壓軸題專題測驗———放縮法

1、教師訚威學生嚴斯文上課時間學科數(shù)學年級、_- .咼二教材版本課題壓軸題專題練習放縮法重難點數(shù)列與函數(shù)的放縮法的訓練證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征， 當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一、裂項放縮n c例1.(1)求7 _2_的值； 池4k2 -1抓住其規(guī)律進行恰奇巧積累：(1) 1 _ 44n _4n2 n2 -1(2)求證：J 11 12n _1 _2n ：；11CC

2、； (n T)n(n-1)n(n-1)1n(n -1) Tr 1 =C(1 - 1)nn1n!11nrr!(nr)! nrr! " r(r1) r -1：-1 1 1 .1 2X13漢2-n . _ n 八一_ n .-2 (2 ) 2-12n(n -1)1 11-r(r-2)教學過程)丄=2n (2n - 1) -2n-(2n -3) 2n(7) 2( Jn 州 扁)< 2 (扁Jn 1)(8)Jn1_)1kn 北n(n+1+k) k 比 0 n+1+k(9)k(n.-k)(10)n(n 1)!n 1 -k1n! (n 1) !)1.；：；2( 2n 7 _ 2n _1)：

3、n2n 1 2n1 “10 2 -21n -2(11)2n2n2n(12)w" n2nn' nnnn 1n _1n .(2 /) (2-1)(2-1)(2-1)(22)(21)(2-1)2-12-1l' 111 = :， ! , = n(n -1)(n 亠 1). n(n -1)n(n 亠 1)n 亠1 - n -1n-1-!F=2 n1(n _2)(13)(14)(15)例2.(1)求證：11 1n -1 n 亠12n 1 =2 2n =(3 -1) 2n .3=3(22nn -13-211 2n < 3k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k

4、2) !i2 M - j21i -j(i -j)(、i2 1 * .1).2 2i -j7222 k35(2n -1)6(15)n(n -1)2(2n -1)(n _2) :nY：n-1(n_2)求證亠+丄+丄+丄 丄丄416364n22 4n求證：1.1 3 .135 ."(勿一1) . 2n,142 4 62 4 6=2 n求證：2( n -1-1) d -1 1 亠亠 1 ：: 2( 2n 1 -1)v'2<3v n例3 .求證： 6n(n +1)(2n +1)例4.(2008年全國一卷)設函數(shù)f(x) =x_xln x.數(shù)列耳滿足0<*1.兔斗=f何).

5、設 b. (ai,)，整數(shù) k> ai 4證明:aki b.a1 In b例 5.已知 n,mN,x VS=1m2m3m亠亠nm,求證:nm1 ：:(m 1)Sn： (n -1)m1-1例 6.已知 an =4n _2n ,Tn =,求證：+T2 +T3 f +Tnn ai +a2 F"七n22n(n =2k 4k EZ)，求證: _1(n =2k,k EZ)'X51 - 二.2( n i-IXnEN*)4 X2nX2n -1二、函數(shù)放縮例 8.求證：ln2 .ln3 .ln4 .山少.32343n5n_6(n 三 N*).6例9.求證：口 Q空十空+ 十咄-n-* n

6、 >2) -,3口n2(n+i)(-)10.求證：1 +1卡+_ 刎n(n +1)龍1 +1 + +23n 12n11.求證:(i舒1 + 3)丁 -(i殆棗和(i +9)(i訃*(i弓)曲.12.求證:(i i 2) (12 3)1 n(n 1) e""13.證明:ln 2 ln3 ln 4 ln n n(n)14. 已知心耳1沽)an埠證明a15. (2008年福州市質檢16. (2008年廈門市質檢2:e ._xln x.若 a >0, b >0,證明：f (a) +(a +b)ln 2 Z f (a +b) f (b).)已知函數(shù)f(x)已知函數(shù)f

7、(x)是在(0,二)上處處可導的函數(shù)，若X f'(x) .f(x)在X 0上恒成立.(I)求證：函數(shù)g(x) =f (x)在(0,切上是增函數(shù)；(II)當 Xi >0, X2 >0時,證明：f (Xi) +f(X2) £ f (Xi +X2)；X1"(III)已知不等式ln(1 x) :：:x在x .俎x=0時恒成立,求證：A，1>32培曲卡佶申2 >2(n応n42) (®*).三、分式放縮姐妹不等式：b > b m (b >a >0,m >0)a a亠m和b b m和一一(a b 0, m 0)a a亠m，

8、反之.廠 2n 1 和(1 加:2n.i1 也可以表示成為記憶口訣”小者小，大者大”解釋:看 b,若b小,則不等號是小于號 例19.姐妹不等式:仆亠i)(i亠(i亠1).(1 12仆2n冇和13.11 3 5(2n X)2 4 6 2n 2n -1例 20.證明:(1 i)(i(1 J- K四、分類放縮例21.求證：1+丄<2 32J 2例22.（2004年全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試改編）在平面直角坐標系xoy中,y軸正半軸上的點列仏與曲線y =J2X（ x >0上的點列Bn滿足O An0Bn|=1，直線An Bn在x軸上的截距為an.點Bn的橫坐標為bn,nN*.例23.（2007年泉

9、州市高三質檢）已知函數(shù)f（x）=x2 +bx+c（b眾,CER），若f（x）的定義域為1, 0,值域也 為1 , 0.右數(shù)列bn滿足bf（n）（nN*），記數(shù)列bn的前n項和為人，冋是否存在正常數(shù)A,使得對于nn任意正整數(shù)n都有t<a ?并證明你的結論。x>0,例24.（2008年中學教學參考）設不等式組y0表示的平面區(qū)域為 D,y < -nx +3 n設D內整數(shù)坐標點的個數(shù)為an設Sn 1 +1卄十1,當nA2時，求證：1 + 1 +1屮1、7n+11.an 卡 anta2na1 a2 a3a2n36五、迭代放縮例25.已知Xn半_Xn +4 “ _1，求證:當n證時,f|

10、xWxni丄1例26.設Ssin 1丄sin 2!上丄sin n!,求證：對任意的正整數(shù)k,若k務恒有：|Sn+k Sn<Sn 21222"n六、借助數(shù)列遞推關系例27.求證：13十1 3 5半“ 35；（姑丄）冬后122 42 4 62462n例28.求證：+1 33 5卄3 5宀（22），2卄122 42 4 62 4 6 .2n例29.若印日務十弘=卄,求證：丄豐洱嚴）a1 a2an 解析:a a n 42 a a 41 1 a _a心 n+-n n+豕 n* n所以就有 丄+丄卄4丄二乜+坷21洱瓦瓦2尹n +1 _2a1 a2an a1七、分類討論例30.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足& =2耳+（）n,n王1.證明：對任意的整數(shù)m >4，有1 ±i1 7屮一<- a4a5am8八、線性規(guī)劃型放縮例31.設函數(shù)f（x） 2x.若對一切x壬r , =&l