泛函分析基礎(chǔ) 劉培德 科學(xué)出社

1、課后習(xí)題1解答：當(dāng)時(shí)，不滿足正定性，在下不是度量空間， 當(dāng)時(shí)，滿足正定性，對(duì)稱性，不滿足三角不等式，故在下不是度量空間， 當(dāng)時(shí)，滿足正定性，對(duì)稱性和三角不等式，故在下是度量空間， 若令，僅當(dāng)時(shí)，滿足范數(shù)的正定性，正齊次性和三角不等式，故此時(shí)在下是賦范空間。2證明：Part 1：是度量空間，且當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)，滿足正定性；，滿足對(duì)稱性；滿足三角不等式，綜上是度量空間。Part2：由是度量空間，且當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)，滿足正定性；，滿足對(duì)稱性；滿足三角不等式，綜上是度量空間。4證明：設(shè)，先證必要性，即當(dāng)收斂于時(shí)，依坐標(biāo)收斂于。設(shè)在中收斂于，即由，故對(duì)，即依坐標(biāo)收斂于；充分性，設(shè)依坐標(biāo)收斂于，即任意

2、， 收斂于綜上所述，在中收斂于等價(jià)于依坐標(biāo)收斂于。5(1)證明：設(shè)是線性空間中任意的凸集族，則任取，及，則由是凸集，是凸集，即任意多個(gè)凸集之交是凸集。(2)證明：任取，及，則，由于是凸集，故也是凸集。(3)設(shè)是凸集，任取及，由于，是凸集，即，故凸集經(jīng)平移后得到的集合也是凸集。(4)僅證，暫不證明。任取，及，若，由是凸集，若，則存在，由是凸集，由若,則存在，由是凸集，由綜上當(dāng)是凸集時(shí)，也是凸集。(5) 在一般度量下，兩凸子集和的并集不是的凸集。6 (1) 證明：任取則存在由是線性映射，對(duì)任意，由是凸集，是凸集。(2) 證明：任取則存在由是線性映射，對(duì)任意，由是凸集，是凸集。(3)由P29線性算子

3、是一一的當(dāng)且僅當(dāng)，故只需證當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)中每個(gè)線性無關(guān)集，是中的線性無關(guān)集。必要性：由，及的某個(gè)線性無關(guān)集，假如不是中的線性無關(guān)集，則存在中的線性無關(guān)序列， 線性相關(guān)，即存在不全為零的，由是線性算子，因，這與是線性無關(guān)序列矛盾，故假設(shè)不成立；充分性，假若，則存在，此時(shí)是中線性無關(guān)集，是中線性相關(guān)集，這與中每個(gè)線性無關(guān)集的像是中線性無關(guān)集矛盾，故假設(shè)不成立，得證。7(1)證明：左，右任取左，則有以下幾種情況若，則右；若，則中存在收斂于，中存在收斂于，故，且收斂于，故右；若，則中存在收斂于，故，且收斂于，故右；若，證法同上，易得右綜上，左右得證。(2) 是開集是開集證明：任取，則，由于是開集，故存在，

4、故，即也是開集任取，則，由于是開集，故存在，故，即是開集，得證。或證： 是開集任取，存在 任取，存在是開集是閉集是閉集證明：是閉集任取點(diǎn)列，且，則 任取點(diǎn)列，且，則是閉集(3)證明：不妨設(shè)是開集，由(2)知也是開集，由于任意開集的并集仍然是開集，故是開集。(4)證明：由由，得證。8(1)證明：任一集合，若，由空集既開且閉，故是開集若，則有，是開集由上知任一集合是開集，故的補(bǔ)集是開集，由的補(bǔ)集是開集知是閉集綜上，任一集合既是開集也是閉集。(2) 若，則當(dāng)時(shí)，故對(duì)當(dāng)時(shí)，由，故13證明：由內(nèi)積空間中具有平行四邊形公式故再由，故18 完備度量空間的每個(gè)閉子空間是完備子空間。證明：設(shè)是一個(gè)完備度量空間，

5、是它的任一閉子空間。任取的一個(gè)Cauchy列，由，也是的Cauchy列，由完備，故由是閉集，故，完備。度量空間的每個(gè)完備子空間是閉子空間。證明：設(shè)是一個(gè)度量空間，是它的任一完備子空間，往證是閉集。任取的一個(gè)點(diǎn)列，且由于完備，故，是閉集。19證明：不妨設(shè)是的可數(shù)無窮Hamel基，令，則是的單位可數(shù)無窮Hamel基，令，則是的Cauchy列(顯然易證)，(由Hamel基的定義)，故不完備。20證明：是有界集，是收斂級(jí)數(shù)。21(1)X具有Baire性質(zhì)(2)X中可數(shù)多個(gè)無處稠密閉集之并其內(nèi)點(diǎn)是空集(3)X中每個(gè)非空開集是第二綱的(4)X中每個(gè)第一綱集合的余集在X中稠密注： E在X中稠密若 E在X中無

6、處稠密指若E是第一綱集指E可以寫成至多可數(shù)多個(gè)無處稠密集的并。X具有Baire性質(zhì)指若X中可數(shù)多個(gè)稠密開集之交仍在X中稠密。命題：無處稠密閉集的補(bǔ)集是稠密開集。稠密開集的補(bǔ)集是無處稠密閉集。證明：開集和閉集互為補(bǔ)集是顯然的。是X中的無處稠密閉集是X中的稠密開集證明：設(shè)是X中可數(shù)個(gè)無處稠密閉集族，則是X中可數(shù)個(gè)稠密開集族，由(1)知它是可數(shù)個(gè)稠密開集之交，由Baire性質(zhì)它在X中稠密，即。反證法，假設(shè)X中存在一個(gè)非空開集A不是第二綱集，是第一綱集，則存在X中至多可數(shù)稠密集，無處稠密即，顯然是X的無處稠密閉集，由(2)知， 而由A是非空開集知，這與前面的結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立。設(shè)A是X的任一第一綱集，則由(3)即A的補(bǔ)集在X中稠密。設(shè)是X的可數(shù)個(gè)稠密開集，則是開集，它的補(bǔ)集是閉集，即是X的無處稠密集，是X的第一綱集，由(4)知它的余集在X中稠密，即在X中稠密。證畢。24證明：已知連續(xù)Y中任一閉(開)集的原像是X中的閉(開)集。 故只需證Y中任一閉集的原像是X中的閉集每個(gè)必要性：是Y中的閉