彈簧質(zhì)量阻尼模型

1、彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)1 研究背景及意義彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是一種比較普遍的機械振動系統(tǒng)，研究這種系統(tǒng)對于我們的生活與科技也是具有意義的，生活中也隨處可見這種系統(tǒng)，例如汽車緩沖器就是一種可以耗減運動能量的裝置，是保證駕駛員行車安全的必備裝置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改變結構的自振特性，增加結構阻尼，吸收地震能量，降低地震作用對建筑物的影響。因此研究彈簧-質(zhì)量-阻尼結構是很具有現(xiàn)實意義。2 彈簧-質(zhì)量-阻尼模型的建立數(shù)學模型是定量地描述系統(tǒng)的動態(tài)特性，揭示系統(tǒng)的結構、參數(shù)與動態(tài)特性之間關系的數(shù)學表達式。其中，微分方程是基本的數(shù)學模型 ，不論是機械的、液壓的、電氣的或熱力學的系統(tǒng)等都可以

2、用微分方程來描述。微分方程的解就是系統(tǒng)在輸入作用下的輸出響應。所以，建立數(shù)學模型是研究系統(tǒng)、預測其動態(tài)響應的前提 。通常情況下，列寫機械振動系統(tǒng)的微分方程都是應用力學中的牛頓定律、質(zhì)量守恒定律等。彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是最常見的機械振動系統(tǒng)。機械系統(tǒng)如圖2.1所示，圖2.1 彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)簡圖其中，表示小車的質(zhì)量，表示緩沖器的粘滯摩擦系數(shù)，表示彈簧的彈性系數(shù)，（t）表示小車所受的外力，是系統(tǒng)的輸入即（t）=（t）,(t)表示小車的位移，是系統(tǒng)的輸出，即（t）=(t)，i=1,2。設緩沖器的摩擦力與活塞的速度成正比，其中=1kg，=2kg，=100N/cm，=300N/cm，=3Ns/cm，

3、=6Ns/cm。由圖2.1，根據(jù)牛頓第二定律,，建立系統(tǒng)的動力學模型如下：對有： （2-1）對有： （2-2）3 建立狀態(tài)空間表達式令,則原式可化為：化簡得： （2-3） （2-4）整理得： （2-5）代入數(shù)據(jù)得： 則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為4 化為對角標準型當系統(tǒng)矩陣A有n個不相等的特征根時，相應的有n個不相等的特征向量，所以有矩陣A的特征矩陣根據(jù)矩陣論線性變換得： 可以使用matlab進行對角標準型的運算，matlab作為一種數(shù)學運算工具，很大程度的方便了了我們的計算，對于這個彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是一個四階的狀態(tài)空間表達式，所以可以用matlab簡化計算。（1） 求特征值與特征向量A=0 0

4、 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5B=0 0;0 0;1 0;0 0.5C=1 0 0 0;0 1 0 0P,J=eig(A)求得結果：P = 0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i 0.0401 - 0.0698i 0.0401 + 0.0698i -0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i 0.0176 - 0.0792i 0.0176 + 0.0792i 0.8650 0.8650 0.6682 + 0.2084i 0.6682 - 0.2084i -0.3442 - 0.3621i

5、-0.3442 + 0.3621i 0.7050 0.7050 J = 0.3667 +21.5183i 0 0 0 0 0.3667 -21.5183i 0 0 0 0 1.8833 + 8.4864i 0 0 0 0 1.8833 - 8.4864i（2） P矩陣求逆PN=inv(P)求得結果：PN = 3.4167 + 9.7803i -2.1017 - 9.2399i 0.3466 - 0.2323i -0.4703 - 0.1054i 3.4167 - 9.7803i -2.1017 + 9.2399i 0.3466 + 0.2323i -0.4703 + 0.1054i -3.35

6、54 + 3.4224i 3.7199 + 3.2032i 0.2886 - 0.0353i 0.5337 - 0.2409i -3.3554 - 3.4224i 3.7199 - 3.2032i 0.2886 + 0.0353i 0.5337 + 0.2409i（3） 帶入公式 解得對角標準型為：5求狀態(tài)空間表達式的解（1） 求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣其中，T為特征向量狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：5 可控性與可觀性不同于經(jīng)典控制理論，能控性和能觀性，是一個具有實際意義的概念，經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入-輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且穩(wěn)定，輸出量便可以受控，且輸出量總是可以被測量的，因而

7、不需要能控能觀性的提出。但是現(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間表達式描述系統(tǒng)的基礎上的，狀態(tài)方程描述輸入u（t）引起狀態(tài)x（t）的變化過程，輸出方程描述有狀態(tài)變化引起的輸出y（t）的變化。能控能觀便是定性的描述輸入u（t）對狀態(tài)x(t)的控制能力，輸出y（t）對狀態(tài)x（t）的反應能力，他們分別回答了“輸入能否控制狀態(tài)的變化”-可控性“狀態(tài)的變化能否有輸出反映出來”-可觀性另外在工程上常用狀態(tài)變量作為反饋信息，可是狀態(tài)x（t）的值通常是難測的，往往需要從測量到的y（t）中估計出狀態(tài)，如果輸出y（t）不能完全反映出系統(tǒng)的狀態(tài)x（t），那么就無法實現(xiàn)對狀態(tài)的估計。能控性定義：當系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時，給定系

8、統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到允許的輸入量，在有限的時間內(nèi)使系統(tǒng)的所有狀態(tài)達到任一終止狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可控的。有狀態(tài)方程x(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解為：如果有限的時間內(nèi)0 < t < t1內(nèi)通過輸入量u(t)的作用把系統(tǒng)的所有狀態(tài)引向狀態(tài)x(t1)設x(t1)=0 ，則應有：即在給定x(0-)和A、B的條件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。換言之：上述方程有解則系統(tǒng)能控。根據(jù)凱萊哈米爾頓定理， e-At、 eAt可寫成有限級數(shù)：如果方程有解，等式右邊左側矩陣應滿秩=n，此時系統(tǒng)是可控的。求可控性：n=4 滿秩所以系統(tǒng)是可控的可觀性定義：當系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時，給定

9、控制后，如果系統(tǒng)的每一個初始狀態(tài)x(0-)都可以在有限的時間內(nèi)通過系統(tǒng)的輸出y(t)唯一確定，則稱系統(tǒng)完全可觀。若只能確定部分初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)部分可觀。有狀態(tài)方程x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t) 其解為由于在討論能觀性問題時，輸入是給定的，上式右側第二項是確知的，設u(t)=0。y(t)=CeAtx(0-)。根據(jù)凱萊哈米爾頓定理， e-At 、eAt可寫成有限級數(shù)：如果方程有解，等式右側中間側矩陣應滿秩。其中，秩=n(系統(tǒng)的階數(shù))求可觀性：n=4滿秩所以系統(tǒng)是可觀的6 求系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)對于兩輸入兩輸出的系統(tǒng)求得的傳遞函數(shù)是一個二階的傳遞函數(shù)陣,其中包含四個傳遞函

10、數(shù)Transfer function from input 1 to output. s2 + 4.5 s + 200 #1: - s4 - 4.5 s3 + 541.5 s2 - 1800 s + 3.5e004 3 s + 150 #2: - s4 - 4.5 s3 + 541.5 s2 - 1800 s + 3.5e004 Transfer function from input 2 to output. 3 s + 150 #1: - s4 - 4.5 s3 + 541.5 s2 - 1800 s + 3.5e004 0.5 s2 - 4.5 s + 200 #2: - s4 - 4.

11、5 s3 + 541.5 s2 - 1800 s + 3.5e004矩陣函數(shù)陣：7 分析開環(huán)穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義是系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性。系統(tǒng)正常工作要求是系統(tǒng)在受到外界擾動后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動消失后，仍然能恢復到原來的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作，且線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與輸入作用無關。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性對于研究系統(tǒng)能否正常工作具有很重要的意義，穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是系統(tǒng)的重要特征。我們不僅要分析一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定 還要解決的問題便是怎樣使一個系統(tǒng)穩(wěn)定。經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法有很多，例如代數(shù)判據(jù)，niquist判據(jù)，根軌跡判據(jù)等。而

12、現(xiàn)代控制理論經(jīng)常用李雅普諾夫第二法求穩(wěn)定性。（1）利用特征根的方法根據(jù)上述結果求得的特征根為 0.3667 +21.5183i 0.3667 +21.5183i 1.8833 + 8.4864i 1.8833 - 8.4864i ，四個特征值全部都在坐標軸的右半平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（2）利用利亞普諾夫第二法求解其中：將其換成矩陣形式可以看出A不是正定的，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。8 利用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置到合適的值狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸入相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。原受控對象為經(jīng)過狀態(tài)反饋后得到的閉環(huán)系統(tǒng)為閉環(huán)系統(tǒng)期望極點選取原則為以下

13、幾點：1）n維控制系統(tǒng)有n個期望極點；2）期望極點是物理上可實現(xiàn)的，為實數(shù)或共軛復數(shù)對；3）期望極點的位置的選取，需考慮它們對系統(tǒng)品質(zhì)的影響（離虛軸的位置），及與零點分布狀況的關系。4）離虛軸距離較近的主導極點收斂慢，對系統(tǒng)性能影響最大，遠極點收斂快，對系統(tǒng)只有極小的影響。閉環(huán)極點 0.3667 +21.5183i 0.3667 -21.5183i 1.8833 + 8.4864i 1.8833 - 8.4864i得到極點配置矩陣K = 1.0e+003 * 1.2556 -0.0375 0.0157 -0.0332 0.9718 2.8969 0.0839 0.004驗證極點配置結果是正確的

14、：ans = -1.1001 -64.5549i -1.1001 +64.5549i -5.6499 -25.4952i -5.6499 +25.4952i求得開環(huán)傳遞函數(shù)階躍響應曲線（沒有經(jīng)過狀態(tài)反饋的）：沒有上升時間經(jīng)過狀態(tài)反饋的傳遞函數(shù)：狀態(tài)空間表達式為Matlab解得閉環(huán)傳遞函數(shù)： s2 + 6.758 s + 1648 #1: - s4 + 13.5 s3 + 4875 s2 + 4.86e004 s + 2.843e006 -38.95 s - 335.9 #2: - s4 + 13.5 s3 + 4875 s2 + 4.86e004 s + 2.843e006 Transfer

15、function from input 2 to output. 19.59 s + 168.7 #1: - s4 + 13.5 s3 + 4875 s2 + 4.86e004 s + 2.843e006 0.5 s2 + 3.371 s + 827.8 #2: - s4 + 13.5 s3 + 4875 s2 + 4.86e004 s + 2.843e006反饋后的階躍響應：階躍響應上升時間是0.034s，配置后系統(tǒng)最終穩(wěn)定。9 設計全維狀態(tài)觀測器不是所有的系統(tǒng)狀態(tài)物理上都能夠直接測量得到。需要從系統(tǒng)的可量測參量，如輸入u和輸出y來估計系統(tǒng)狀態(tài) 。狀態(tài)觀測器基于可直接量測的輸出變量y和控制變

16、量u來估計狀態(tài)變量，是一個物理可實現(xiàn)的模擬動力學系統(tǒng)。如果系統(tǒng)狀態(tài)是完全能觀測的，那么根據(jù)輸出y的測量，可以唯一的確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，所以只要滿足一定的條件，便可以從可測量y和u中把x間接重構出來。全維漸進狀態(tài)結構圖：系統(tǒng)的原極點為0.3667 +21.5183i 0.3667 +21.5183i 1.8833 + 8.4864i 1.8833 - 8.4864i 期望極點應是原極點的2-5倍，并不是越快越好。期望極點為 -1.4668 +86.0732i -1.4668 -86.0732i -7.5332 +33.9456i -7.5332 -33.9456i相應的全維觀測器是： 10 帶觀

17、測器的輸出狀態(tài)空間表達式： D=0 分別得到輸出和觀測狀態(tài)的傳遞函數(shù)：Transfer function from input "y1" to output. 17.51 s3 + 5899 s2 + 1.23e005 s + 7.911e006 y1_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 -52.62 s3 + 359.1 s2 - 6844 s + 4.369e005 y2_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 17.51 s3 + 5899

18、s2 + 1.23e005 s + 7.911e006 x1_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 -52.62 s3 + 359.1 s2 - 6844 s + 4.369e005 x2_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 3200 s3 + 9.295e004 s2 + 7.698e006 s + 3.967e006 x3_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 122.3 s3 + 1.405e00

19、5 s2 - 8571 s + 5.737e007 x4_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 Transfer function from input "y2" to output. 51.13 s3 + 1379 s2 + 2.945e004 s + 8.583e005 y1_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 4.985 s3 + 5001 s2 + 1.152e005 s + 8.303e006 y2_e: - s4 + 18 s3 +

20、8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 51.13 s3 + 1379 s2 + 2.945e004 s + 8.583e005 x1_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 4.985 s3 + 5001 s2 + 1.152e005 s + 8.303e006 x2_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 1609 s3 - 1.337e005 s2 + 1.373e006 s - 1.853e007 x3_e: - s4 + 18 s3 +

21、 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 2246 s3 + 2.437e004 s2 + 6.754e006 s - 4.844e007 x4_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 Input groups: Name Channels Measurement 1,2 Output groups: Name Channels OutputEstimate 1,2 StateEstimate 3,4,5,6 分析其穩(wěn)定性根據(jù)階躍響應圖來看系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且上升時間為0.0015s附錄：A=0 0 1 0;0 0 0 1;-400