)最大的項是（    ）.A.第5,7項    B.第6項     C.第5,6項     D.第6,7項A展開式的通項為其系數(shù)為當(dāng)k=4,6時，其值最大，因此二項式系數(shù)最大的項是第5，7項。17、二項式的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是（   ）.A.第項    B.第項&#

12、160;   C.第項    D.不能確定D由于3n是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定，所以此二項展開式中二項式系數(shù)最大的項不能確定。18、按的降冪排列系數(shù)最大的項是（    ）.A.第四項和第五項          B.第五項      C.第五項和第六項        D.第六項Bn=9,第五、六項系數(shù)絕對值最大，但第六項系數(shù)為負(fù)值。19

13、、設(shè)，則的值為（  ）.A. -2           B. -1        C.1       D.2A令x=-1,得a0+a1+a2+a11=(1+1)×(-2+1)9=2×(-1)9=-2.20、   展開式中的常數(shù)項是（ ）A. -36         B.

14、36          C. -84           D.84 C。令得k=3,故21、展開式中的系數(shù)為（  ）.A.  15         B. 60          C.  120  &#

15、160;    D.  240B由6-k=2得k=4,故22、代數(shù)式可化簡為（ ）.A.                    B. C.                     

16、    D.  C逆用二項展開式，即由 (x+1)-14展開得。23、9192被100除所得的余數(shù)為（    ）.A. 1           B.81           C. -81          D.992B利用的展開式，或利用的展開式.解法一：.

17、展開式中前92項均能被100整除，只需求最后一項除以100的余數(shù).由前91項均為能被100整除，后兩項和為-919,因原式為正，可從前面的數(shù)中分離出1 000,結(jié)果為1 000 -919 =81，9192被100除可得余數(shù)為81,故選B.解法二: 前91項均能被100整除，剩下兩項為92×90+1=8 281,顯然8 281除以100所得余數(shù)為81，故選B.【點(diǎn)評】利用二項式定理可以求余數(shù)和證明整除性問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系，再用二項式定理展開，只考慮后面（或者是前面）一、二項就可以了.24、的開式中的系數(shù)為  &

18、#160;     .(用數(shù)字填寫答案)20本題考查組合數(shù)的計算、二項式定理，中檔題展開式的通項為，的展開式中的項為，故系數(shù)為2025、的展開式中的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）主要考查二項式定理的運(yùn)用，二項式展開式的通項為，所以的系數(shù)為26、設(shè)，是大于的自然數(shù)，的展開式為若點(diǎn)Ai(i，ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示，則a=_ 3本題考查解決二項式的特定項問題，關(guān)鍵是求出展開式的通項，屬于一道中檔題本題考查解決二項式的特定項問題，關(guān)鍵是求出展開式的通項，屬于一道中檔題（1+）n的展開式的通項為，由圖知，a0=1，a1=3，a2=4，a23a=0

19、，解得a=3，故答案為：327、的展開式中，的系數(shù)為15，則a=_.(用數(shù)字填寫答案)本題考察二項式定理，簡單題當(dāng)28、    如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第_行中從左至右第14與第15個數(shù)的比為2334    設(shè)第n行，展開式中的第14、15項分別為、，解得n3429、設(shè)，則_.0的展開式的通項為.由題意知，分別是含和項的系數(shù)，所以，所以.30、的展開式中，的系數(shù)是_(用數(shù)字作答).84原問題等價于求的展開式中的系數(shù)，的通項，令得，的系數(shù)為，即的展開式中的系數(shù)為84.31、設(shè)二項式的展開式中的系數(shù)為A，常數(shù)項為B.若B

20、=4A，則a的值是_.2對于，.B=4A，.32、若將函數(shù)表示為，其中為實數(shù)，則_.10不防設(shè)，則，因此有，則.33、在的二項展開式中，常數(shù)項等于_.-160利用展開式的通項公式求解.展開式的第項，令，得常數(shù)項為.34、若展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為_.4二項式展開式的通項公式是，當(dāng)時，為常數(shù)項，即常數(shù)項是，根據(jù)已知得，解得.35、在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_項.6注意到二項式的展開式的通項是.當(dāng)時，相應(yīng)的項的系數(shù)是有理數(shù).因此的展開式中，系數(shù)是有理數(shù)的項共有6項36、的展開式中的常數(shù)項為_.-5的展開式的通項.令，得，令，得(舍去)，令，得.所以所求的常數(shù)項為：.37、在的二

21、項展開式中，常數(shù)項是_.60由的二項展開式的通項為，令，解得，所以的二項展開式的常數(shù)項為.38、觀察下列等式：，由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：對于，_.給出的一系列等式中，右邊為兩項形式加減輪換的規(guī)律，其中第一個的指數(shù)由3，7，11，4n-1構(gòu)成，第二個的指數(shù)由1，3，5，2n-1構(gòu)成.故等式的右邊為.39、若的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為_. 56由可知，所以的展開式的通項公式，所以，所以的系數(shù)為40、的展開式的常數(shù)項是(    ).A.3      

22、0; B.2        C.2        D.3D的展開式的通項為，.當(dāng)因式中提供時，則取；當(dāng)因式中提供2時，則取，所以的展開式的常數(shù)項是5-2=3.41、將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個如圖1-4-5所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形從萊布尼茨三角形可看出，其中x=_令，則=_.r+1；從萊布尼茨三角形可以看出，下一行兩個分?jǐn)?shù)之和等于肩上的上一行的分?jǐn)?shù)之和，x=r+1.又。42、由等式定義映射，則等于_(0，-3，4，-1)設(shè)f(4

23、，3，2，1)=(b1，b2，b3，b4)，則x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)4+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4.解法一：令x+1=0，即x=-1，得b4=-1.    對式兩邊求導(dǎo)得4x3+12x2+6x+2=4(x+1)3+3b1(x+1)2+2b1(x+1)+b3，再令x=-1得b3=4.    同理可得b1=0，b2=-3.    解法二：x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)-14+4(x+1)-13+3(x+1)-12+2(x+1)-1+1=(x+1)4-3(x+1)2+

24、4(x+1)-1，比較系數(shù)可知b1=0，b2=-3，b3=4，b4=-1.故填(0，-3，4，-1).43、已知，則的值為_ 奇數(shù)項的系數(shù)a0、a2、a4、a6均為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)a1、a3、a5、a7均為負(fù)數(shù)，故即當(dāng)x=-1時，a0-a1+a2-a3+a6-a7=-214.44、的展開式中常數(shù)項是_(用數(shù)字作答)，由30-5k=0，得k=6，故.45、展開式中的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）.594。令得k=10，故46、的展開式中的系數(shù)是_.5變換部分展開確定系數(shù),或利用雙通項來求解.解法一：，的系數(shù)為 1×( -1)+( -2)×( -3) =5.解法二: 的通項

25、：，的通項: ，的通項：（其中，).令，則有，或，或故的系數(shù)為.故填5.【點(diǎn)評】本題解法一僅適用于冪指數(shù)較小的二項式乘積的展開式，而解法二的雙通項法則是解決這類問題的通法.所謂雙通項法就是根據(jù)多項式與多 項式的乘法法則得到的展開式中的一般項為 (注意這里含有的項不一定只有一項），再根據(jù)題目中對字母的指數(shù)的特殊要求，確定r與k所滿足的條件，進(jìn)而求出r、k所取的值的情況.從而使問題順利地解決.推廣到一般可得三通項法、四通項法47、如圖所示，在一塊木板上釘一些正六棱柱形的小木塊，在它們中間留下一些通道,從上面的漏斗直通到下部的長方形框子,前面用一塊玻璃擋住.把小彈子倒在漏斗里,它首先會通過

26、中間的一個通道落到第二層（有幾個通道就算第幾層）的六棱柱上面，以后,再落到第二層中間的一個六棱柱的左邊或右邊的兩個豎直通道里邊去.再以后,它又會落到下一層的三個通道之一里邊去，以此類推，最終落到下邊的長方形框子中.假設(shè)我們總共在木板上做了層通道,在頂上的漏斗里一共放了顆小彈子,讓它們自由落下,落到下邊個長方形框子里,那么落在每個長方形的框子里時的彈子的數(shù)目（按照可能情形來計算）會是多少？你能用學(xué)過的二項式定理與概率的知識來解釋這一現(xiàn)象嗎？見解析彈子從每一個通道通過時可能情況是:它選擇左右兩個通道的可能性是相等的,而其他任何一個通道的可能情形等于它左右肩上兩個通道的可能情形的和.可以設(shè)想，第1層

27、只有1個通道,通過的概率是1;第2層有2個通道，每個通過的概率依次是;第3層有3個通道,每個通過的概率從左到右依次是;第4層有4個通道，每個通過的概率從左到右依次是；照這樣計算第層有個通道,彈子通過各通道的概率將是多少呢？我們可以寫出如下圖所示的“概率三角形”，可得出它與楊輝三角的關(guān)系：第行各概率的分子是楊輝三角中的數(shù)，分母是.由此可知,落在每個長方形的框子里的彈子的數(shù)目（按照可能情形來計算)分別是：.1即正好等于二項式系數(shù)：.【點(diǎn)評】本題中通過觀察特殊圖形，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律:彈子通過每一通道時，它選擇左、右兩通道的可能性相等,并且經(jīng)過任一通道 的可能性等于它肩上兩個通道的可能情形之和.進(jìn)而不難把

28、它與“楊輝三 角”聯(lián)系在一起,使問題順利地解決.本題的解決過程進(jìn)一步體現(xiàn)了“觀察分析，實驗歸納猜想證明”的基本思想方法.其中觀察、分析、實驗、歸納、猜想結(jié)論是其關(guān)鍵,是我們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的地方.48、設(shè)成等差數(shù)列，求證: .見解析證明：由題意知:,又. 令，則.兩式相加得：=.【點(diǎn)評】利用二項式定理可以解決某些數(shù)列求和問題，本例中利用倒序相加求和法，并結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)，把所求的和轉(zhuǎn)化為的問題，為運(yùn)用二項式定理知識解決問題創(chuàng)設(shè)了條件.我們應(yīng)從本題中領(lǐng)悟到如何 對問題實施轉(zhuǎn)化，還有如何為應(yīng)用二項式定理創(chuàng)設(shè)條件的真諦.49、求證：.見解析觀察等式右邊的組合數(shù)的特征，聯(lián)想二項式定理可知它是的展開式中的系數(shù)

29、，這樣問題就轉(zhuǎn)化為等式左邊也應(yīng)該是的展開式中的系數(shù)，而等式左邊每一項的各因子又都是展開式中 各項的系數(shù)，所以想到要將轉(zhuǎn)化為再分別展開證明：的展開式中的系數(shù)為.又，則等式右邊整理后的系數(shù)為.兩種形式下的展開式中的系數(shù)應(yīng)該相等，.50、設(shè)d為非零實數(shù)，.(1)寫出，并判斷是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.（1）見解析；（2） (1)由已知可得，.當(dāng)，時，因此.由此可見，當(dāng)時，是以d為首項，公比的等比數(shù)列；當(dāng)時，此時不是等比數(shù)列.(2)由(1)可知，從而，. 當(dāng)時，.當(dāng)時，式兩邊同乘得.，式相減可得.化簡即得.綜上，51、設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，公比q

30、是的展開式中的第二項（按x的降冪排列）（1）用n、x表示通項以及前n項和；（2）若，用n、x表示（1）；（2）(1)由知        (2)當(dāng)x=1時，Sn=n，    又    故當(dāng)x1時，             52、設(shè)是定義在R上的一個給定的函數(shù)，函數(shù)（1）當(dāng)時，求；（2）時，求見解析(1)當(dāng)f(x)=1時，      

31、;   (2)當(dāng)f(x)=x時，    53、在的展開式中，試求使的系數(shù)為最小值時P的值P=4解法一；通項又(1+px)r的通項為，        而m+r=4，且0mr10.        x4的系數(shù)為    僅當(dāng)p=-4時，x4的系數(shù)為最小。    解法二：            因展開式可知，x4的系數(shù)為  &#