正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別方法

1、數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系綜合課程設(shè)計(jì)成績(jī)?cè)u(píng)定書設(shè)計(jì)題目： 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別方法 指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ) 成 績(jī)： 指導(dǎo)教師： 時(shí) 間： 答辯小組意見設(shè)計(jì)成績(jī)： 答辯組長(zhǎng)： 審定 系 主 任： 摘要：各項(xiàng)都由正數(shù)組成的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，它是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特例。本文主要考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題，通過介紹比較原則、比式判別法、根式判別法以及積分判別法等常用的判別方法，并結(jié)合相關(guān)實(shí)例，判斷所給級(jí)數(shù)的斂散性。關(guān)鍵字：正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂 比較原則 比式判別法 根式判別法 積分判別法1基本概念1.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性在介紹正項(xiàng)級(jí)數(shù)之前先引入數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)概念及收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，下面介紹數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)以及級(jí)數(shù)斂散的定義。定義1：

2、給定一個(gè)數(shù)列，對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式 （1）稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無(wú)窮級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)），其中稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的前項(xiàng)之和，記為，稱為（1）的前項(xiàng)部分和。定義2：若（1）的部分和數(shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）收斂，并稱為（1）的和，記為，若為發(fā)散數(shù)列，則稱數(shù)列（1）發(fā)散。根據(jù)級(jí)數(shù)（1）的收斂性，可以得到收斂級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)：(i) 收斂級(jí)數(shù)的柯西收斂準(zhǔn)則級(jí)數(shù)（1）收斂的充要條件是：，有(ii) 級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則.(iii)去掉、改變或增加級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)并不改變級(jí)數(shù)的斂散性。(iv) 在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào)，既不改變級(jí)數(shù)的收斂性，也不改變它的和（正

3、項(xiàng)級(jí)數(shù)也滿足）。(v) 運(yùn)算性質(zhì)：若級(jí)數(shù)與都收斂，是常數(shù)，則收斂，且滿足= 1.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂的判別方法設(shè)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)（）, 則稱級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).顯然，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增加的，即由數(shù)列極限存在準(zhǔn)則知：如果這個(gè)數(shù)列有上界，則它收斂；否則它發(fā)散.根據(jù)這一基本事實(shí)，可以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理。定理1(基本定理) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有界，即存在某正數(shù)，對(duì)一切正整數(shù)，有.證:由于，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，而單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是該數(shù)列有界（單調(diào)有界定理）.即上述定理得證。定理2(比較原則) 設(shè)與均為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 若存在常數(shù)，或者對(duì)于都有, (,)則 (1) 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，

4、級(jí)數(shù)也收斂; (2)當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.證:設(shè)和的部分和分別為和，于是有：，當(dāng)收斂時(shí)，有界，故亦必有界，得知收斂.當(dāng)發(fā)散時(shí)，無(wú)上界，于是無(wú)上界，故發(fā)散.下面給出比較判別法的極限形式，它在應(yīng)用中較為方便。比較判別法的極限形式：給定正項(xiàng)級(jí)數(shù)與，若有 ， （2）（i） 當(dāng)時(shí)，和具有相同的斂散性；（ii） 當(dāng)時(shí)，若收斂，則收斂.（iii） 當(dāng)時(shí)，若發(fā)散，則發(fā)散.證:設(shè)由（2）式，對(duì)，當(dāng)時(shí)，恒有或 . （3）由定理2以及（3）式可得：當(dāng)（這里設(shè)）時(shí)，和具有相同的斂散性。對(duì)于（ii）, 當(dāng)時(shí)，由（3）式右半部分以及比較原則：若收斂，則收斂.對(duì)于（iii）,當(dāng)，對(duì),存在相應(yīng)的正數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有由比較原則可

5、得，若發(fā)散，則發(fā)散.定理3(達(dá)朗貝爾判別法，或稱比式判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且存在某正整數(shù)，以及常數(shù)（i） 若對(duì)于都有不等式， （4）則級(jí)數(shù)收斂。（ii） 若對(duì)于都有不等式， （5）則級(jí)數(shù)發(fā)散。證:（i）不妨設(shè)（4）對(duì)一切都成立，于是有把前個(gè)不等式按項(xiàng)相乘后得到即，由于當(dāng)時(shí)，等比級(jí)數(shù)收斂，由比較原則及上述不等式可證。（ii）由于時(shí)不等式（5）恒成立，既有.當(dāng)時(shí)，極限不可能為零.由收斂必要條件可知級(jí)數(shù)發(fā)散。下面給出比式判別法的極限形式若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且， （6）（i）當(dāng)時(shí)，收斂；（ii）當(dāng)或時(shí)，則發(fā)散.證:由（6）式，對(duì)任意取定的正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有.當(dāng)，這里取使，由上述不等式的右半部分及定理3可得收

6、斂。若，則取使，由上述不等式的左半部分及定理3可得發(fā)散。若，存在，當(dāng)時(shí)，此時(shí)發(fā)散。定理4(柯西判別法，或稱根式判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且存在某正整數(shù)，以及常數(shù)（i） 若對(duì)于都有不等式， （7）則級(jí)數(shù)收斂。（ii） 若對(duì)于都有不等式， （8）則級(jí)數(shù)發(fā)散。證:（i）由（7）式有，由于等比級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，由比較原則，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂.對(duì)于（ii）由（8）式,當(dāng)時(shí)，極限不可能為零.由收斂必要條件可知級(jí)數(shù)發(fā)散。下面給出根式判別法的極限形式若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且， （9）(i) 時(shí), 級(jí)數(shù)收斂；(ii) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(iii) 時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證:由（9）式，對(duì)任意取定的正數(shù)，對(duì)一切時(shí)，恒有.由定理4

7、即可得證。定理5(積分判別法)設(shè)為上非負(fù)遞減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同斂態(tài).證:由假設(shè)為上非負(fù)遞減函數(shù)，對(duì)任何正數(shù)，在上可積，從而有，依次累加可得 （10）若反常積分收斂，由（10）式左邊，對(duì)任何正整數(shù)，有 .由定理1，級(jí)數(shù)收斂。反之，若級(jí)數(shù)收斂，由（10）式右邊，對(duì)一切正整數(shù)，有 （11）由于為上非負(fù)遞減函數(shù)，對(duì)任何正數(shù)，都有 聯(lián)系（11）以及反常積分收斂的定理得到：收斂。同理可證與反常積分同時(shí)發(fā)散。2例題解析2.1 利用基本定理判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性例1.判斷解 由于 故得：. 因而原級(jí)數(shù)收斂例2. 解 由于從而有 并且 故得：.例3. 設(shè)收斂，.證明證 記級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和為，則而，所以

8、2.2 比較判別法的應(yīng)用例4. 解 由于，由不等式，（）從而有正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法可知收斂例5. 解 由于，且級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)也發(fā)散。例6. 解 考慮到運(yùn)用級(jí)數(shù). 由于，并且，則有：.又當(dāng)時(shí)，故.由于級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散， 從而發(fā)散。例7. 已知收斂，判定的斂散性;證 由題意 ，而 與均收斂，從而收斂（絕對(duì)收斂）例8.討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.解 （1）當(dāng)時(shí)，發(fā)散.（2）當(dāng)時(shí)，令，收斂（），所以原級(jí)數(shù)收斂.令 ,則收斂（），所以原級(jí)數(shù) 收斂.（3）當(dāng)時(shí)，令，收斂（），所以原級(jí)數(shù)收斂.令 ,收斂（），所以原級(jí) 收斂.綜上所述時(shí)發(fā)散，時(shí)收斂.2.3 比式判別法（達(dá)朗貝爾判別法）的應(yīng)用例9. （1

9、）討論級(jí)數(shù)的斂散性。 （2）判斷級(jí)數(shù)斂散性。解 （1） 令，由于，發(fā)散. （2） 令，由于, 級(jí)數(shù)收斂例10. 判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性 （1） （2）解 （1）由于，故原級(jí)數(shù)收斂 （2）由于， 級(jí)數(shù)收斂例11. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，證明下列等式（1） （2） 證 （1）設(shè)，由于則級(jí)數(shù)收斂，由柯西收斂性的推論可知（2）設(shè)，由于則級(jí)數(shù)收斂，由柯西收斂性的推論可知2.4 利用柯西判別法（根式判別法）判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)例12. 判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性（1） （2） （3）解 （1）令，因?yàn)?，所?級(jí)數(shù) 收斂. （2）由于，對(duì)于級(jí)數(shù)，利用根式判別法： ，級(jí)數(shù)收斂的，從而級(jí)數(shù)收斂 （3）令，因?yàn)?/p>

10、，所以 級(jí)數(shù) 收斂.例13. 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.解: ，由根式判別法知當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上可得：時(shí)原級(jí)數(shù)收斂；時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散.例14考察級(jí)數(shù) 的斂散性，其中解：由于，根據(jù)柯西根式判別法：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為：， 顯然級(jí)數(shù)發(fā)散。2.5 積分判別法例15討論p級(jí)數(shù)的斂散性解：函數(shù)，當(dāng)時(shí)在上是非負(fù)減函數(shù)。由與反常積分在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。根據(jù)積分判別法：在時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。當(dāng)，由于，故發(fā)散。例16利用積分判別法判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性（1） （2） 解：（1）函數(shù)，在上是非負(fù)減函數(shù)。而根據(jù)積分判別法：收斂。（2）函數(shù)，在上是非負(fù)減函數(shù)。積分根據(jù)積分判別

11、法：發(fā)散。例17利用積分判別法判斷級(jí)數(shù)斂散性解：函數(shù)，不論為何數(shù)，當(dāng)充分大時(shí)，都是非負(fù)減函數(shù)。并且僅在收斂，根據(jù)積分判別法：當(dāng)收斂。例18利用積分判別法判斷下列級(jí)數(shù)斂散性（1）；（2）；解：（1）函數(shù)，在上是非負(fù)減函數(shù)。并且根據(jù)積分判別法：發(fā)散。（2）設(shè)，不論，為何數(shù)，當(dāng)充分大時(shí)，為負(fù)，則非負(fù)減函數(shù)。i）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散.由積分判別法，則級(jí)數(shù)在，時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。ii）當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，取有此時(shí)積分收斂。當(dāng)時(shí)，有此時(shí)積分發(fā)散。綜上可得：當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，時(shí)級(jí)數(shù)收斂， 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。 3幾種判別法的總結(jié)本文主要通過幾種常見的正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法對(duì)具體問題進(jìn)行分析，下面對(duì)上述判

12、別方法進(jìn)行如下總結(jié)。1. 當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和可以通過裂項(xiàng)求和，或者通項(xiàng)為等差、等比數(shù)列的級(jí)數(shù)可以直接判斷極限是否存在來(lái)判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性2. 當(dāng)通項(xiàng)較容易通過不等式的放縮，或者等價(jià)無(wú)窮小而找到已知斂散性質(zhì)的級(jí)數(shù)，可以使用比較判別法.比較判別法需要熟悉調(diào)和級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、p級(jí)數(shù)（例15）的斂散性。3. 通過數(shù)列極限的結(jié)論：若，當(dāng)時(shí)，必有。由于為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可以得到凡是比式判別法可以鑒別收斂的級(jí)數(shù)，也可用根式判別法判斷，并且根式判別法較之更有效。如例14中的級(jí)數(shù)其中若用比式判別法。由于所以，根據(jù)比式判別法：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，其他情況則無(wú)法判斷。但利用根式判別法（見例14）可以得到完整的結(jié)論。4. 當(dāng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)中含有n相關(guān)次冪的級(jí)數(shù)，型如或的級(jí)數(shù)考慮用根式判別法. 5. 積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對(duì)象判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，通常級(jí)數(shù)的原函數(shù)容易找到，滿足在區(qū)間上（為常數(shù)）非負(fù)遞減，可以選用積分判別法。4 參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)下冊(cè).北京:高等教育出版社,20012 曾捷