微分中值定理的證明題11_第1頁
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1、微分中值定理的證明題1. 若在上連續(xù),在上可導(dǎo),證明:,使得:。 證:構(gòu)造函數(shù),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾中值定理知:,使即:,而,故。2. 設(shè),證明:,使得。 證:將上等式變形得:作輔助函數(shù),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由拉格朗日定理得: , 即 , 即: 。 3. 設(shè)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),且,有證明:在 內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得:。 證:顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),又,故由羅爾定理知:,使得 又,故,于是在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故存在, 使得:,而,即證4. 設(shè)函數(shù)在0,1上連續(xù),在(0,1)上可導(dǎo),.證明:(1)在(0,1)內(nèi)存在,使得 (2) 在(0,1)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),【分析】 第一部分顯然用閉

2、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理;第二部分為雙介值問題,可考慮用拉格朗日中值定理,但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】 (I) 令,則F(x)在0,1上連續(xù),且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在 使得,即.(II)在和上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理,存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使得,于是,由問題(1)的結(jié)論有 5. 設(shè)在0,2a上連續(xù),證明在0,a上存在使得 .【分析】在0,2a上連續(xù),條件中沒有涉及導(dǎo)數(shù)或微分,用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到【證明】令,在0,a上連續(xù),且當(dāng)時(shí),取,即有;當(dāng)時(shí),由根的存在性定理知存在使得,即6. 若在上可導(dǎo),且當(dāng)

3、時(shí)有,且,證明:在 內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)使得證明:存在性構(gòu)造輔助函數(shù)則在上連續(xù),且有,由零點(diǎn)定理可知:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,即:唯一性:(反證法)假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn),且,使得在上連續(xù)且可導(dǎo),且在上滿足Rolle定理?xiàng)l件 必存在一點(diǎn),使得: 即:,這與已知中矛盾 假設(shè)不成立,即:在內(nèi)僅有一個(gè)根, 綜上所述:在內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn),使得7. 設(shè)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且=0,=1。試證至少存在一個(gè)(0,1),使=1。分析:=1=1=x=0 令 ()= 證明: 令 F()= ()在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),(1)= ()= 由介值定理可知,一個(gè)(,1),使 ()=0 又 (0)=0=0對(duì)()

4、在0,1上用Rolle定理,一個(gè)(0,)(0,1)使 =0 即 =18. 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且試證存在和.滿足,使。證 由拉格朗日中值定理知, 9. 設(shè)在上連續(xù),內(nèi)可導(dǎo)證明: 使得                                  

5、;                (1)  證:  (用乘于(1)式兩端,知)(1)式等價(jià)于                         

6、0;              (2)                             為證此式,只要取取和在上分別應(yīng)用Cauchy中值定理,則知 &#

7、160;             其中.10. 已知函數(shù)在0 ,1上連續(xù),在(0 ,1)內(nèi)可導(dǎo),證明存在,使解:利用柯西中值定理而 則(后面略)11. 設(shè)在時(shí)連續(xù),當(dāng)時(shí),則在內(nèi)有唯一的實(shí)根解:因?yàn)椋瑒t在上單調(diào)增加(中值定理)而故在內(nèi)有唯一的實(shí)根12. 試問如下推論過程是否正確。對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理得: 即: 因,故當(dāng)時(shí),由 得:,即 解:我們已經(jīng)知道,不存在,故以上推理過程錯(cuò)誤。 首先應(yīng)注意:上面應(yīng)用拉格朗日中值的是個(gè)中值點(diǎn),是由和區(qū)間的端點(diǎn)而定的,具體地說,與有關(guān)系,是依賴于的,當(dāng)時(shí),不一定連續(xù)地趨于零,它可以跳躍地取某些值趨于零,從而使成立,而中要求是連續(xù)地趨于零。故由推不出13. 證明:成立。 證明:作輔助函數(shù),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), 由拉格朗日定理知: 即:,因在內(nèi)單調(diào)遞減,故在內(nèi)單調(diào)遞增,故即: 即:。 注:利用拉格朗日中值定理證明不等式,首先由不等式出發(fā),選擇合適的函數(shù)及相應(yīng)的區(qū)間,然后驗(yàn)證條件,利用定理得 ,再根據(jù)在內(nèi)符號(hào)或單調(diào) 證明不等式。14. 證明:當(dāng)時(shí),。 證明:作輔助函數(shù)則 故在上單調(diào)遞減,又因,在上連續(xù), 故 =0,即:,即:。 注:利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之

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