等腰三角形的存在性問題

1、等腰三角形的存在性問題解題策略如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗例題精講1如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點D在坐標為(3，4)，點P是x軸正半軸上的一個動點，如果DOP是等腰三角形，求點P的坐標解析因為D（3，4），所以OD5，如圖1，當PDPO時，作PEOD于E在RtOPE中，所以此時點P的坐標為如圖2，當

2、OPOD5時，點P的坐標為(5，0)如圖3，當DODP時，點D在OP的垂直平分線上，此時點P的坐標為(6，0) 2如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，動點P以2個單位/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1個單位/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，當P、Q兩點中其中一點到達終點時則停止運動在P、Q兩點移動過程中，當PQC為等腰三角形時，求t的值解析在RtABC中，.因此.在PQC中，CQt，CP102t.如圖1，當時，解得(秒). 如圖2，當時，過點Q作QMAC于M，則CM.在RtQMC中，解得(秒).如圖3，當時，過點P作PNBC于N，則CN.在RtPNC中，解得(秒)

3、.綜上所述，當t為時，PQC為等腰三角形. 3如圖，直線y2x2與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P是x軸正半軸上的一個動點，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點Q，如果APQ是等腰三角形，求點P的坐標 解析由y2x2得，A(1，0)，B(0，2)所以OA1，OB2如圖，由AOBQOP得，OPOQOBOA21設點Q的坐標為(0，m)，那么點P的坐標為(2m，0)因此AP2(2m1)2，AQ2m21，PQ2m2(2m)25m2當APAQ時，AP2AQ2，解方程(2m1)2m21，得或所以符合條件的點P不存在當PAPQ時，PA2PQ2，解方程(2m1)25m2，得所以當QAQP時，QA2QP2，解方

4、程m215m2，得所以4如圖，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由 解析（1）如圖，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點B的坐標為（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得 所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設點P的坐標為(2, y)當OPO

5、B4時，OP216所以4+y216解得當P在時，B、O、P三點共線當BPBO4時，BP216所以解得當PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標為5如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點P(0,m)是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D（1）求點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當點P從O向C運動時，點H也隨之運動請直接寫出點H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程） 圖1 圖2解析（1）因為

6、PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點D的坐標為(2，4m)（2）在APD中，當APAD時，解得（如圖1）當PAPD時，解得（如圖2）或（不合題意，舍去）當DADP時，解得（如圖3）或（不合題意，舍去）綜上所述，當APD為等腰三角形時，m的值為，或另解第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單：如圖1，當APAD時，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖2，當PAPD時，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得（3）點H所經(jīng)過的路徑長為思路是這樣的：如圖4，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以OM為直徑的G經(jīng)過點H，也就是說點H在

7、圓弧上運動運動過的圓心角怎么確定呢？如圖5，P與O重合時，是點H運動的起點，COH45°，CGH90°6如圖，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數(shù)），BC8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）連結(jié)DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CE=x，BFy（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？ 解析(1)因為EDC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為(2)如圖1，當m8時，因此當x4

8、時，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況 因為DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖2）； 將xy 6代入，得m2（如圖3） 第6題圖1 第6題圖2 第6題圖37如圖，在ABC中，ABAC10，BC16，DE4動線段DE（端點D從點B開始）沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當端點E到達點C時運動停止過點E作EF/AC交AB于點F（當點E與點C重合時，EF與CA重合），聯(lián)結(jié)DF，設運動的時間為t秒（t0）（1）直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；（2）在這個運動過程中，DEF能否為等腰三角形？

9、若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；（3）設M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積 解析（1）， （2）DEF中，DEFC是確定的如圖1，當DEDF時，即解得如圖2，當EDEF時，解得如圖3，當FDFE時，即解得，即D與B重合第7題圖1 第7題圖2 第7題圖3（3）MN是FDE的中位線，MN/DE，MN2，MN掃過的形狀是平行四邊形如圖4，運動結(jié)束，N在AC的中點，N到BC的距離為3；如圖5，運動開始，D與B重合，M到BC的距離為所以平行四邊形的高為，面積為 第7題圖4 第7題圖58如圖，在平面直角坐標系xoy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB3，BC，直線

10、y經(jīng)過點C，交y軸于點G（1）點C、D的坐標分別是C（ ），D（ ）；（2）求頂點在直線y上且經(jīng)過點C、D的拋物線的解析式；（3）將（2）中的拋物線沿直線y平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為點E（頂點在y軸右側(cè)）平移后是否存在這樣的拋物線，使EFG為等腰三角形？若存在，請求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由 解析（1）， （2）頂點E在AB的垂直平分線上，橫坐標為，代入直線y，得設拋物線的解析式為，代入點，可得所以物線的解析式為 （3）由頂點E在直線y上， 可知點G的坐標為，直線與y軸正半軸的夾角為30°， 即EGF30°設點E的坐標為，那么EG2m，平移后的

11、拋物線為所以點F的坐標為如圖1，當GEGF時，yFyGGE2m，所以解得m0或m0時頂點E在y軸上，不符合題意此時拋物線的解析式為如圖2，當EFEG時，F(xiàn)G，所以解得m0或此時拋物線的解析式為當頂點E在y軸右側(cè)時，F(xiàn)EG為鈍角，因此不存在FEFG的情況第8題圖1 第8題圖29如圖，已知ABC中，ABAC6，BC8，點D是BC邊上的一個動點，點E在AC邊上，ADEB設BD的長為x，CE的長為y（1）當D為BC的中點時，求CE的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）如果ADE為等腰三角形，求x的值 備用圖 備用圖解析（1）當D為BC的中點時，ADBC，DEAC，CE （2）如圖1，由于A