壓軸大題突破練——直線與圓錐曲線(一)

1、壓軸大題突破練壓軸大題突破練一一直線與圓錐曲線(一)1. (2013課標(biāo)全國I )已知圓M : (x+ 1)2+ y2= 1,圓N: (x 1)2+ y2= 9,動(dòng)圓P與圓M外 切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C.(1) 求C的方程；(2) 1是與圓P、圓M都相切的一條直線，I與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求AB.解(1)設(shè)圓P的半徑為r,則 pm= 1 + r, PN=3r,pm + PN = 4>MN , P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，左頂點(diǎn)除外， 且 2a= 4,2c= 2, a= 2, c = 1, b2= a2 c2= 3.2 2 P的軌跡曲線C的方程為4

2、 + 3 = 1(x 2).由(1)知：2r = (PM PN) + 2< MN + 2 = 4,圓P的最大半徑為r = 2.此時(shí)P的坐標(biāo)為(2,0).2 2圓P的方程為(x 2) + y = 4. 當(dāng)I的方程為x= 0時(shí)，AB = 2 3, 設(shè)I的方程為y= kx+ b(k R),| k+ b|丿芮1 仝乎解之得：彳4或彳 4|2：+b| = 2,=逅e=-V2 1+ k2 I 的方程為 y=¥x+ 2, y=嚴(yán)x 2.4422x y 4 + 3聯(lián)立方程_化簡：7x2+ 8x 8= 0.|.y=x+V2, 8 8 AB = p 1 + k2寸徑1+ X2 4x1x2 =號(hào) 綜

3、上，AB= 2 ,3或歲X1 + X2= 7， X1X2= 7，22. 已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0, 1)，焦點(diǎn)在X軸上，中心在原點(diǎn).若右焦點(diǎn)到直線X y+ 2 2= 0的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè)直線y= kx+ m (kz0)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N.當(dāng)AM = AN時(shí)，求m的取值范圍.2解(1)依題意可設(shè)橢圓方程為 + y2= 1，(.a2 1, 0),a則右焦點(diǎn)Fya2 1 + 2磁|2由題設(shè) 罷 =3，解得a = 3. 故所求橢圓的方程為專+y2=1.設(shè) P(xp, yp), M(xm, yM), N(xn, yN, P 為弦 MN 的中點(diǎn),y= kx+ m，由 X2得

4、(3k2 + 1)x2+ 6mkx+ 3(m2 1) = 0，Xt+y2=1T直線與橢圓相交, = (6mk)2 4(3k2+ 1) x 3(m2 1)>02 2? m <3k + 1xm + xn3mk Xp =223k + 1從而 yp= kxp+ m= m，3k + 12yp+ 1m + 3k + 1 AP 丄 MN ,1 21，即 2m= 3k + 13mk ，又 AM = AN，2m+ 3k2 + 1 則一一3mk把代入得m2<2m，解得0<m<2 ;由得k2=半>°，解得m>：1綜上求得m的取值范圍是2<m<2.3.

5、(2013福建)如圖，拋物線 E: y2= 4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線I與x軸的交點(diǎn)為 A.點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，CO為半徑作圓，設(shè)圓 C與準(zhǔn)線I交于不同的兩點(diǎn) M , N.(1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2,求MN ;若af2=am AN，求圓C的半徑.解(1)拋物線y2= 4x的準(zhǔn)線I的方程為x=- 1.由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線I的距離d = 2,又CO = 5,所以 MN = 2 'CO2- d2= 2 5-4 = 2.2耳設(shè)C(y0, y°)，則圓C的方程為24 匹2、(、2 皿 |2(x 4) + (y- y0) = 16+ y0，22

6、y02即 x ?x+ y 2y°y= 0.2由 x= 1,得 y 2y°y + 1 + 專=0,設(shè) M( 1, y", N( 1, y2)，貝U2= 4yo 4 1 + y0 = 2y0 4>0 ,< 2y2= 2+ 1由 AF2 = AM AN,得 My2|= 4,2所以羅+ 1 = 4,解得y0= + 6，此時(shí)少0. 所以圓心C的坐標(biāo)為(號(hào),.6)或(多,.6), 從而CO2= 33, CO =亠孑，即圓C的半徑為亠羅.2 24. 已知橢圓字+活=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F2,點(diǎn)M(0,2)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn), F1MF2是等腰

7、直角三角形.(1)求橢圓的方程;ki, k2,且 ki過點(diǎn)M分別作直線 MA, MB交橢圓于A, B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為 + k2= 8，證明：直線AB過定點(diǎn)一1，一 2 .(1)解由已知，可得 b = 2, a2= ( 2b)2= 8,2 2所求橢圓方程為x + y = 1.84證明 設(shè)A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi, yi), (x2, y2),若直線AB的斜率存在，設(shè)方程為 y= kx+ m,育.1,y= kx+ m,得(1 + 2k2)x2+ 4kmx+ 2m2 8= 0.則 X1 + X2=上?，X1X2=紐二81 + 2k1 + 2ky1 2 y2 2由k1 + k2= 8,得匚廠+匚廠=8,所以kx1+ m 2+X1kx2 + m 2X2X1 + X2 即 2k+ (m 2) = 8.X1X2mk1所以k= 4，整理得m = 7k 2.m+ 22故直線 AB 的方程為 y= kx+ |k 2, 即 y= k x +1 2.所以直線AB過定點(diǎn) ,2 .若