常微分方程答案 一二章

1、習(xí)題1.24. 給定一階微分方程，(1). 求出它的通解；(2). 求通過(guò)點(diǎn)的特解；(3). 求出與直線相切的解；(4). 求出滿足條件的解；(5). 繪出(2),(3),(4)中的解得圖形。解：(1). 通解顯然為；(2). 把代入得，故通過(guò)點(diǎn)的特解為；(3). 因?yàn)樗笾本€與直線相切，所以只有唯一解，即只有唯一實(shí)根，從而，故與直線相切的解是；(4). 把代入即得，故滿足條件的解是；(5). 圖形如下：5. 求下列兩個(gè)微分方程的公共解：解：由可得所以或，代入原微分方程滿足，而代入原微分方程不滿足，故所求公共解是代入原微分方程不滿足。6. 求微分方程的直線積分曲線。解：設(shè)所求直線積分曲線是，則

2、將其代入原微分方程可得所以所求直線積分曲線是或。8. 試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程： (2). 曲線上任一點(diǎn)的切線介于兩坐標(biāo)軸之間的部分等于定長(zhǎng)；(5). 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的切線的橫截距和縱截距分別為和，故(2). ；(5). 。習(xí)題2.11. 求下列方程的解：(2). ，并求滿足初值條件的特解；解：當(dāng)，分離變量，得兩邊同時(shí)積分，得又也是原方程的解，故的通解是由初值條件可得，故所求特解是。(4). 解：當(dāng)，分離變量，得兩邊同時(shí)積分，得又也是原方程的解，故所求通解是 和 (5). 解：原方程可化為令，則兩邊同時(shí)積分，得將代入，得所求通解

3、是(6). 解：原方程可化為令，則 當(dāng)，分離變量，得兩邊同時(shí)積分，得又，即也是的解，故的通解是和。將代入，得原方程的通解是 和 (7). 解：當(dāng)，分離變量，得兩邊同時(shí)積分，得又，即也是原方程的解，而該解可在中令得到，故所求通解是(8). 解：分離變量，得兩邊同時(shí)積分，得所求通解是 即 (9). 解：原方程可化為令，則 當(dāng)，分離變量，得兩邊同時(shí)積分，得 由原方程可得，從而。又，即也是的解，而該解可在中令得到，故的通解是。將代入，得原方程的通解是(10). 解：分離變量，得兩邊同時(shí)積分，得所求通解是 2. 作適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q求解下列方程：(1). 解：令，則原方程化為兩邊同時(shí)積分，得將代入，得原方程

4、的通解是 即 (3). 解：因?yàn)榱睿瑒t原方程化為再令，得兩邊同時(shí)積分，得將代入，得原方程的通解是(7). 解：原方程可化為令，則原方程化為再令，得用分離變量法求解，得將代入，得原方程的通解是習(xí)題2.21. 求下列方程的解：(5). ；解：原方程可化為： 對(duì)應(yīng)的齊次方程為，用變量分離法求得其解為。令的解為，則將其代入可得所以原方程的通解為(8). ；解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為： 這是未知函數(shù)為的非齊次線性方程，對(duì)應(yīng)的齊次方程為，用變量分離法求得其解為。令的解為，則將其代入可得所以的通解為又也是原方程的解，故原方程的通解為 和 (12). ；解：原方程可化為： 這是的Bernoulli方程。當(dāng)時(shí)，兩邊

5、同時(shí)除以，得令，則 其對(duì)應(yīng)的齊次方程的解為，令的解為，則將其代入可得所以的通解為將代入，得。又也是原方程的解，故原方程的通解為 和 (13). ；解：原方程可化為： 這是的Bernoulli方程，兩邊同時(shí)乘以，得令，則 其對(duì)應(yīng)的齊次方程的解為，令的解為，則將其代入可得所以的通解為將代入，得原方程的通解為(16). ； 解：原方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)可得在原方程中，當(dāng)時(shí)，。故原方程等價(jià)于Cauchy問(wèn)題 由常數(shù)變易法易得的通解為，再由可得，故Cauchy問(wèn)題的解為，這也是原方程的解。習(xí)題2.31. 驗(yàn)證下列方程是恰當(dāng)方程，并求出方程的解：(2). ；解：因?yàn)椋怨试匠淌乔‘?dāng)方程。令函數(shù)滿足，則由可

6、得再由可得所以，故原方程的通解是(2). ；解：因?yàn)椋怨试匠淌乔‘?dāng)方程。令函數(shù)滿足，則由可得再由可得所以，故原方程的通解是2. 求下列方程的解：(4). ；解：原方程兩邊同時(shí)除以，得所以原方程的通解是(6). ；解：因?yàn)?，所以原方程不是恰?dāng)?shù)?。由可得積分因子，原方程兩邊同時(shí)乘以，得即所以故原方程的通解是(8). ；解：因?yàn)?，所以原方程不是恰?dāng)?shù)摹Ｓ煽傻梅e分因子，原方程兩邊同時(shí)乘以，得即所以此即為原方程的通解。5. 試證齊次微分方程當(dāng)時(shí)有積分因子。證明：齊次微分方程兩邊同時(shí)乘以得所以原方程可化為。因?yàn)樵匠淌驱R次方程，故可設(shè)令，則又因?yàn)樗詮亩适驱R次微分方程當(dāng)時(shí)的積分因子。習(xí)題2.41. 求解下列方程：(1). ；解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為令，則，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得即又時(shí)，原方程恒不成立，所以原方程的參數(shù)形式的通解是(3). ；解：令，則，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得所以或所以原方程的通解是 和 習(xí)題2.51. 求解下列方程：(3). ；解：原方程兩邊同時(shí)乘以，得令，則用常數(shù)變易法易得其解為，故原方程的通解為(11). ；解：原方程可化為由可得，這是一