山西省呂梁市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

數(shù)學(xué)試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2回答選擇題時，選出年小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用列舉法及交集的定義即可求解.【詳解】因為，且，故.故選：C2.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和極差分別為（）A.30，24 B.26，30 C.24，30 D.26，24【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)和極差的概念可求得結(jié)果.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，，共有9個數(shù)據(jù)，第1個數(shù)為20，第5個數(shù)為26，第9個數(shù)為50，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為26，極差為.故選：B3.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)，及其共軛復(fù)數(shù)，然后計算即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，所以，故.故選：D4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合對稱性解得，對比選項檢驗即可.【詳解】由題意可得：，解得，根據(jù)各選項，代入檢驗知：當(dāng)取1時，，即只有選項C符合題意.故選：C.5.已知拋物線的焦點為為上一點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將代入拋物線的方程中解得，由拋物線定義可求PF.【詳解】將代入，解得，由拋物線的定義可知.故選：B6.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得恒成立，可得，并代入求定義域檢驗即可.【詳解】由題意可得：，若是奇函數(shù)，則，即恒成立，則，解得，若，則，顯然，且，即，可知的定義域為，關(guān)于原點對稱，此時為定義在上的奇函數(shù)，即符合題意.故選：A.7.已知遞增等比數(shù)列的公比為，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】方法1：設(shè)，整理可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，結(jié)合的單調(diào)性，分和兩種情況，結(jié)合零點分析求解即可；方法2：整理可得，根據(jù)單調(diào)性可得的取值范圍為.進而可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和值域.【詳解】由題意可知：，方法1：設(shè)，因為，可得，設(shè)，則，令，解得或；令，解得；可知在，單內(nèi)調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，又因為，則有：當(dāng)時，在區(qū)間存在零點，因為，則，解得；當(dāng)時，應(yīng)有大于1的零點，因為，且當(dāng)時，，故對于任意均存在大于1的零點，綜上所述：，即的取值范圍是；方法2：因，可得.因為等比數(shù)列遞增，則有：當(dāng)時，則，此時等比數(shù)列遞增，即符合題意；當(dāng)時，則，則；綜上所述：的取值范圍為.又因為，設(shè)，則，當(dāng)時，則，可知在單調(diào)遞減，且，可得；當(dāng)時，則，可知在單調(diào)遞增，可得；所以的取值范圍是.故選：B.8.已知在三棱錐中，除外其他各棱長均為2，且二面角的大小為.若三棱錐的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方法1：設(shè)分別為的中點，根據(jù)條件得出為等邊三角形，利用球心在線段上，及，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程可得，從而求出球的表面積；方法2：由已知條件得出為等邊三角形，利用球心在線段上，易知在直線上的射影為正的重心，結(jié)合，求出，再結(jié)合勾股定理即可求出，從而求出球的表面積.【詳解】方法1：如圖，設(shè)分別為的中點，連接，則是邊長為的等邊三角形，則球心必在線段上，其中，設(shè)球的半徑為，在中，,又,,所以在中，,因為，所以.解得，故球的表面積為.方法2：如圖，設(shè)分別為的中點，連接，則球心必在線段上，且.設(shè)在直線上的射影為，則為正的重心，且底面.所以，所以，，故球的表面積為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線，則的（）A.焦點在軸上 B.焦距為3C.離心率為 D.漸近線為【答案】AC【解析】【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出離心率，漸近線方程，焦距，逐項判斷即可.【詳解】因為雙曲線，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故焦點在軸上，，故焦距為，離心率為，漸近線為，故A，C正確，B，D錯誤.故選：AC10.小明上學(xué)有時乘公交車，有時騎自行車.他各記錄了100次乘公交車和騎自行車上學(xué)所用的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：乘公交車平均用時20min，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；騎自行車平均用時24min，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.已知若隨機變量，則.假設(shè)小明乘公交車用時和騎自行車用時都服從正態(tài)分布，則（）A.B.C.若某天有28min可用，小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇騎自行車D.若某天有25min可用，小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇乘公交車【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，代入對應(yīng)數(shù)值判斷A、B；計算比較與的大小關(guān)系即可判斷C；計算比較與的大小關(guān)系即可判斷D；【詳解】根據(jù)題意知，故A錯誤，B正確；若有28min可用，分別設(shè)隨機變量的平均數(shù)和方差為，則，故，小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇騎自行車，故C正確；若有25min可用，則，因為，故，小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇乘公交車，故D正確.故選：BCD.11.已知的三邊長分別為為內(nèi)一點，且滿足.設(shè)，則A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】假設(shè)，然后根據(jù)向量的運算及余弦定理、三角形面積公式計算即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，不妨設(shè)，由余弦定理可知，故，，設(shè)，則，又因為，故，所以，故B正確；對于C，由余弦定理可知，，同理，故，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知展開式中的系數(shù)為80，則__________.【答案】-【解析】【分析】利用通項公式，即可求解.【詳解】通項公式，令，則，因為的系數(shù)為，故.故答案為：13.已知函數(shù)在區(qū)間有零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)的零點可以轉(zhuǎn)化為與函數(shù)放入圖象有交點即可，因此只需確定再區(qū)間的范圍即可.【詳解】令，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，且，所以若在區(qū)間有零點，只需與函數(shù)有交點即可,所以的取值范圍是.故答案為：14.設(shè)，且，記為中最大的數(shù)，則的最小值為__________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)不等式的知識求解即可.【詳解】因為，故，所以，所以的最小值為6，當(dāng)，且時成立.故答案為：6四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求曲線y=fx（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值；極小值4.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）首先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的極值.【小問1詳解】根據(jù)題意有，故切線的斜率.又，故切點坐標(biāo)為.所以曲線y=fx在點處的切線方程為【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，f'x>0當(dāng)時，f'x<0；當(dāng)x∈所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時，取得極大值；當(dāng)時，取得極小值.16.如圖，直三棱柱的高為，分別為的中點，為上一點，且.（1）證明：∥平面：（2）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）做輔助線，可得∥，結(jié)合線面平行的判定定理分析分析證明；（2）建系標(biāo)點，求平面平面的法向量，利用空間向量求線面夾角.【小問1詳解】如圖，延長交于點，連接交于點，連接.因為為的中點，且∥，故為的中點.過作∥，交于點，因為為中點，故，因為，故.又因為，故，故∥，因為平面平面，所以∥平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，直線為軸，直線為軸，直線為軸建立坐標(biāo)系，則，故，且記.設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，則.所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，可得，，所以直線與平面所成角的正切值為.17.某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，已知每次投籃的命中率均為0.5，且每次投籃是否命中相互獨立.若該同學(xué)投籃3次，記其中命中的次數(shù)為.（1）求的分布列與期望；（2）已知有大小相同的紅球和黃球各個，從中隨機取3個球，記其中紅球的個數(shù)為，若用的值近似表示，且滿足誤差的絕對值不超過0.01，求的最小值.【答案】（1）分布列見解析，（2）20【解析】【分析】（1）列出分布列，根據(jù)期望定義進行計算，或者利用二項分布期望公式進行計算；（2）由題意可知，依題意列出不等式，可得的范圍，即得的最小值.【小問1詳解】根據(jù)題意有，其中，，，.的分布列為：0123方法1：所以方法2：因為，故【小問2詳解】根據(jù)題意有.由（1）可知，故應(yīng)滿足.解得.故的最小值為20.18.已知橢圓過點，且的右焦點為.（1）求的方程：（2）設(shè)過點的一條直線與交于兩點，且與線段交于點.（i）證明：到直線和的距離相等；（ii）若面積等于的面積，求的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）或.【解析】【分析】（1）代入條件，轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程組，即可求解；（2）（ⅰ）首先設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達定理，由題意轉(zhuǎn)化為證明和的斜率和為0；（ⅱ）由面積公式，結(jié)合條件，再結(jié)合幾何關(guān)系，確定，即可確定點的位置，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意有，且由橢圓的幾何性質(zhì)可知，所以.所以的方程為.【小問2詳解】（i）顯然的斜率存在，設(shè)的方程為，代入的方程有：，其中.設(shè)，則，若到直線和的距離相等，則直線平分，易知軸，故只需滿足直線與的斜率之和為0.設(shè)的斜率分別為，則：，，代入，有，故命題得證.（ii）由（i）知直線平分，即.因為的面積等于的面積，故，即，故.故在線段的垂直平分線上.易知線段的垂直平分線為，與的方程聯(lián)立有，故的坐標(biāo)為或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問中第一小問的關(guān)鍵是由幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明，第二小問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系為.19.“割圓術(shù)”是利用圓的外切或內(nèi)接正多邊形逼近圓并由此求圓周率的一種方法.設(shè)，圓的外切和內(nèi)接正邊形的周長分別為和，其中.（1）若的半徑為1，求的外切正邊形的面積；（2）證明：；（3）設(shè)，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角差的正切結(jié)合定義得出面積；（2）應(yīng)用二倍角余弦公式結(jié)合新定義化簡即可證明；（3）應(yīng)用二倍角正弦公式，再運用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性得出不等關(guān)系，最后結(jié)合新定義化簡即可證明；【小問1詳解】根據(jù)題設(shè)可知，故外切多邊形每一條邊所對的圓心角為.當(dāng)?shù)陌霃綍r，有.所以圓