巖石類材料軸對稱壓縮應(yīng)力強度因子的解法

巖石類材料軸對稱壓縮應(yīng)力強度因子的解法

1裂紋變化對于應(yīng)力場的影響含裂縫巖體通常用于自然界，其力學(xué)特性與各種大型工程的安全運行密切相關(guān)。近年來巖石力學(xué)領(lǐng)域的研究工作有了不斷的深入，并取得了重要進(jìn)展：針對無限板，文利用G準(zhǔn)則和不連續(xù)位移法(DDM)研究了巖石等脆性材料在壓縮荷載作用下裂紋的開裂情況；文利用試驗的方法得到了裂紋在單軸受壓情況下應(yīng)力場的變化；文研究了裂紋在壓縮狀態(tài)下的聯(lián)合情況，以及翼形裂紋和次級裂紋的初始應(yīng)力和初始開裂角；文進(jìn)行了單軸受荷條件下巖石的聲學(xué)特性模型與試驗研究；文[5在斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)上，對于材料整體受拉和局部受壓情況下裂紋的閉合問題進(jìn)行了討論。針對有限板，文利用CT對外力作用下土體內(nèi)部裂隙發(fā)育過程進(jìn)行了研究；文用權(quán)函數(shù)法研究了板寬對一些簡單的I型應(yīng)力強度因子的影響。盡管如此，從理論到實踐尚有許多問題都還未得到解決。例如，在工程實踐中常常遇到受壓巖石的斷裂問題，并且，裂紋的長度與有限結(jié)構(gòu)的尺寸相比已不能忽略，因而對這方面進(jìn)行深入的研究具有重要的理論與實踐意義。本文利用“偽力法”結(jié)合邊界配置法給出了解決有限邊界對應(yīng)力強度因子影響的方法。以往的斷裂模型是建立在裂面應(yīng)力邊界為自由邊界條件下的，而事實上裂面上存在摩擦力。本文所建立的模型，裂面上作用有偽力。2材料的復(fù)勢函數(shù)由文理論，利用復(fù)變函數(shù)法，其應(yīng)力場和位移場可表示為式中：F(z)，O(z)均為平面內(nèi)的復(fù)勢函數(shù)；G為材料剪切彈性模量；χ=3-4ν(平面應(yīng)變)，(平面應(yīng)力)，ν為材料泊松比；u,v分別為x,y方向的位移分量；均為應(yīng)力分量。3裂面應(yīng)力邊界條件如圖1所示的矩形有限板中含有1條斜裂紋，其中心與矩形板中心重合，板寬為2W，板長為2H，中心斜裂紋長為2a，裂面上x=b處作用有一對自相平衡的法向偽集中力P，矩形邊界上有力p(x,y)和q(x,y)作用。計算中采用圖1所示的坐標(biāo)系：坐標(biāo)原點位于裂紋中心，裂紋與x軸重合。與圖1相應(yīng)的裂面應(yīng)力邊界條件為式中：δ為Dirac函數(shù)。由式(1b)和(2)可得考慮到裂紋尖端附近應(yīng)力場具有r-1/2的奇異性，結(jié)合式(1e)和(3)及位移單值條件，可設(shè)式中：Ek,kF均為待定的復(fù)系數(shù)。由式(4a)可得由式(1d)，結(jié)合式(4a)，(4b)和(5)可得為了在引入邊界條件時表述的方便，設(shè)邊界條件為(1)在邊界AB,BC,CD,DA上均有(2)z=b時，有在如圖1所示的矩形有限板外部邊界和內(nèi)部裂紋處分別選取一定的配點。根據(jù)邊界條件，對于任選的一個配點，式(6)左邊已知，右邊項中包含待定的復(fù)系數(shù)Ek,kF，可根據(jù)精度要求選定冪級數(shù)的項數(shù)，然后根據(jù)未知數(shù)的個數(shù)選定配點數(shù)，即確定方程的個數(shù)。當(dāng)方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)時，方程即可求解。但通常為了得到較好的結(jié)果，可取較多配點，用最小二乘法求解待定的復(fù)系數(shù)Ek,kF，再根據(jù)式(4a)，(4b)和(5)求得復(fù)勢函數(shù)?(z)，ω(z)和F(z)的表達(dá)式。4裂紋表面邊界條件考慮尺寸如圖2所示的矩形有限板，矩形邊界上有力p(x,y)，q(x,y)作用，矩形有限板中所含斜裂紋，其中心與矩形有限板中心重合，裂面上x=b處作用有一對自相平衡的切向偽集中力Q。與圖2相應(yīng)的裂面應(yīng)力邊界條件為由式(1b)和(8)可得同樣，根據(jù)式(1e)，(9)，考慮到裂紋尖端附近應(yīng)力場的奇異性及位移單值條件，可有由式(10a)結(jié)合式(1e)，可得邊界條件為(1)在邊界AB,BC,CD,DA上均有(2)在z=b時有在如圖2所示的矩形有限板外部邊界和內(nèi)部裂紋處分別選取一定的配點。根據(jù)邊界條件，對于任選的一個配點，式(12)左邊已知，右邊項中包含待定的復(fù)系數(shù)Ek,kF，可根據(jù)精度要求選定好冪級數(shù)的項數(shù)，然后根據(jù)未知數(shù)的個數(shù)選定配點數(shù)。同樣，為了得到較好的結(jié)果，可取較多配點，用最小二乘法求解待定的復(fù)系數(shù)Ek,kF，再根據(jù)式(10a)，(10b)和(11)求得復(fù)勢函數(shù)?(z)，ω(z)和F(z)的表達(dá)式。5應(yīng)力強度因子考慮幾何尺寸如圖3所示的矩形有限板，矩形有限板中有一斜裂紋，其中心與矩形有限板中心重合，裂紋面上作用有任意分布的偽力。前面已分別得到任意點處有法向偽集中力作用和切向偽集中力作用時的勢函數(shù)，當(dāng)裂紋表面上作用任意分布的法向偽集中力P(x)和切向偽集中力Q(x)時，勢函數(shù)可利用疊加原理積分得到，即式中：F1(z)為法向偽集中力作用時的復(fù)勢函數(shù)，如式(5)；F2(z)為切向偽集中力作用時的復(fù)勢函數(shù)，如式(11)。對于如圖4所示的矩形有限板中含有1條斜裂紋，其中心與矩形有限板中心重合，板寬為2W，板長為2H，中心斜裂紋長為2a，裂紋傾角為β，受雙向壓應(yīng)力σyy(z)，σxx(z)作用。由“偽力法”和疊加原理，同時考慮到裂紋面的摩擦作用，可得其遠(yuǎn)場應(yīng)力在裂紋面上的作用力為式中：τ′為裂面間由于裂紋面的相互滑動或滑動趨勢所產(chǎn)生的相對摩擦力；Q(x)eff為有效剪應(yīng)力；f為裂紋面上的摩擦系數(shù)，f=tan?，?為裂紋面的內(nèi)摩擦角，與裂紋面的粗糙程度有關(guān)，同時還受濕度的影響。將式(14a)，(14b)分別代入式(5)，(11)，可得復(fù)勢函數(shù)F1(z)，F(xiàn)2(z)，再將所得的復(fù)勢函數(shù)F1(z)和F2(z)代入式(13)，從而可得勢函數(shù)F(z)。則應(yīng)力強度因子可由下式計算：式中：z=±a分別為裂紋的右端點和左端點。由于在壓縮荷載作用下不產(chǎn)生張開斷裂，式(15)中的應(yīng)力強度因子KI為負(fù)值，其意義是引起裂紋的閉合。6裂紋傾角試驗(1)在如圖5所示的巖石試樣的中央，預(yù)制1條穿透矩形板的裂紋，取長×寬=2H×2W=100mm×100mm，中心斜裂紋長2a=10mm，裂紋傾角為β。試驗中預(yù)裂紋裂面一般比較平直、光滑，摩擦系數(shù)應(yīng)取較小值。這里裂面間的摩擦系數(shù)可取f=0.2。(2)如圖5所示,軸向均布壓力作用下,裂紋傾角β=45°,摩擦系數(shù)f=0.2,時,有限板中的關(guān)系曲線、的關(guān)系曲線分別如圖6(a),(b)所示。斜裂紋的應(yīng)力強度因子見表1。7紋表面邊界條件對于有限板或裂紋分布復(fù)雜的情況，難以選擇能滿足控制方程和全部邊界條件的函數(shù)。本文的思路是選擇滿足控制方程和裂紋表面邊界條件的函數(shù)，作為權(quán)函數(shù)的基本解嚴(yán)格滿足問題的微分