第5章地殼應(yīng)變應(yīng)力分析-2014

1、地殼形變地殼形變武漢大學(xué)武漢大學(xué) 許才軍許才軍第第5章章 地殼應(yīng)力與應(yīng)變分析地殼應(yīng)力與應(yīng)變分析變形、應(yīng)變概念變形、應(yīng)變概念應(yīng)力分析基礎(chǔ)應(yīng)力分析基礎(chǔ)應(yīng)變分析基礎(chǔ)應(yīng)變分析基礎(chǔ)區(qū)域地殼運(yùn)動(dòng)應(yīng)變分析區(qū)域地殼運(yùn)動(dòng)應(yīng)變分析變形、應(yīng)變概念變形、應(yīng)變概念p 變形變形：當(dāng)?shù)貧ぶ袔r石體受到應(yīng)力作用后，其內(nèi)部：當(dāng)?shù)貧ぶ袔r石體受到應(yīng)力作用后，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)經(jīng)受了一系列的各質(zhì)點(diǎn)經(jīng)受了一系列的位移位移，從而使巖石體的，從而使巖石體的初初始形狀、方位或位置發(fā)生了改變始形狀、方位或位置發(fā)生了改變，這種改變通常這種改變通常稱為變形。稱為變形。p 位移的基本方式可以分為四種位移的基本方式可以分為四種：平移、旋轉(zhuǎn)、體：平移、旋轉(zhuǎn)、體

2、變和形變變和形變。 變形、應(yīng)變概念變形、應(yīng)變概念A(yù). A. 平移平移 B. B. 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) C. C. 形變形變 D.D.體變體變 平移和旋轉(zhuǎn)平移和旋轉(zhuǎn)是指剛體的平移和旋轉(zhuǎn)，是物體相對(duì)于是指剛體的平移和旋轉(zhuǎn)，是物體相對(duì)于外部坐標(biāo)作整體的平移或旋轉(zhuǎn)。這種位移外部坐標(biāo)作整體的平移或旋轉(zhuǎn)。這種位移并不引起并不引起物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的變化物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的變化，因此，因此平移和旋平移和旋轉(zhuǎn)不會(huì)改變物體的形狀轉(zhuǎn)不會(huì)改變物體的形狀。 體變和形變體變和形變使物體內(nèi)部使物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置發(fā)生了各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置發(fā)生了改變改變，從而改變了物體的大小和形狀，即，從而改變了物體的大小和形狀，即

3、引起了物引起了物體的應(yīng)變體的應(yīng)變。變形、應(yīng)變概念變形、應(yīng)變概念 應(yīng)變應(yīng)變：是物體在應(yīng)力作用下的形狀和大小的改變是物體在應(yīng)力作用下的形狀和大小的改變量量( (有時(shí)也包含一定程度的旋轉(zhuǎn)有時(shí)也包含一定程度的旋轉(zhuǎn)) )，所以，所以應(yīng)變可理應(yīng)變可理解為是表示物體變形的程度。解為是表示物體變形的程度。 地應(yīng)變地應(yīng)變：地殼是具有一定彈性的，當(dāng)作用于它的地殼是具有一定彈性的，當(dāng)作用于它的地應(yīng)力不超過地殼巖石的彈性強(qiáng)度時(shí)，就產(chǎn)生彈地應(yīng)力不超過地殼巖石的彈性強(qiáng)度時(shí)，就產(chǎn)生彈性應(yīng)變，稱為地應(yīng)變。性應(yīng)變，稱為地應(yīng)變。2 應(yīng)力分析基礎(chǔ)應(yīng)力分析基礎(chǔ) 外力、內(nèi)力外力、內(nèi)力 應(yīng)力的定義應(yīng)力的定義 一點(diǎn)的應(yīng)力一點(diǎn)的應(yīng)力 主應(yīng)力

4、、主方向主應(yīng)力、主方向 應(yīng)力場應(yīng)力場p 外力和內(nèi)力外力和內(nèi)力 處于地殼中的任何地質(zhì)體，都會(huì)受到相鄰介質(zhì)的作用力。這處于地殼中的任何地質(zhì)體，都會(huì)受到相鄰介質(zhì)的作用力。這種種研究對(duì)象以外的物體對(duì)被研究物體施加的作用力稱為外力研究對(duì)象以外的物體對(duì)被研究物體施加的作用力稱為外力。由外力作用引起的物體內(nèi)部各部分之間的相互作用力稱為由外力作用引起的物體內(nèi)部各部分之間的相互作用力稱為內(nèi)力內(nèi)力。 外力和內(nèi)力是一對(duì)相對(duì)的概念，當(dāng)研究范圍擴(kuò)大或縮小時(shí)，外力和內(nèi)力是一對(duì)相對(duì)的概念，當(dāng)研究范圍擴(kuò)大或縮小時(shí)，外力可以變?yōu)閮?nèi)力，內(nèi)力也可以變?yōu)橥饬ν饬梢宰優(yōu)閮?nèi)力，內(nèi)力也可以變?yōu)橥饬Α＠?，?dāng)考察一例如，當(dāng)考察一個(gè)巖體內(nèi)的

5、某個(gè)礦物顆粒的受力時(shí)，周圍顆粒對(duì)顆粒的作用個(gè)巖體內(nèi)的某個(gè)礦物顆粒的受力時(shí)，周圍顆粒對(duì)顆粒的作用力是外力；當(dāng)研究對(duì)象是該巖體時(shí)，周圍顆粒與該顆粒的相力是外力；當(dāng)研究對(duì)象是該巖體時(shí)，周圍顆粒與該顆粒的相互作用力變成了內(nèi)力，而圍巖對(duì)巖體的作用力是外力；當(dāng)研互作用力變成了內(nèi)力，而圍巖對(duì)巖體的作用力是外力；當(dāng)研究的對(duì)象擴(kuò)展到該巖體所在板塊時(shí)，圍巖與該巖體之間的相究的對(duì)象擴(kuò)展到該巖體所在板塊時(shí)，圍巖與該巖體之間的相互作用力又變成了內(nèi)力，而相鄰板塊對(duì)該板塊的作用力是外互作用力又變成了內(nèi)力，而相鄰板塊對(duì)該板塊的作用力是外力。力。 p 應(yīng)力是作用于固體上的外力或使固體發(fā)生變形的應(yīng)力是作用于固體上的外力或使固體發(fā)

6、生變形的其它因素在固體中所產(chǎn)生的內(nèi)力的度量。其它因素在固體中所產(chǎn)生的內(nèi)力的度量。 應(yīng)力應(yīng)力如圖如圖1 1（a a），），O O是地殼內(nèi)的一點(diǎn)，在是地殼內(nèi)的一點(diǎn)，在O O點(diǎn)上取一確定的方向點(diǎn)上取一確定的方向OPOP和與之成正和與之成正交的面積元交的面積元 。 朝朝OPOP方向的一方面稱為正方，反方向的一方稱為負(fù)方向的一方面稱為正方，反方向的一方稱為負(fù)方。方。 正方的質(zhì)量作用于負(fù)方所有的力的合力為正方的質(zhì)量作用于負(fù)方所有的力的合力為 ，當(dāng)，當(dāng) 趨近趨近于零時(shí)，于零時(shí)， 的極限稱為的極限稱為P P點(diǎn)上通過面積元點(diǎn)上通過面積元 （法線方向是（法線方向是OPOP）的）的應(yīng)力，以公式表示為：應(yīng)力，以公式表

7、示為： （1 1） 是一個(gè)向量。地殼中的每一點(diǎn)是一個(gè)向量。地殼中的每一點(diǎn)O O和通過和通過O O的每一方向，都存在一個(gè)的每一方向，都存在一個(gè)向量向量 ，它的作用方式是：如果通過，它的作用方式是：如果通過O O取一面積為取一面積為 、法線方向、法線方向?yàn)闉镺POP的小平面，的小平面， 正方的質(zhì)量將有一力正方的質(zhì)量將有一力 作用于負(fù)方的質(zhì)量作用于負(fù)方的質(zhì)量，負(fù)方的質(zhì)量也有一力，負(fù)方的質(zhì)量也有一力 作用于正方的質(zhì)量。作用于正方的質(zhì)量。 AAAFAAFAOPPOPPAA圖圖1 1應(yīng)力的定義應(yīng)力的定義AFPAOP0limAPOPAPOP如圖如圖1 1（b b），過），過O O點(diǎn)取一直角坐標(biāo)系點(diǎn)取一直角坐

8、標(biāo)系O Oxyzxyz，設(shè)，設(shè)OPOP在在OxOx方向上，則方向上，則 在在yzyz平面上；向量平面上；向量 可以分解為成可以分解為成3 3個(gè)分量個(gè)分量 , , , 它們分別在它們分別在oxox，oyoy，ozoz方向上。分量方向上。分量 在在oxox方向上，與方向上，與 正交，正交，稱為法向應(yīng)力；稱為法向應(yīng)力； ， 在在 的平面上，稱為切應(yīng)力的平面上，稱為切應(yīng)力( (剪應(yīng)力）剪應(yīng)力）。p若通過一個(gè)面的法向應(yīng)力為正，稱為張應(yīng)力，為負(fù)則稱為壓應(yīng)力若通過一個(gè)面的法向應(yīng)力為正，稱為張應(yīng)力，為負(fù)則稱為壓應(yīng)力；張；張應(yīng)力將該面正方的質(zhì)量從負(fù)方的質(zhì)量拉開，壓應(yīng)力使正方的質(zhì)量向負(fù)方應(yīng)力將該面正方的質(zhì)量從負(fù)方

9、的質(zhì)量拉開，壓應(yīng)力使正方的質(zhì)量向負(fù)方的質(zhì)量壓縮。的質(zhì)量壓縮。AoxPxxyxzxAxyxzA圖圖1 1正面上沿坐標(biāo)正向、負(fù)面上沿坐標(biāo)負(fù)向的應(yīng)力為正的應(yīng)力；正面上沿坐標(biāo)正向、負(fù)面上沿坐標(biāo)負(fù)向的應(yīng)力為正的應(yīng)力；反之為負(fù)的應(yīng)力。反之為負(fù)的應(yīng)力。（圖上所示均為正應(yīng)力）（圖上所示均為正應(yīng)力）應(yīng)力正、負(fù)規(guī)定應(yīng)力正、負(fù)規(guī)定 x zxyzxyxzyxyzzxzy y切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理0d)dd(d)dd(, 0yzxxzymyxxyzxyyx,zyyzxzzx同理同理*其他應(yīng)力分量對(duì)其他應(yīng)力分量對(duì)z軸合力矩為零，圖上未標(biāo)出軸合力矩為零，圖上未標(biāo)出 x y zxyyx相互垂直兩微分面上的切應(yīng)力（相互垂

10、直兩微分面上的切應(yīng)力（ 與與 ）大小相等，且同時(shí)指向或背向兩面的交線。大小相等，且同時(shí)指向或背向兩面的交線。稱為稱為切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理，即，即 。ijjijiij如此，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由如此，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由6個(gè)個(gè)獨(dú)立分量描述：獨(dú)立分量描述：zxyzxyzyx, x y zxyyx平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)含有當(dāng)含有z方向分量的應(yīng)力都等于零時(shí)方向分量的應(yīng)力都等于零時(shí)，稱為，稱為平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)，此時(shí)的應(yīng)力，此時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)由三個(gè)分量描述：狀態(tài)由三個(gè)分量描述：xyyx, x zxyzxyxzyxyzzxzy yx xy y yx o平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)矢量是一階張量矢量是一階張

11、量矢量矢量A ，在在xy坐標(biāo)系里可坐標(biāo)系里可以用坐標(biāo)（以用坐標(biāo)（X，Y）表示，在表示，在xy坐標(biāo)系里可以用坐標(biāo)坐標(biāo)系里可以用坐標(biāo)（X，Y）表示。它在新、表示。它在新、老坐標(biāo)系里的分量有如下的老坐標(biāo)系里的分量有如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系：轉(zhuǎn)換關(guān)系： y x y A o X Y x X YcossinXXYcossinYYX cossinsincos XXYY事實(shí)上，事實(shí)上，矢量是一階張量矢量是一階張量應(yīng)力的國際單位為帕斯卡（應(yīng)力的國際單位為帕斯卡（PascalPascal），簡稱帕（），簡稱帕（PaPa），）， 即即 。2/mN2cm2cm610510510410110 兆帕兆帕（MpaMpa）巴巴(bar

12、)(bar)大氣壓大氣壓(atm)(atm)公斤公斤/ /達(dá)因達(dá)因/ /帕帕(Pa)(Pa)1.0131.0139.8079.807常見應(yīng)力單位換算成帕?xí)r的系數(shù)表常見應(yīng)力單位換算成帕?xí)r的系數(shù)表應(yīng)力的單位及其換算應(yīng)力的單位及其換算p 應(yīng)力矢量是與截面聯(lián)系在一起的，通過地殼巖石中的應(yīng)力矢量是與截面聯(lián)系在一起的，通過地殼巖石中的任一點(diǎn)，可作出無數(shù)個(gè)截面，因而存在無數(shù)個(gè)應(yīng)力矢任一點(diǎn)，可作出無數(shù)個(gè)截面，因而存在無數(shù)個(gè)應(yīng)力矢量，一個(gè)應(yīng)力矢量不能代表一點(diǎn)的應(yīng)力。量，一個(gè)應(yīng)力矢量不能代表一點(diǎn)的應(yīng)力。 一點(diǎn)的應(yīng)力一點(diǎn)的應(yīng)力p 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是指某一瞬間作用于物體上的應(yīng)力情一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是指某一瞬間作用于物體上的

13、應(yīng)力情況，即過一點(diǎn)的所有截面的全部應(yīng)力矢量，才代表一況，即過一點(diǎn)的所有截面的全部應(yīng)力矢量，才代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力矢的尾端構(gòu)成應(yīng)力橢圓應(yīng)力矢的尾端構(gòu)成應(yīng)力橢圓 應(yīng)力矢的首端構(gòu)成應(yīng)力橢圓應(yīng)力矢的首端構(gòu)成應(yīng)力橢圓 p 應(yīng)力分量應(yīng)力分量地殼內(nèi)一點(diǎn)地殼內(nèi)一點(diǎn)O O的應(yīng)力可以用下述的應(yīng)力可以用下述9 9個(gè)應(yīng)力分量完全描述：個(gè)應(yīng)力分量完全描述： 由于由于 ， ， ，一點(diǎn)上的應(yīng)力只需要用一點(diǎn)上的應(yīng)力只需要用6 6個(gè)分量來描述個(gè)分量來描述。一點(diǎn)的應(yīng)力一點(diǎn)的應(yīng)力zzyzxyzyyxxzxyxzyyzxzzxyxxyp 二維應(yīng)力二維應(yīng)力 如圖（如圖（a)a)，過，過O O點(diǎn)作一平面點(diǎn)作一平面x=0

14、 x=0，該面右方質(zhì)量作用于左方質(zhì)量單位面積，該面右方質(zhì)量作用于左方質(zhì)量單位面積的力的分量為的力的分量為 和和 ；同樣，如圖（；同樣，如圖（b b），過），過O O點(diǎn)作一平面點(diǎn)作一平面y y0 0，通過，通過該面單位面積的力的分量為該面單位面積的力的分量為 和和 由于由于 ，這，這4 4個(gè)分量中只有個(gè)分量中只有3 3個(gè)是獨(dú)立的個(gè)是獨(dú)立的 .xxyyxyyxxy若通過若通過O O的平面的法線的平面的法線OPOP與與Ox Ox 軸成傾角軸成傾角 ，如圖（，如圖（d d），則通過該面的應(yīng)力分量），則通過該面的應(yīng)力分量 ， 可以用可以用 ， ， 表示為如下表示為如下(2)(2)式式(J.C.Jaege

15、r,1969)(J.C.Jaeger,1969) :xyxy u J.C. Jaeger, Elasticity, Fracture and Flow: With Engineering and Geological Applications, J.W. Arrowsmish Ltd., Bristal, Great Britain (1969). （2 2）若坐標(biāo)軸若坐標(biāo)軸oxox，oy oy 旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度 ，成為，成為oxox，oyoy則相對(duì)于則相對(duì)于oxox，oyoy的應(yīng)力分量的應(yīng)力分量 ， 可利用（可利用（2 2）式分別就角度）式分別就角度 和和(90(90+ ) +

16、) 得得出：出： xy上面兩式相加，得出上面兩式相加，得出 這就是說，如果兩軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，雖然這就是說，如果兩軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，雖然 和和 本身都變化了，但本身都變化了，但 + + 保持不變。方程（保持不變。方程（2 2）式完全描述了一點(diǎn)上的應(yīng)力隨著方向）式完全描述了一點(diǎn)上的應(yīng)力隨著方向 變化的方式。變化的方式。 22sincossin2cosyxyx22sincoscossinxyxy22sincossin2cosyxyxx22coscossin2sinyxyxyyxyxyxxy平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析 物體上物體上o點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。沿點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。沿 方向取方向取單元

17、體，其上應(yīng)力由單元體，其上應(yīng)力由 描述。描述。,xyxy yx, 若過該點(diǎn)取沿任意方位若過該點(diǎn)取沿任意方位 的單元體，其上的單元體，其上應(yīng)力則由應(yīng)力則由 描述。描述。x , y xyx y, 目的是建立目的是建立 與與 之間之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。的轉(zhuǎn)換關(guān)系。xyx y, xyxy, x xy y yxox y x y yxox 正正 平面應(yīng)力狀態(tài)下的任意斜截面上的應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)下的任意斜截面上的應(yīng)力解析法轉(zhuǎn)換方程解析法轉(zhuǎn)換方程xxyyxyxxyxxxyxyx yx面積面積 dAy平面應(yīng)力狀態(tài)的研究方法平面應(yīng)力狀態(tài)的研究方法解析法解析法圖解法圖解法AxdAyxdyx楔形分離體的平衡轉(zhuǎn)換方程楔形分離體

18、的平衡轉(zhuǎn)換方程力平衡方程：力平衡方程：張量關(guān)系：張量關(guān)系：222cossinsin cosxxyxy 的方向向量斜截面法向向量平面應(yīng)力張量斜截面的面應(yīng)力矢量xxyxxyyxcoscossinsin 注：此處的注：此處的x方向與截面方向與截面法法向向重合（一般無此條件）重合（一般無此條件） 下界面面積面積切向法向xyydAsindAsin0coscoscossin +sincos+sinsinxxxxyxyxxFdAdAdAdAdA 方位余弦方位余弦面積面積法向切向左界面方位余弦方位余弦面積面積切向法向下界面沿方向： 左界面面積法向面積切向xxydAcosdAcos楔形分離體的平衡轉(zhuǎn)換方程楔形分

19、離體的平衡轉(zhuǎn)換方程 左界面面積法向面積切向xxydAcosdAcos 下界面面積面積切向法向xyydAsindAsin力平衡方程：力平衡方程：張量關(guān)系：張量關(guān)系：注：此處的注：此處的y方向與截面方向與截面切切向向重合（一般無此條件）重合（一般無此條件）AxdAyxdyx22 sincoscossinx yyxxy ycoscossinsin22xxyx yxyy 的方向向量斜截面法向向量平面應(yīng)力張量斜截面的面應(yīng)力矢量 0cossincoscos +sinsin+sincosyx yxxyxyxyFdAdAdAdAdA 方位余弦面積面積方位余弦法向切向左界面方位余弦面積面積方位余弦切向法向沿方向

20、：下界面主應(yīng)力主應(yīng)力 、主方向、主方向微分（微分（2 2）式得）式得 22sincos2cossin2xyxyddyxxytg22令其為零可得令其為零可得此時(shí)法向應(yīng)力為最大或最小；此時(shí)法向應(yīng)力為最大或最小；而此時(shí)切應(yīng)力為零。而此時(shí)切應(yīng)力為零。 上式定義了成正交的兩個(gè)方向上式定義了成正交的兩個(gè)方向（主方向），（主方向），在這兩方向上，在這兩方向上，一點(diǎn)上一點(diǎn)上的法向應(yīng)力一為最大，一為最小，切應(yīng)力為零。的法向應(yīng)力一為最大，一為最小，切應(yīng)力為零。這兩方向構(gòu)成應(yīng)力這兩方向構(gòu)成應(yīng)力的主軸，的主軸，主軸上的應(yīng)力稱為主應(yīng)力主軸上的應(yīng)力稱為主應(yīng)力，通常用，通常用 和和 表示表示（ ）。）。 1212 上式有兩

21、個(gè)根，記為上式有兩個(gè)根，記為 和和 ，對(duì)應(yīng)的極值記為，對(duì)應(yīng)的極值記為 和和 。01 02012 I II 222xyxy() xy 2xy()/ 012 022 2xy()/ xy 012222xyxyxysin() 022222xyxyxysin() 0122222xyxyxycos() 0222222xyxyxycos() 主應(yīng)力、主平面主應(yīng)力、主平面0222tgxyxyxyxy()() / 222221121tgsintgtgcostg 222xyxy() xy 2xy()/ 012 022 2xy()/ xy 主應(yīng)力、主平面主應(yīng)力、主平面2222IIIxyxyxy() 將以上三角關(guān)系代

22、入將以上三角關(guān)系代入 的表達(dá)式得面內(nèi)的的表達(dá)式得面內(nèi)的最大、最小正應(yīng)力：最大、最小正應(yīng)力：x 012222sin()xyxyxy 0122222cos()xyxyxy 2222cossinxyxyxxy 2222III()xyxyxy 主應(yīng)力、主平面主應(yīng)力、主平面x xy y yxo0 I II面內(nèi)最大切應(yīng)力面內(nèi)最大切應(yīng)力及作用面及作用面22xysxy()/tan 將將 對(duì)對(duì) 微分，并令其等于零得：微分，并令其等于零得： xy 222 sincosxyx yxy 22xysxy()/tan 表明面內(nèi)最大切應(yīng)力作用面與主平面成表明面內(nèi)最大切應(yīng)力作用面與主平面成 夾角。夾角。4 0222S 04S

23、 由于由于 與與 的的正切成負(fù)倒數(shù)關(guān)系正切成負(fù)倒數(shù)關(guān)系，所以，所以 02 2S 022tg()/xyxy 面內(nèi)最大切應(yīng)力面內(nèi)最大切應(yīng)力及作用面及作用面00011122222 tg()sctgtgtg 面內(nèi)最大切應(yīng)力作用面與主平面成面內(nèi)最大切應(yīng)力作用面與主平面成 夾角。夾角。4 0 yxoxI II 主平面主平面最大切應(yīng)力作用面最大切應(yīng)力作用面xoxS I II 0 x4 4 s s 面內(nèi)最大切應(yīng)力面內(nèi)最大切應(yīng)力及作用面及作用面222IxyxyII() 2sxyavg 將將 代入正應(yīng)力公式，最大、最小切應(yīng)力作用面上代入正應(yīng)力公式，最大、最小切應(yīng)力作用面上的正應(yīng)力為的正應(yīng)力為s 記兩個(gè)根為記兩個(gè)根

24、為 和和 ，將，將 代入切應(yīng)力公式，代入切應(yīng)力公式，對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力極值為對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力極值為 1s 212ss s 面內(nèi)最大切應(yīng)力面內(nèi)最大切應(yīng)力及作用面及作用面求最大切應(yīng)力求最大切應(yīng)力 222210236 7122xyI,IIxy()()().MPa 最小、最大切應(yīng)力處于與主應(yīng)力成最小、最大切應(yīng)力處于與主應(yīng)力成 4545 的截面上。的截面上。 從后面講的應(yīng)力圓知識(shí)從后面講的應(yīng)力圓知識(shí)可知，最大主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)可知，最大主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)4545 的截面上，也就是的截面上，也就是與與 x x 方向成方向成58.358.3 的的截面上截面上, ,切應(yīng)力為正。切應(yīng)力為正。6.714.04.0-6.7131.7ox13

25、.3o45o45o應(yīng)力狀態(tài)的分類：應(yīng)力狀態(tài)的分類：(1).單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中，只有一個(gè)不為零簡單 應(yīng)力狀態(tài)。(2).雙向應(yīng)力狀態(tài)雙向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中，只有一個(gè)為零。(3).三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都不為零 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。dzdxdyXYZO y y z z zy yz yz zy yx yx xy xy x x zx xz zx xzdzdxdyXYZO 1 2 3如果已知一點(diǎn)上的應(yīng)力狀態(tài)，就可立即得出主軸方向和主應(yīng)如果已知一點(diǎn)上的應(yīng)力狀態(tài)，就可立即得出主軸方向和主應(yīng)力值；再力值；再把主軸取作參考軸，把主軸取作參考軸，來表達(dá)任一方向的應(yīng)力來表達(dá)任一方向的應(yīng)

26、力就簡單就簡單多了多了。若一平面的法線與若一平面的法線與x x軸成軸成 角，則通過該平面的法向角，則通過該平面的法向應(yīng)力和切應(yīng)力為：應(yīng)力和切應(yīng)力為： 2cos2121sincos212122212sin2121yx,拉為正，壓為負(fù)。拉為正，壓為負(fù)。 yxxy,單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)。單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)。 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓 應(yīng)力分析中，有一種重要的圖解方法，應(yīng)力分析中，有一種重要的圖解方法，稱為應(yīng)力莫爾圓，它能完整地代表一點(diǎn)稱為應(yīng)力莫爾圓，它能完整地代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。如圖表示的應(yīng)力狀態(tài)。如圖表示點(diǎn)平面應(yīng)力狀點(diǎn)平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力莫爾圓，圖中，橫坐標(biāo)代表正態(tài)的應(yīng)

27、力莫爾圓，圖中，橫坐標(biāo)代表正應(yīng)力應(yīng)力 ，縱坐標(biāo)代表剪應(yīng)力，縱坐標(biāo)代表剪應(yīng)力 ，圖中，圖中以以C C點(diǎn)為圓心，以點(diǎn)為圓心，以CMCM為半徑的圓上的任為半徑的圓上的任何一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)就代表了二維何一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)就代表了二維空間中某一截面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力?？臻g中某一截面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力。 221222122應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓 討論討論1221212(,0)(,0)()/ 2),0)()/ 2,0)MNCC2121212121211()()cos22211()()cos2221()sin22ONNCCBAB 單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)22

28、22cossin xyxyxxy222sincos xyx yxy 的表達(dá)式可寫成的表達(dá)式可寫成 , xx y222222xyxyxx yxy 兩邊平方并求加，消去兩邊平方并求加，消去 得得圖解法應(yīng)力莫爾圓圖解法應(yīng)力莫爾圓 2xyavga 222() xyxyR222222 xyxyxx yxy其中其中222()xx yaR 圖解法應(yīng)力莫爾圓圖解法應(yīng)力莫爾圓 上式為一圓方程，圓心上式為一圓方程，圓心為為 C C（a a，0 0），半徑為），半徑為 R R 。 取取 軸向右為正軸向右為正, , 軸軸向向下為正。在該坐標(biāo)系中下為正。在該坐標(biāo)系中作圓，稱為作圓，稱為應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓。C222()

29、xyxyR 2xyavg ()x ()x y xy 2xy 222()xx yaR 圖解法應(yīng)力莫爾圓（一般情況）圖解法應(yīng)力莫爾圓（一般情況）作莫爾圓的步驟作莫爾圓的步驟：以以 C 為圓心，為圓心，CX 為半徑為半徑作作Mohr圓。圓。確定正確定正 x 面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn)面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn) ； 確定點(diǎn)確定點(diǎn) C (a,0) ； (,)xxyX132C2xyavg xy Xx Yxy y 2 yxx 2yx(,)xxyX(,)yxyY xy y莫爾應(yīng)力圓莫爾應(yīng)力圓C2xyavg xy Xx Yxy y 2 以以 C 為圓心，為圓心，CX 為半徑作圓。為半徑作圓。 連接連接X 和和Y ，與，與 軸交點(diǎn)為軸交

30、點(diǎn)為 C; 確定正確定正y 面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn)面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn) 確定正確定正 x 面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn)面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn) xxyX(,) yxyY(,) yxx 2yx(,)xxyX(,)yxyY xy y或或 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓C2xyavg xy Xx Yxy y X2 oDA x xy xy xx x y xxyX(,) xxyX(,) 證明：證明：斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力2cos, sinxyxyRR222X DRsin()R(sincoscossin)222xyx yxyX Dsincos 2222cossinxyxyxxyoD 22222xyxyoDoCCDR cos()R(coscossi

31、nsin) 因?yàn)橐驗(yàn)樗运訡2xyavg xy Xx Yxy y X2 oDA x xy xy xx x y xxyX(,) xxyX(,) u 應(yīng)力圓上的點(diǎn)應(yīng)力圓上的點(diǎn)X的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（ x， xy），），與單元體與單元體 x 面的應(yīng)力相對(duì)應(yīng)。面的應(yīng)力相對(duì)應(yīng)。u 應(yīng)力圓上應(yīng)力圓上X 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為（ x， xy），），與單元體的與單元體的x面上的應(yīng)力相對(duì)應(yīng)。面上的應(yīng)力相對(duì)應(yīng)。u 應(yīng)力圓上應(yīng)力圓上CX 與與CX 的夾角為的夾角為2 ，是，是x 軸與軸與x軸之夾角的軸之夾角的2倍。倍。應(yīng)力圓應(yīng)力圓例題例題例：某點(diǎn)應(yīng)力例：某點(diǎn)應(yīng)力 x =40MPa， y = -20MPa ， xy 30M

32、Pa。 試用解析法和圖解法求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。試用解析法和圖解法求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。1，解析法解析法01145 , 135arctan()arctan(1.0)22.5 , 67.52()/222ooxyooxy 2222max4020()3030 2MPa42.43MPa22xyxy xx222240204020()()30222252.43 1030 2MPa32.43IyyxyII 2，圖解法圖解法102MPaxyavga 222240203030 242 4322()MPa.MPaxyxyR =40MPa， = -20MPa ， 30MPax y xy x22.5 II I y x

33、yxxx” x”y” x”4545 xy Y(-20,- 30)X(52.43,0)X(40,30)C(a,0)45 X(10,-42.4)Y(10, 42.4)o45 Y(-32.43,0)三維應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三維應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三維應(yīng)力狀態(tài)三維應(yīng)力狀態(tài)是應(yīng)力狀態(tài)的一般形式，就其研究的方法而言，是應(yīng)力狀態(tài)的一般形式，就其研究的方法而言，同二維應(yīng)力狀態(tài)基本相似，下面通過例子來進(jìn)行分析。同二維應(yīng)力狀態(tài)基本相似，下面通過例子來進(jìn)行分析。如圖所示：主平面單元體，其上的主應(yīng)力均為已知，要求單如圖所示：主平面單元體，其上的主應(yīng)力均為已知，要求單元體內(nèi)各截面的應(yīng)力。元體內(nèi)各截面的應(yīng)力。（1）分析與

34、 3平行的任意斜截面abcd 上的應(yīng)力。 用平面abcd將單元體一分為二，取左下部分為研究對(duì)象。對(duì)圖b進(jìn)行受力分析： 0n 0t2cos2221212sin221由上式可看出由上式可看出：1)斜面abcd上的應(yīng)力 ,與單元體僅在 12結(jié)果完全相同，而與3無關(guān)，即僅取決于12我們可以得出：在 平面內(nèi)，與該類斜截面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)于12所確定的應(yīng)力圓上。作用下求得的。故而均位4)綜上所述：綜上所述：在 位于應(yīng)力圓上，或位于由三個(gè)應(yīng)力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)。平面內(nèi)，代表任一斜截面上的應(yīng)力的點(diǎn)或2)同理，可得出：同理，可得出：單元體中與 1平行的各斜截面上的應(yīng)力位于同 、23所確定的應(yīng)力圓上，與 2截面上的應(yīng)力

35、位于平行的各斜、13所確定的應(yīng)力圓上。由3)可以證明：可以證明： 對(duì)于與三個(gè)主應(yīng)力均不平行的任意斜截面上的應(yīng)力見單元體圖中的efg平面它們在必位于上述三圓所構(gòu)成的陰影區(qū)內(nèi)。平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，ACBD123o1max3min 由右圖可見：在三維應(yīng)力狀態(tài)三維應(yīng)力狀態(tài)下，最大，最小正應(yīng)力最小正應(yīng)力分別為最大，最小主應(yīng)力，即：最大剪應(yīng)力為：最大剪應(yīng)力為： 231max又由于， 090DCA故 max位于與 13均成 045的斜面上。 注：注：上述結(jié)論，同樣適用于單向和雙向應(yīng)力狀態(tài)單向和雙向應(yīng)力狀態(tài)。5) 討論：討論：目錄目錄應(yīng)力應(yīng)力場：場：受力物體內(nèi)的每一點(diǎn)都存在與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)，物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)受力物體

36、內(nèi)的每一點(diǎn)都存在與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)，物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在物體占據(jù)的空間內(nèi)組成的總體，稱為力狀態(tài)在物體占據(jù)的空間內(nèi)組成的總體，稱為應(yīng)力應(yīng)力場。場。物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相同時(shí)，組成均勻物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相同時(shí)，組成均勻應(yīng)力應(yīng)力場，否則組成非均勻場，否則組成非均勻應(yīng)力應(yīng)力場。場。由于上覆巖石壓力由于上覆巖石壓力 （式中，式中， 是巖石密度，是巖石密度， 是重力加速度，是重力加速度， 是距地表的深度）是距地表的深度）隨深度而變化及地殼巖石的非均勻性，地殼中不存在理想的均勻隨深度而變化及地殼巖石的非均勻性，地殼中不存在理想的均勻應(yīng)力應(yīng)力場。場。構(gòu)造構(gòu)造應(yīng)力應(yīng)力場：場：由構(gòu)造作用造成的由構(gòu)造作用造成的

37、應(yīng)力應(yīng)力場稱構(gòu)造場稱構(gòu)造應(yīng)力應(yīng)力場。場。地應(yīng)力：地應(yīng)力：地殼巖石中存在的應(yīng)力稱為地殼巖石中存在的應(yīng)力稱為地應(yīng)力地應(yīng)力。地應(yīng)力除了構(gòu)造應(yīng)力外，還有地應(yīng)力除了構(gòu)造應(yīng)力外，還有非構(gòu)造應(yīng)力，如有重力引起的應(yīng)力，地形引起的應(yīng)力，開挖引起的應(yīng)力，人非構(gòu)造應(yīng)力，如有重力引起的應(yīng)力，地形引起的應(yīng)力，開挖引起的應(yīng)力，人工載荷引起的應(yīng)力，等等。工載荷引起的應(yīng)力，等等。 應(yīng)力應(yīng)力場場ghhgh古應(yīng)力場古應(yīng)力場：在地史時(shí)期作用的應(yīng)力場稱為古應(yīng)力場在地史時(shí)期作用的應(yīng)力場稱為古應(yīng)力場( (探討地殼運(yùn)動(dòng)規(guī)律，探討地殼運(yùn)動(dòng)規(guī)律，指導(dǎo)成礦預(yù)測等，具有重要作用指導(dǎo)成礦預(yù)測等，具有重要作用) )?，F(xiàn)今應(yīng)力場現(xiàn)今應(yīng)力場：現(xiàn)今作用的應(yīng)

38、力場稱為現(xiàn)今應(yīng)力場：現(xiàn)今作用的應(yīng)力場稱為現(xiàn)今應(yīng)力場( (對(duì)于地震預(yù)報(bào)分析工作對(duì)于地震預(yù)報(bào)分析工作和工程場地穩(wěn)定性評(píng)價(jià)，具有重要的意義和工程場地穩(wěn)定性評(píng)價(jià)，具有重要的意義) )。 應(yīng)力場的圖示：應(yīng)力場通常采用主應(yīng)力跡線和主應(yīng)力等直線、最大剪應(yīng)應(yīng)力場的圖示：應(yīng)力場通常采用主應(yīng)力跡線和主應(yīng)力等直線、最大剪應(yīng)力等直線等來表示，有時(shí)也采用主應(yīng)力矢量圖表示。力等直線等來表示，有時(shí)也采用主應(yīng)力矢量圖表示。用應(yīng)力跡線和應(yīng)力等值線表示的應(yīng)力場用應(yīng)力跡線和應(yīng)力等值線表示的應(yīng)力場A. A. 剪應(yīng)力分布（等值線單位為剪應(yīng)力分布（等值線單位為MpaMpa） B B主應(yīng)力跡線主應(yīng)力跡線 C C最大剪應(yīng)力跡線最大剪應(yīng)力跡線

39、 主應(yīng)力矢量圖表示應(yīng)力場主應(yīng)力矢量圖表示應(yīng)力場非連續(xù)變形分析方法求得的華北地區(qū)主應(yīng)力分布圖非連續(xù)變形分析方法求得的華北地區(qū)主應(yīng)力分布圖3. 應(yīng)變分析基礎(chǔ)應(yīng)變分析基礎(chǔ) 應(yīng)變的定義應(yīng)變的定義 應(yīng)變的度量應(yīng)變的度量 均勻應(yīng)變與非均勻應(yīng)變均勻應(yīng)變與非均勻應(yīng)變 無限小應(yīng)變分析無限小應(yīng)變分析 二維應(yīng)變張量二維應(yīng)變張量應(yīng)變的定義應(yīng)變的定義 當(dāng)一地塊受到應(yīng)力作用時(shí)，其中的質(zhì)點(diǎn)系當(dāng)一地塊受到應(yīng)力作用時(shí)，其中的質(zhì)點(diǎn)系O O，P P，Q Q，R R的相對(duì)構(gòu)形的相對(duì)構(gòu)形將以某種方式發(fā)生變化。這種情況稱為該地塊經(jīng)受應(yīng)變。圖中的將以某種方式發(fā)生變化。這種情況稱為該地塊經(jīng)受應(yīng)變。圖中的實(shí)線表示質(zhì)點(diǎn)系實(shí)線表示質(zhì)點(diǎn)系O O，P

40、 P，Q Q，R R未受應(yīng)變的位置，虛線表示它們應(yīng)變未受應(yīng)變的位置，虛線表示它們應(yīng)變后的位置，向量后的位置，向量OOOO稱為稱為O O點(diǎn)的位移。點(diǎn)的位移。如果給出了一地塊中每一如果給出了一地塊中每一點(diǎn)的位移，那末該地塊的應(yīng)變狀態(tài)就完全清楚了點(diǎn)的位移，那末該地塊的應(yīng)變狀態(tài)就完全清楚了。在應(yīng)變分析中，。在應(yīng)變分析中，都是假定已知位移，來詳細(xì)研究應(yīng)變的性質(zhì)及其隨方向的變化。都是假定已知位移，來詳細(xì)研究應(yīng)變的性質(zhì)及其隨方向的變化。應(yīng)當(dāng)指出，這里所說的應(yīng)當(dāng)指出，這里所說的應(yīng)變，是指地塊內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)構(gòu)形的變化；應(yīng)變，是指地塊內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)構(gòu)形的變化；如果像剛體那樣，如果像剛體那樣，位移只是平移和旋轉(zhuǎn)，就不存

41、在應(yīng)變位移只是平移和旋轉(zhuǎn)，就不存在應(yīng)變。 應(yīng)變有兩種量度：一是一條線的長度變化，二是兩條線（或一條應(yīng)變有兩種量度：一是一條線的長度變化，二是兩條線（或一條線和一平面）之間的角度變化，分別稱為線應(yīng)變和切（剪）應(yīng)變。線和一平面）之間的角度變化，分別稱為線應(yīng)變和切（剪）應(yīng)變。 1 1、線應(yīng)變、線應(yīng)變 llldllll設(shè)設(shè) 是兩相鄰點(diǎn)是兩相鄰點(diǎn)O O和和P P之間的距離，之間的距離， 是應(yīng)變后的相應(yīng)點(diǎn)是應(yīng)變后的相應(yīng)點(diǎn)OO和和PP之間的距離，則線應(yīng)變定義為之間的距離，則線應(yīng)變定義為dl線應(yīng)變線應(yīng)變 的符號(hào)為正（伸張）表示張應(yīng)變的符號(hào)為正（伸張）表示張應(yīng)變 的符號(hào)為負(fù)（壓縮）表示壓應(yīng)變的符號(hào)為負(fù)（壓縮）表

42、示壓應(yīng)變 dl應(yīng)變的度量應(yīng)變的度量2 2、剪應(yīng)變、剪應(yīng)變變形前相互垂直的兩條直線，變形后變形前相互垂直的兩條直線，變形后其夾角偏離直角的量其夾角偏離直角的量稱為角剪切應(yīng)變稱為角剪切應(yīng)變 或簡稱或簡稱角剪應(yīng)變角剪應(yīng)變。其正切稱為剪（切）其正切稱為剪（切）應(yīng)變應(yīng)變 tg 物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變特征相同的應(yīng)變稱為均勻應(yīng)變物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變特征相同的應(yīng)變稱為均勻應(yīng)變。p 其特征是：其特征是：應(yīng)變前的直線在應(yīng)變后仍然是直線，一組平行線應(yīng)應(yīng)變前的直線在應(yīng)變后仍然是直線，一組平行線應(yīng)變后仍然互相平行變后仍然互相平行 。 物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變特征發(fā)生變化的應(yīng)變稱為非均勻應(yīng)變物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變特征發(fā)生變化的應(yīng)變稱為非均勻應(yīng)變

43、。p 其特征是：與其特征是：與均勻應(yīng)變相反均勻應(yīng)變相反，直線經(jīng)應(yīng)變后不再是直線，而成直線經(jīng)應(yīng)變后不再是直線，而成了曲線或折線，平行線應(yīng)變后不再互相平行了曲線或折線，平行線應(yīng)變后不再互相平行 。 非均勻應(yīng)變又可分成連續(xù)應(yīng)變（變形）和不連續(xù)應(yīng)變（變形）：非均勻應(yīng)變又可分成連續(xù)應(yīng)變（變形）和不連續(xù)應(yīng)變（變形）：如果物體內(nèi)從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是逐漸改變的，則稱為如果物體內(nèi)從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是逐漸改變的，則稱為連續(xù)應(yīng)變（變形）；如果是突然改變的，則應(yīng)變是不連續(xù)的，連續(xù)應(yīng)變（變形）；如果是突然改變的，則應(yīng)變是不連續(xù)的，稱為不連續(xù)應(yīng)變（變形）。稱為不連續(xù)應(yīng)變（變形）。均勻應(yīng)變與非均勻應(yīng)變均勻應(yīng)變與

44、非均勻應(yīng)變 非均勻變形非均勻變形連續(xù)變形連續(xù)變形 無限小應(yīng)變分析無限小應(yīng)變分析 定義的定義的 和和 是如此之小，以至它們的平方與乘積都可以忽視是如此之小，以至它們的平方與乘積都可以忽視 二維無限小應(yīng)變二維無限小應(yīng)變x按無限小應(yīng)變假設(shè)，按無限小應(yīng)變假設(shè)， 視為無限小，視為無限小，則上式趨向一個(gè)極限則上式趨向一個(gè)極限xuxxvxuxvuxSP112222xuxxxuxPSPSSPx1xux同樣，可以導(dǎo)出一點(diǎn)在同樣，可以導(dǎo)出一點(diǎn)在y y軸方向的線應(yīng)變軸方向的線應(yīng)變 如前圖所示，線段如前圖所示，線段PSPS和和PQPQ原來是垂直的，原來是垂直的，QPS=90QPS=90，形變后角度，形變后角度減小了減

45、小了 ，這兩線段交角的變化（在此情況下也是兩軸交角的，這兩線段交角的變化（在此情況下也是兩軸交角的變化）的正切，就是剪切應(yīng)變，以變化）的正切，就是剪切應(yīng)變，以 或或 表示，故表示，故 ba xyyx同樣，可以導(dǎo)出同樣，可以導(dǎo)出yvyvPQPQQPytgbtgabatgxyyutgbyuxvyxxy已知已知 ， 和和 ，可按下式求出任意方位角，可按下式求出任意方位角 上的線應(yīng)變上的線應(yīng)變(Jaeger):(Jaeger):xyxyn 第第1 1剪應(yīng)變率剪應(yīng)變率 ：代表形變中東西向伸長和南北向壓縮的純剪：代表形變中東西向伸長和南北向壓縮的純剪切部分，切部分，也可以認(rèn)為是一個(gè)走向?yàn)橐部梢哉J(rèn)為是一個(gè)走

46、向?yàn)镹45N45W W的垂直面上的右旋剪切，的垂直面上的右旋剪切，或者是一個(gè)走向?yàn)榛蛘呤且粋€(gè)走向?yàn)镹45N45E E的垂直面上的左旋剪切的垂直面上的左旋剪切。n 第第2 2剪應(yīng)變率剪應(yīng)變率 ：代表形變中北東：代表形變中北東- -南西向伸長和北西南西向伸長和北西- -南東向壓南東向壓縮的純剪切部分，縮的純剪切部分，也可以認(rèn)為是一個(gè)走向?yàn)闁|西的垂直面上的右也可以認(rèn)為是一個(gè)走向?yàn)闁|西的垂直面上的右旋剪切，或者是一個(gè)走向?yàn)槟媳钡拇怪泵嫔系淖笮羟?。旋剪切，或者是一個(gè)走向?yàn)槟媳钡拇怪泵嫔系淖笮羟小?1222sincossincosyxyx2cos2sin90,xyyxyx135,451xy2 當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)?/p>

47、1 1剪應(yīng)變率為正時(shí)，表示地塊受到東西向伸長、剪應(yīng)變率為正時(shí)，表示地塊受到東西向伸長、南北向壓縮的形變；為負(fù)時(shí)則相反。南北向壓縮的形變；為負(fù)時(shí)則相反。 當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)? 2剪應(yīng)變率為正時(shí)，表示地塊受到北東剪應(yīng)變率為正時(shí)，表示地塊受到北東南西向南西向伸長、北西伸長、北西南東向壓縮的形變；為負(fù)時(shí)則相反。南東向壓縮的形變；為負(fù)時(shí)則相反。 3 3，面膨脹，面膨脹 矩形矩形PQRSPQRS的面積為的面積為 形變后的平行四邊形形變后的平行四邊形PQRSPQRS的面積為的面積為 yxFyxyxyxyxyxyyxxF111yxyxyxyxyxFFFFdF14 4，剛體旋轉(zhuǎn)角，剛體旋轉(zhuǎn)角 如圖，如圖，PEPE為直角為

48、直角QPSQPS的平分線；此直的平分線；此直角形變后成為角形變后成為QPSQPS，角平分線，角平分線PEPE形變后旋轉(zhuǎn)到形變后旋轉(zhuǎn)到PEPE的方向，所旋轉(zhuǎn)的方向，所旋轉(zhuǎn)的角度稱為剛體旋轉(zhuǎn)角的角度稱為剛體旋轉(zhuǎn)角 yuxvtgbtgabaabaSEPSPE212121459021Q:Q:剛體旋轉(zhuǎn)角是否引起點(diǎn)的相對(duì)位移發(fā)生變化？剛體旋轉(zhuǎn)角是否引起點(diǎn)的相對(duì)位移發(fā)生變化？ 最大最小主應(yīng)變最大最小主應(yīng)變 n 若平面坐標(biāo)系的若平面坐標(biāo)系的y y軸指北，則軸指北，則 ， 和和 分別表示一點(diǎn)上東西方分別表示一點(diǎn)上東西方向和南北方向的伸縮率（線應(yīng)變）以及這兩方向之間的角度的變化（切應(yīng)向和南北方向的伸縮率（線應(yīng)變）

49、以及這兩方向之間的角度的變化（切應(yīng)變），這是一組應(yīng)變量。就任一地面點(diǎn)來說，在方位角為變），這是一組應(yīng)變量。就任一地面點(diǎn)來說，在方位角為 的任一方向的任一方向以及與其垂直的方向上，都有一組應(yīng)變量以及與其垂直的方向上，都有一組應(yīng)變量 ， 和和 。按按彈性力學(xué)理論，在這許許多多成對(duì)的方向中，存在著一對(duì)互相垂直的特殊彈性力學(xué)理論，在這許許多多成對(duì)的方向中，存在著一對(duì)互相垂直的特殊方向，它們的線應(yīng)變分別達(dá)到最大值方向，它們的線應(yīng)變分別達(dá)到最大值 和最小值和最小值 ，稱為主應(yīng)變，稱為主應(yīng)變，按下式計(jì)算按下式計(jì)算 : :xyxy9090,12122211122xyxyxy122221122xyxyxy二維應(yīng)

50、變張量（具體推導(dǎo)）二維應(yīng)變張量（具體推導(dǎo)）),(yx根據(jù)彈性力學(xué)理論，已知一點(diǎn)的應(yīng)變張量根據(jù)彈性力學(xué)理論，已知一點(diǎn)的應(yīng)變張量 ,則在該點(diǎn)沿方向則在該點(diǎn)沿方向 的線應(yīng)變?yōu)榈木€應(yīng)變?yōu)?yxxyyyyxxxT222),(yx另有方向另有方向與與 重直重直, 則則 、 間的剪應(yīng)變?yōu)殚g的剪應(yīng)變?yōu)?)2(222Tyxxyyyyyxxxx )sin,(cos)cos,(sin如果如果 與與 x軸正向、軸正向、y 軸正向的夾角分別為軸正向的夾角分別為 和和 即即90二維應(yīng)變張量二維應(yīng)變張量則可得則可得2sinsincos22xyyx2cos2sin)(090,xyyx是否存在某個(gè)方向使得線應(yīng)變?nèi)〉脴O值？是否存

51、在某個(gè)方向使得線應(yīng)變?nèi)〉脴O值？根據(jù)線性代數(shù)理論知道，根據(jù)線性代數(shù)理論知道，這實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為求實(shí)對(duì)稱矩陣這實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為求實(shí)對(duì)稱矩陣 的特征值問題的特征值問題，即線應(yīng)變的，即線應(yīng)變的極值極值 與極值方向與極值方向 滿足下列方程滿足下列方程 0)(Ixyxy21Q:求極值的另一種方法！求極值的另一種方法！據(jù)此可得到據(jù)此可得到 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 0212IIyxyyxx211yxI22xyyxI主應(yīng)變的計(jì)算公式為主應(yīng)變的計(jì)算公式為 222221)(212)(212yxxyyxyxxyyx 求地殼主應(yīng)變的圖解法求地殼主應(yīng)變的圖解法 2cos2221212sin)(122212221222圓

52、的方程圓的方程 最大剪切應(yīng)變最大剪切應(yīng)變 21m取主軸為坐標(biāo)軸，則主應(yīng)變?nèi)≈鬏S為坐標(biāo)軸，則主應(yīng)變 和和 可以表示為可以表示為這一方程稱為應(yīng)變圓錐曲線。這一方程稱為應(yīng)變圓錐曲線。若若 和和 同符號(hào)，此曲線為橢圓；同符號(hào)，此曲線為橢圓；若兩者反符號(hào)，則為雙曲線；若若兩者反符號(hào)，則為雙曲線；若 ，則為等軸雙曲線。，則為等軸雙曲線。 12kyx22211212應(yīng)變橢圓應(yīng)變橢圓 最大和最小應(yīng)變最大和最小應(yīng)變 ， 分別是分別是應(yīng)變橢圓的長半軸和短半軸應(yīng)變橢圓的長半軸和短半軸, ,長軸長軸的方位角的方位角 按下式計(jì)算按下式計(jì)算 121yxxytg121三維應(yīng)變張量三維應(yīng)變張量zzwyywxxwwzzvyyv

53、xxvvzzuyyuxxuuyxzzyzxxzyzyyxzyxzxyxxyzyxwzxzyxvyzzyxu212121212121,.xux,.yuxvyxxy.2,.2yuxvzvywzx三維應(yīng)變張量三維應(yīng)變張量2222kxyzxyzzyxxyzxyzzyx應(yīng)變二次曲面應(yīng)變二次曲面，它的三軸是主應(yīng)變軸，主軸方向上的線應(yīng)變它的三軸是主應(yīng)變軸，主軸方向上的線應(yīng)變是是主應(yīng)變主應(yīng)變321,321zyx體膨脹體膨脹 三維應(yīng)變張量三維應(yīng)變張量112211221122xxyxzxyyyzxzyzz利用三維應(yīng)變張量利用三維應(yīng)變張量6個(gè)應(yīng)變分量可以對(duì)地殼應(yīng)變作全面的描述，個(gè)應(yīng)變分量可以對(duì)地殼應(yīng)變作全面的描述，

54、提供更有地球物理意義的信息提供更有地球物理意義的信息 ！應(yīng)變場的圖示應(yīng)變場的圖示：應(yīng)變場通常采用面應(yīng)變等直線、最大剪應(yīng)變等直線或應(yīng)變場通常采用面應(yīng)變等直線、最大剪應(yīng)變等直線或（以及）主應(yīng)變矢量圖等來表示。（以及）主應(yīng)變矢量圖等來表示。應(yīng)變場的圖示應(yīng)變場的圖示面應(yīng)變等值線圖面應(yīng)變等值線圖 非連續(xù)變形分析非連續(xù)變形分析最大剪應(yīng)變等值線圖最大剪應(yīng)變等值線圖 非連續(xù)變形分析非連續(xù)變形分析 有限元模型計(jì)算的中國大陸主應(yīng)變場有限元模型計(jì)算的中國大陸主應(yīng)變場 主應(yīng)變主應(yīng)變 非連續(xù)變形分析非連續(xù)變形分析Strain Rate of Blocks 區(qū)域地殼運(yùn)動(dòng)應(yīng)變分析區(qū)域地殼運(yùn)動(dòng)應(yīng)變分析1 1、應(yīng)變分析中所用的

55、兩種基本數(shù)據(jù)應(yīng)變分析中所用的兩種基本數(shù)據(jù)2 2、應(yīng)變分析方法、應(yīng)變分析方法3 3、有限單元應(yīng)變分析法有限單元應(yīng)變分析法4 4、地形變資料求解應(yīng)變值的歸化地形變資料求解應(yīng)變值的歸化 應(yīng)變分析中所用的兩種基本數(shù)據(jù)應(yīng)變分析中所用的兩種基本數(shù)據(jù) (1) (1) 新、舊測量的原始觀測資料，新、舊測量的原始觀測資料， (2) (2) 根據(jù)新、舊測量結(jié)果的比較得出的位移場。根據(jù)新、舊測量結(jié)果的比較得出的位移場。兩者優(yōu)缺點(diǎn)兩者優(yōu)缺點(diǎn)利用原始觀測資料時(shí)，要求新、舊測量的網(wǎng)形和觀測量都相同，因而其適用利用原始觀測資料時(shí)，要求新、舊測量的網(wǎng)形和觀測量都相同，因而其適用性受到一些限制；其優(yōu)點(diǎn)是，不依賴其他的觀測量，避

56、免了監(jiān)測網(wǎng)平差性受到一些限制；其優(yōu)點(diǎn)是，不依賴其他的觀測量，避免了監(jiān)測網(wǎng)平差中因基準(zhǔn)點(diǎn)設(shè)定不當(dāng)?shù)仍驇淼挠绊?。中因基?zhǔn)點(diǎn)設(shè)定不當(dāng)?shù)仍驇淼挠绊憽?利用位移場時(shí)，由于網(wǎng)中各點(diǎn)的位移向量是根據(jù)新、舊平差結(jié)果的坐標(biāo)之差利用位移場時(shí)，由于網(wǎng)中各點(diǎn)的位移向量是根據(jù)新、舊平差結(jié)果的坐標(biāo)之差得出的，為了使位移場能反映實(shí)際地殼應(yīng)變，把殘余的誤差影響化為最得出的，為了使位移場能反映實(shí)際地殼應(yīng)變，把殘余的誤差影響化為最小，必須采取特殊的平差方法，例如自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差。其優(yōu)點(diǎn)是，小，必須采取特殊的平差方法，例如自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差。其優(yōu)點(diǎn)是，所有的觀測量都可用于應(yīng)變分析，并不要求新、舊測量中的觀測量都相所有

57、的觀測量都可用于應(yīng)變分析，并不要求新、舊測量中的觀測量都相同，只是要求它們屬于同一大地基準(zhǔn)。此外，在求定位移場的平差過程同，只是要求它們屬于同一大地基準(zhǔn)。此外，在求定位移場的平差過程中，可以濾掉觀測數(shù)據(jù)的粗差和估計(jì)觀測質(zhì)量；而且由各點(diǎn)位移向量的中，可以濾掉觀測數(shù)據(jù)的粗差和估計(jì)觀測質(zhì)量；而且由各點(diǎn)位移向量的圖解，可以看出各點(diǎn)位移的趨勢。圖解，可以看出各點(diǎn)位移的趨勢。目前側(cè)重于利用位移場目前側(cè)重于利用位移場。 應(yīng)變分析方法應(yīng)變分析方法均勻應(yīng)變場的位移分析法均勻應(yīng)變場的位移分析法有限單元法有限單元法 （FEMFEM）樣條函數(shù)擬合法樣條函數(shù)擬合法不連續(xù)變形分析法（不連續(xù)變形分析法（DDADDA）數(shù)值流

58、形方法（數(shù)值流形方法（FEM+DDAFEM+DDA）均勻應(yīng)變場位移分析法均勻應(yīng)變場位移分析法 設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn) P P（ ， ）無限接近的另一點(diǎn)）無限接近的另一點(diǎn) M M（ , , ）經(jīng)變形后）經(jīng)變形后其位移分量的關(guān)系為其位移分量的關(guān)系為：xydxxdyy可推得位移與應(yīng)變的關(guān)系為可推得位移與應(yīng)變的關(guān)系為：yuxvyxxy2/ )(yuxvdxdydxvvdydydxuuyyxxyx2121dxdydyyuxvyuxvdxyuyuxvxvdxxvdydydyyuxvyuxvdyxvxvyuyudyyuzxyzxy21)()(21)21212121(21)()(21)21212121(而而dxxvdy

59、vdyyvdxxvvvdyyudxudyyudxxuuuyx其實(shí)用公式為：其實(shí)用公式為：xyxvvyyxuuyyxxyx2121xyxvvyyxuuyxyxyxyxxyxy2121因?yàn)镾train accumulation and rotation rate model(Jaeger, 1964) 應(yīng)變累積和旋轉(zhuǎn)率模型應(yīng)變累積和旋轉(zhuǎn)率模型xyxVvyyxVvnnennneneeeeRigid Body Translation Velocity of Blocks Strain Rate of Blocks Rotation Rate of Blocksu采用有限單元應(yīng)變分析法，就是把一個(gè)大區(qū)域分割成采用有限單元應(yīng)變分析法，就是把一個(gè)大區(qū)域分割成一些有限的小區(qū)。三角網(wǎng)和三邊網(wǎng)的基本圖形是三角一些有限的小區(qū)。三角網(wǎng)和三邊網(wǎng)的基本圖形是三角形，把它作為有限單元比較方便。分別對(duì)各三角形進(jìn)形，把它作為有限單元比較方便。分別對(duì)各三角形進(jìn)行應(yīng)變分析，就可以得到接近于真實(shí)的地殼應(yīng)變情況。行應(yīng)變分析，就可以得到接近于真實(shí)的地殼應(yīng)變情況。有限單元應(yīng)變分析法有限單元應(yīng)變分析法u在應(yīng)用三角形直接計(jì)算應(yīng)變時(shí)，根據(jù)公式我們可以直接看到在應(yīng)用三角形直接計(jì)算應(yīng)變時(shí)，根據(jù)公式我們可以直接看到計(jì)算的結(jié)果與三角形的大小有明顯關(guān)系。另外，統(tǒng)計(jì)結(jié)果也計(jì)算的結(jié)果與三角形的大小