極坐標(biāo)與參數(shù)方程數(shù)學(xué)講義

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、考綱要求1.理解參數(shù)方程的概念，了解某些常用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或物理意義，掌握參數(shù)方 程與普通方程的互化方法.會(huì)根據(jù)所給出的參數(shù)，依據(jù)條件建立參數(shù)方程.2.理解極坐標(biāo)的概念.會(huì)正確進(jìn)行點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.會(huì)正確將極坐標(biāo)方程化為 直角坐標(biāo)方程，會(huì)根據(jù)所給條件建立直線、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程.二、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.參數(shù)方程的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù) 并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫

2、做普通方程。 常見(jiàn)的曲線的參數(shù)方程2.直線的參數(shù)方程(1)標(biāo)準(zhǔn)式 過(guò)點(diǎn)Po(x0,y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)，其幾何意義是PM的數(shù)量)(2)一般式 過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)斜率k=tg=的直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，) 3.圓錐曲線的參數(shù)方程(1)圓 圓心在(a,b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程是(是參數(shù)) (2)橢圓 橢圓(ab0)的參數(shù)方程是 (為參數(shù))橢圓(ab0)的參數(shù)方程是(為參數(shù))(3)拋物線 拋物線的參數(shù)方程為4.極坐標(biāo)極坐標(biāo)系 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，從O引一條射線Ox，選定一個(gè)單位長(zhǎng)度以及計(jì)算角度的正 方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系，

3、O點(diǎn)叫做極點(diǎn)，射線Ox叫 做極軸.極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位和它的正方向，構(gòu)成了極坐標(biāo)系的四要素，缺一不可.點(diǎn)的極坐標(biāo) 設(shè)M點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，用表示線段OM的長(zhǎng)度，表示射線Ox到OM的角度 ，那么叫做M點(diǎn)的極徑，叫做M點(diǎn)的極角，有序數(shù)對(duì)(,)叫做M點(diǎn)的極坐標(biāo).注意：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)中心對(duì)稱；點(diǎn)與點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)；如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示（即一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系）；同時(shí)，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對(duì)應(yīng)的即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的 P(，)（極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為(,)或（，），(

4、Z)極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意取圓的極坐標(biāo)方程以極點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是 ；以為圓心， 為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是 ；以為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；直線的極坐標(biāo)方程過(guò)極點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程是和. 過(guò)點(diǎn)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是. 化為直角坐標(biāo)方程為.過(guò)點(diǎn)且平行于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是. 化為直角坐標(biāo)方程為.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化的前提條件極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合；極軸與x軸的正半軸重合兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.(2)互化公式 的象限由點(diǎn)(x,y)所在的象限確定三、課前預(yù)習(xí)1直線的參數(shù)方程是（ ）A、（t為參數(shù)） B、（t為參數(shù)） C、

5、 （t為參數(shù)） D、（t為參數(shù)）答案：C2已知，下列所給出的不能表示點(diǎn)的坐標(biāo)的是( )A、 B、 C、 D、答案：A3在極坐標(biāo)系中，圓=-2sin的圓心的極坐標(biāo)系是（ ）A、 B、 C、 (1,0) D、(1，)解：將極坐標(biāo)方程化為普通方程得：，圓心的坐標(biāo)為，其極坐標(biāo)為，選B4點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是( )A、 B、 C、 D、答案：C5直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A,B分別在曲線 （為參數(shù)）和曲線上，則的最小值為( )A、1 B、2 C、3 D、4答案：A6參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A、一條直線 B、兩條直線 C、一條射線 D、兩條射線答案：D7（ ）A、

6、-6 B、 C、6 D、答案：A8極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是( ) A、 B、 C、 D、答案：A9曲線與曲線的位置關(guān)系是（ ）A、 相交過(guò)圓心 B、相交 C、相切 D、相離答案：D 10曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是（ ）A、線段 B、雙曲線的一支 C、圓 D、射線答案：D11在極坐標(biāo)系中，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是 .答案：12圓C：(為參數(shù))的圓心到直線：(t為參數(shù))的距離為 。答案：13已知兩曲線參數(shù)方程分別為和 ，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)答案：14以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，已知曲線、的極坐標(biāo)方程分別為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），則曲線、所圍成的封閉圖形

7、的面積是 .答案：四、典例分析考向一 極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，長(zhǎng)度單位相同.互化公式： 或 【例1 】（1）點(diǎn)M的極坐標(biāo)分別是，換算成直角坐標(biāo)依次是 ， ， ， （2）點(diǎn)M的直角坐標(biāo)分別是，如果換算成極坐標(biāo)依次是 ， ， ， 【例2】在極坐標(biāo)系中，過(guò)圓的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為 分析：由得所以，圓心坐標(biāo)過(guò)圓心的直線的直角坐標(biāo)方程為直線的極坐標(biāo)方程為?！咀兪?】在極坐標(biāo)系中，圓心在且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為（ B ）A、 B、 C、 D、分析：圓心在即指的是直角坐標(biāo)系中的圓的直角坐標(biāo)方程：。圓的極坐標(biāo)方程為【變式

8、2】已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為（），則曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi) _.解:曲線的直角坐標(biāo)方程分別為,且，兩曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（3，）. 所以，交點(diǎn)的極坐標(biāo)為【變式3】在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)（1，）和,則、兩點(diǎn)間的距離是 解:如圖所示,在OAB中， 評(píng)述:本題考查極坐標(biāo)及三角形面積公式，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵?？枷蚨?曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化【例3】（1）曲線C:(為參數(shù))的普通方程為 ( C )A、 B、 C、 D、 （2）參數(shù)方程表示的曲線是（ ）A、橢圓      B、雙曲線 C、拋物線    

9、  D、圓答案：B【變式1】已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與圓相切，則=_。答案：解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以直線的方程是，圓心到直線的距離為【變式2】若直線與圓（為參數(shù)）沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【變式3】直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）A、 B、 C、 D、分析:， 得圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)=【例4】已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。解：設(shè)圓的參數(shù)方程為，小結(jié)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)方程形式；將含參數(shù)的坐標(biāo)代人所求代數(shù)式或距離公式；利用三角性質(zhì)及變換公式求解最值.【變式5】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值解

10、：因橢圓的參數(shù)方程為，故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中. 因此。所以,當(dāng)是，取最大值2。【題后反思】1.化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，并且要保證消參的等價(jià)性，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法。2.化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系x=f(t)（或y=j(t)），再代入普通方程F（x，y）0，求得另一關(guān)系y=j(t)（或x=f(t)）。一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）。在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。3.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保

11、持一致。【課后鞏固練習(xí)】1橢圓 （ ）A、(-3，5)，(-3，-3) B、(3，3)，(3，-5)C、(1，1)，(-7，1) D、(7，-1)，(-1，-1)解：化為普通方程得，a2=25,b2=9,得c2,c=4.F(x-3,y+1)=F(0,±4)，在xOy坐標(biāo)系中，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3，3)和(3，-5).應(yīng)選B.2參數(shù)方程( )A.雙曲線的一支，這支過(guò)點(diǎn)(1，)B.拋物線的一部分，這部分過(guò)(1，)C.雙曲線的一支，這支過(guò)(-1，)D.拋物線的一部分，這部分過(guò)(-1，)解：由參數(shù)式得x2=1+sin=2y(x0).即y=x2(x0).應(yīng)選B.3在方程(為參數(shù))所表示的曲線一個(gè)點(diǎn)

12、的坐標(biāo)是( )A、(2,-7) B、（，）C、(，) D、(1，0)解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2，將x=代入，得y=。應(yīng)選C.4曲線的極坐標(biāo)方程=sin化 成直角坐標(biāo)方程為( )A、x2+(y+2)2=4 B、x2+(y-2)2=4 C(x-2)2+y2=4 D、(x+2)2+y2=4解：將=，sin=代入=4sin，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.應(yīng)選B.5已知圓的極坐標(biāo)方程=2sin(+ )，則圓心的極坐標(biāo)和半徑分別為( )A、(1,),r=2 B、(1,),r=1C、(1, ),r=1 D、(1, -),r=2答案：C6在極坐標(biāo)系中，與圓=4sin相切的一條

13、直線的方程是( )A、sin=2 B、cos=2 C、cos=-2 D、cos=-4 解：點(diǎn)P(,)為l上任意一點(diǎn)，則有cos=，得cos=2，應(yīng)選B.7表示的曲線是( )A、圓 B、橢圓C、雙曲線的一支 D、拋物線解：4sin2=54·把= cos=x，代入上式，得2=2x-5.平方整理得y2=-5x+它表示拋物線.應(yīng)選D.8.極坐標(biāo)方程4sin2=3表示曲線是( )A、兩條射線 B、兩條相交直線C、圓 D、拋物線解：由4sin2=3,得4·3,即y2=3 x2，y=±,它表示兩相交直線.應(yīng)選B.9直線：3x-4y-9=0與圓：的位置關(guān)系是( )A、相切 B、相

14、離 C、直線過(guò)圓心 D、相交但直線不過(guò)圓心答案：D10在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) 到圓 的圓心的距離為（ ）A、2 B、 C、 D、解：分別化為直角坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，化為直角坐標(biāo)是，圓的直角坐標(biāo)方程是，圓心的坐標(biāo)是，故距離為。答案：D11經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，5)且傾斜角為的直線，以定點(diǎn)M到動(dòng)點(diǎn)P的位移t為參數(shù)的參數(shù)方程是( )A、 B、C、 D、 答案：A12若直線( (t為參數(shù))與圓x2+y2-4x+1=0相切，則直線的傾斜角為( )A、 B、 C、或 D、 或答案：C13設(shè)的最小值是（C ）A、 B、 C、3 D、14.若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則過(guò)點(diǎn)(4，-1)且與平行的直線在y軸上的截距為 .答案：-415直線(t為參數(shù))的傾斜角為 ；直線上一點(diǎn)P(x ，y)與點(diǎn)M(-1，2)的距離為 .答案：135°，|3t|16圓的圓心坐標(biāo)為 ，和圓C關(guān)于直線對(duì)稱的圓C的普通方程是 。答案：（3，2）；（x2）2（y3）216 17在極坐標(biāo)系中，圓與直線的位置關(guān)系是 .答案：相切18在極坐標(biāo)系中，直線（）與圓交于、兩點(diǎn)，則答案：819在直角坐標(biāo)系中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為.（I）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；（II）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上