高中數(shù)學(xué)選修系列2選修22微積分基本定理與定積分計(jì)算2

1、§3 微積分基本定理與定積分計(jì)算一、目標(biāo)預(yù)覽1.理解并能熟練運(yùn)用微積分基本定理.2.掌握定積分的常用計(jì)算方法.3.了解定積分與不等式的常用證明方法.4.了解定積分相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用.二、概念入門設(shè)，稱函數(shù)為函數(shù)在上的變上限定積分；類似地可定義變下限定積分：.注（i）由積分的性質(zhì)，的定義有意義.（ii）由積分的性質(zhì)易證.三、主要事實(shí)1.微積分基本定理若，則，即，.注（i）證明由導(dǎo)數(shù)的定義及第一積分中值定理即得.（ii）通過微分中值定理（推論），可獲得微積分基本定理如下的等價(jià)表述：若，而且，則.(iii)微積分基本定理及其等價(jià)表述溝通了不定積分與定積分、微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系.（iv）利用

2、微積分基本定理及復(fù)合函數(shù)微分法可得下述的變限積分求導(dǎo)公式：若，、在上可微而且、，則2.第二積分中值定理（1）（旁內(nèi)（Bonnet，1819-1892法）型第二積分中值定理）若，而且是上非負(fù)遞減（相應(yīng)地遞增）函數(shù)，則存在使得（相應(yīng)地）（2）（Werierstrass型第二積分中值定理）若，是上的單調(diào)函數(shù)，則存在使得.證（1）令，利用的可積性得再由 及的單調(diào)減小性，可得再由連續(xù)函數(shù)的介值性即得.（2）當(dāng)為單調(diào)遞減（增）時(shí)，對(duì)應(yīng)用（1）即得.3.定積分的計(jì)算（1）（牛頓萊布尼茲公式）若，而且除有限個(gè)點(diǎn)外有，那么有.注（i）牛頓萊布屁茲公式簡(jiǎn)稱公式，它是微積分的核心定理，最初分別由牛頓與萊布尼茲在17

3、世紀(jì)下半葉獨(dú)立得到，柯西在19世紀(jì)初給出精確敘述與證明，黎曼在19世紀(jì)中葉給予完善，達(dá)布在1875年給出現(xiàn)在這種形式.（ii）證明可由積分的定義（分點(diǎn)包括例外點(diǎn)）及微分中值定理（作用在上）可推得.（2）（定積分換元積分法）如果在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么有注（i）定積分換元積分公式由復(fù)合函數(shù)微分法及公式可得，而且可減弱為.進(jìn)一步，定積分換元積分公式中的可減弱為，但的條件稍許加強(qiáng)（證明較為復(fù)雜），即有以下的命題成立：若，是一一映射而且還滿足，那么有.（ii）定積分換元積分法實(shí)際上是不定積分第二換元積分法的直接應(yīng)用.但使用時(shí)有較大差別，在這里換元之后變量不需回代，但積分限要跟著更換（在去掉根號(hào)的情形下須注

4、意函數(shù)的符號(hào)）.（iii）對(duì)應(yīng)于不定積分中的第一換元法（即湊微分法），在這里可以不加變動(dòng)地直接應(yīng)用，而且積分限也不須作更改（即仍然采用原來的積分變量）.（3）（分部積分法）如果、具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，那么有.注（i）分部積分可由乘積微分法則及公式直接證之.（ii）分部積分公式可連續(xù)使用次，即利用數(shù)學(xué)歸納法及分部積分公式可得下面的命題：若、具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么有 .4.定積分計(jì)算中常用的幾個(gè)公式（1）若，則.（2）若，則（3）若是以為周期的周期函數(shù)，則有（4）若，則.（5）若，則.證（1）令可得.（2）令得.（3）令得，于是有，再令得.（4）令可得.（5）令可得及 .5.帶積分余項(xiàng)的泰勒公式若在上具有

5、階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么有，即，稱此為泰勒公式的積分余項(xiàng).注（i）令（常數(shù)變易法），對(duì)分別應(yīng)用公式及分部積分公式即獲得積分余項(xiàng)公式的證明.（ii）對(duì)積分余項(xiàng)應(yīng)用第一積分中值定理（在積分區(qū)間（或上不變號(hào)）可得泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)：（其中）.（iii）對(duì)積分余項(xiàng)應(yīng)用積分平均值定理泰勒公式的柯西余項(xiàng)：四、例題選講1.定積分計(jì)算例題選.例1 求下列定積分（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）（9）解（1）.（2）.（3）令，（3）（4）令，（4）.令得，于是有（4）.（5）（6）（7）利用得（7）（8）利用得（8）（9）.例2 （1）求（2）證明Wallis公式：.解（1），證（2）由得

6、，由此可得 ，因此.例3 利用定積分求下列極限（1） （2）（3） （4）（5）解（1）（2）.（3）由可得（3）（4）由可得 .因此.（5）令.因此.2.微積分基本定理應(yīng)用例題選例4 設(shè)，試求.解 應(yīng)用微積分基本定理兩次可得.例5 確定常數(shù)、使得.解 由可推得，由羅比塔法則及可推得，接著易求得.例6 若存在，試求.解 令，則，.例7 設(shè)連續(xù)，.試求：.解 令，則于是有.兩邊關(guān)于求導(dǎo)得再令可得.例8 試求可微函數(shù)使得.解 先關(guān)于求導(dǎo)得令得再關(guān)于求導(dǎo)得.因而，因而.3.積分中值定理應(yīng)用例題選例9 設(shè)在上可微，而且，（）.證明： .證 令，則由條件可得，由得，于是有.例10 設(shè)在上連續(xù)，而且，.證

7、明：.證 ，在處取最大值，因而有.證 例11 設(shè).證明：，例12 設(shè)在上二階可導(dǎo)，而且.證明：（i）；（ii）又若，則.證（i）由及得，再由得 .（ii），積分后得.例13 設(shè)在上具有二階連續(xù)函數(shù)，證明；存在使得.證 令，分別求得，在處的二階泰勒展開式，兩式相減再用微積分基本定理及連續(xù)函數(shù)的介值定理即得.例14 設(shè)而且，.證明：證 由條件，若，則由導(dǎo)出矛盾！例15 設(shè)，在上單調(diào)而且可微.證明：存在使得.證 令，由微積分基本定理及第一積分中值定理可得.例16 證明下列極限（1）若，則.（2）若，則.（3）（4）若，則.（5）若是以為周期的連續(xù)函數(shù)，則.（6）若而且，則有.證（1） .（2）由 （

8、其中）及可積的第二充要條件可得.（3）由第二積分中值定理得，存在使得，再令即得.（4）.（5）是以為周期的連續(xù)函數(shù)，從而有界，由此即得.（6）由第一積分中值存在使得.令即得.例17 設(shè)在上單調(diào)遞增，而且，.若，則.證 若不然，使得，此時(shí)分兩種情形：（i）若存在使得，則.（ii），則有，于是.上述的（i）、（ii）與矛盾.例18 設(shè)，令，.證明：.證 令，則由于是有.五、思考與討論1.若在區(qū)間上有原函數(shù)，是否必有公式成立？提示：考慮2.若，是否必有原函數(shù)？3.若，而且是否必有？4.若在上不可積，的原函數(shù)在上是否必不存在？5.奇函數(shù)的原函數(shù)是否必為偶函數(shù)？偶函數(shù)的原函數(shù)是否必為奇函數(shù)？六、基礎(chǔ)題訓(xùn)

9、練1.計(jì)算下列定積分（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（為實(shí)數(shù)）（12）2.設(shè).試求.3.設(shè),試求.4.設(shè)，試求.5.試求.6.設(shè)，.試求：.7.求下列極限（1） （2）（3） （4）8.設(shè)，.試求（答案：）.9.設(shè)連續(xù)而且，.求使得.（答案：）10.證明：（提示：分段，換元）.11.設(shè)在上連續(xù)，而且.證明：,.12.設(shè)在上單調(diào)增加.證明：.（提示：）.七、提高性習(xí)題13.求下列積分（為正整數(shù)）（1） （2）（3） （4）14.求下列極限（1） （2）（3） （4）（5） （6）（答案：（1）.；（2）.；（3）；（4）.（2）；（5）.；（6）1

10、5.設(shè)而且，令.證明：（1）（2）（3）.16.求下列極限（1） （2）（3）.（答案：（1）.；（2）.；（3）.）.17.證明下列極限：（1）若在上連續(xù)，則.（2）若不變號(hào)，則（3）若，則（4）若而且，則.（提示：（1）利用分部積分；（2）令，再用第一積分中值定理；（3）令，再利用積分中值定理；（4）分段估計(jì)）.18.設(shè)，.證明：.19.設(shè)在上無窮次可微，為自然數(shù)，.證明：.20.設(shè)，為偶數(shù)且對(duì)于，有.證明：,并由此計(jì)算（答案：）.21.設(shè)為連續(xù)函數(shù).證明下述等式：（1）（2）.（提示：（1）令，再令（分段）；（2）令）.22.設(shè)，.試求.（答案：）.23.試求函數(shù)在上的最大值.（答案：）

11、.24.設(shè)連續(xù)，而且.試求（答案：）.25.設(shè)在上存在，為的反函數(shù)而且.試求：（答案：）.26.設(shè)而且().試求（答案：）.27.設(shè)而且，.證明：在中至少有兩個(gè)零點(diǎn).（提示：令，利用分部積分）.28.設(shè)而且不恒為常數(shù)，而且.證明：存在使得.（提示：令，則，）.29.設(shè)，存在而且非負(fù).證明：.（提示：利用在處的一階泰展開式）.30.設(shè).證明：.（提示：分變號(hào)與不變號(hào)兩種情形考慮）.31.設(shè).證明.32.設(shè)而且，.證明：.（提示：利用）33.設(shè)在上二階可導(dǎo)，（）而且.證明：.（提示：利用在處的泰勒展開式）.34.設(shè)且，.證明：.（提示：利用在處的一階泰展開式）.35.設(shè)，.證明：.（提示：在處取最大值