專題：橢圓中最值問(wèn)題求解策略

1、專題：橢圓中最值問(wèn)題求解策略有關(guān)圓錐曲線的最值問(wèn)題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時(shí)的高考復(fù)習(xí)需有所重視。圓錐曲線最值問(wèn)題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。要解決這類問(wèn)題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來(lái)解決。第一類：求離心率的最值問(wèn)題破解策略之一：建立的不等式或方程例1：若為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使，求此橢圓離心率的最小值。分析：建立之間的關(guān)系是解決離心率最值問(wèn)題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化為

2、邊的思想，但條件又不是與焦點(diǎn)有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中的取值進(jìn)行求解離心率的最值。解：不妨設(shè)，則，利用到角公式及得：（），又點(diǎn)在橢圓上，故，消去， 化簡(jiǎn)得又即則，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的高次不等式 解得。故橢圓離心率的最小值為。（或，得：，由，故）（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問(wèn)題關(guān)鍵是如何建立之間的關(guān)系。常用橢圓上的點(diǎn)表示成，并利用橢圓中的取值來(lái)求解范圍問(wèn)題或用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求范圍例2：已知橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)為，如果曲線C上存在一點(diǎn)Q，使，求橢圓離心率的最小值。分析：根據(jù)條件可采用多種方法

3、求解，如例1中所提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會(huì)有不錯(cuò)的效果。解：根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得：故，故橢圓離心率的最小值為。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此法求最值問(wèn)題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。第二類：求點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線）的最值問(wèn)題破解策略之三：建立相關(guān)函數(shù)并求函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法）例3：（05年上海）點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，。（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值。分析：解決兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是

4、給它們建立一種函數(shù)關(guān)系，因此本題兩點(diǎn)距離可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解。解：（1）略 （2）直線AP的方程是+6=0。 設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是。 于是=,又66,解得=2。 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離 ,由于66, 當(dāng)=時(shí),d取得最小值點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問(wèn)題關(guān)鍵是如何將點(diǎn)點(diǎn)之間的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們常見(jiàn)函數(shù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解。破解策略之四：利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化例4：定長(zhǎng)為的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。解：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖作于A'，BB'于B'，MM'于M'，則當(dāng)且僅當(dāng)AB過(guò)焦

5、點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立。故M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為。點(diǎn)評(píng)：是橢圓的通徑長(zhǎng)，是橢圓焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值，是AB過(guò)焦點(diǎn)的充要條件。通過(guò)定義轉(zhuǎn)化避免各種煩瑣的運(yùn)算過(guò)程。第三類：求角的最值問(wèn)題例5：（05年浙江）如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|A1F1|21。 ()求橢圓的方程； OF2F1A2A1PM()若直線l1：xm(|m|1)，P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo) (并用m表示) 。分析：本題考查解析幾何中角的最值問(wèn)題常采用到角 （夾角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，結(jié)合 本題的實(shí)際，考慮用夾角

6、公式較為妥當(dāng)。解：（）（過(guò)程略）（II）設(shè)P(當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 只需求的最大值即可。直線的斜率，直線的斜率利用夾角公式得：當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，最大，最大值為。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問(wèn)題關(guān)鍵是如何將角的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何中的相關(guān)知識(shí)最值問(wèn)題，一般可用到角（夾角）公式、余弦定理、向量夾角進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求分式函數(shù)的值域問(wèn)題。第四類：求（三角形、四邊形等）面積的最值問(wèn)題例6：（05年全國(guó)II）、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值分析：本題是向量與解析幾何的結(jié)合，主要是如何選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)拿娣e計(jì)算公式達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，并結(jié)合分類討論與求最值的思想。解：如圖，由條

7、件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為，又PQ過(guò)點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則 QPNMFO從而亦即(1)當(dāng)0時(shí)，MN的斜率為，同上可得： 故所求四邊形的面積令=得=2 當(dāng)=±1時(shí)=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸，|MN|=2，|PQ|=。S=|PQ|MN|=2綜合知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問(wèn)題關(guān)鍵是選擇一個(gè)適當(dāng)或合理的面積公式轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)函數(shù)反比例函數(shù)形式的最

8、值問(wèn)題。第五類：求線段之和（或積）的最值問(wèn)題破解策略之五：利用垂線段小于等于折線段之和。例7：若橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)使得的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A B C D提示：聯(lián)系到將用第一定義轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離問(wèn)題，利用垂線段最短的思想容易得到正確答案。選。思考：將題中的2去掉會(huì)怎樣呢？破解策略之六：利用三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊例8：如圖，在直線上任意取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)作橢圓，問(wèn)當(dāng)在何處時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求出最短長(zhǎng)軸為多少？PMyOlF1F2xN分析：要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，當(dāng)然想到橢圓的定義。基本的解題思路如下：長(zhǎng)軸最短三點(diǎn)一直線尋

9、求對(duì)稱對(duì)稱變換。在一系列的變化過(guò)程中巧妙的運(yùn)用對(duì)稱，使我們找到一種簡(jiǎn)明的解題方法。通過(guò)此對(duì)稱性主要利用解：橢圓的兩焦點(diǎn)分別為（3，0）、（3,0），作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則直線的方程為由方程組得的坐標(biāo)（6，3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)（9,6）,所以直線的方程。解方程組得點(diǎn)坐標(biāo)（5,4）。由于，點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問(wèn)題是將所求的最值轉(zhuǎn)化成三角形兩邊之和大于第三邊或兩點(diǎn)連線最短、垂線段最短的思想。除了上述幾類之外，高考中還有數(shù)量積的最值問(wèn)題、直線斜率（或截距）的最值問(wèn)題等等，由此可見(jiàn)對(duì)于橢圓中的最值問(wèn)題所涉及范圍較廣，從中也滲透了求最值的一些常規(guī)方法，運(yùn)用定義、平面幾何知識(shí)可更有效地將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成

10、形的最值問(wèn)題。橢圓最值問(wèn)題橢圓中的最值問(wèn)題是比較重要的課題，它主要體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，涉及到的知識(shí)有橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程、三角函數(shù)、二次函數(shù)、不等式等內(nèi)容。能夠考查學(xué)生的分析能力、理解能力、知識(shí)遷移能力、解決問(wèn)題的能力等等。橢圓中的最值問(wèn)題通常有兩類：一類是有關(guān)長(zhǎng)度、面積等的最值問(wèn)題；一類是橢圓中有關(guān)元素的最值問(wèn)題。這些問(wèn)題往往通過(guò)回歸定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來(lái)解決。策略一：定義法F2F1M1M2例1、（1）P(-2,),F2為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求MP+MF2的最大值和最小值。分析：欲求MP

11、+MF2的最大值和最小值o可轉(zhuǎn)化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義MF2=2a-MF1, F1為橢圓的左焦點(diǎn)。解：MP+MF2=MP+2a-MF1連接PF1延長(zhǎng)PF1交橢圓于點(diǎn)M1,延長(zhǎng)F1P交橢圓于點(diǎn)M2由三角形三邊關(guān)系知PF1MP-MF1PF1當(dāng)且僅當(dāng)M與M1重合時(shí)取右等號(hào)、M與M2重合時(shí)取左等號(hào)。因?yàn)?a=10, PF1=2所以（MP+MF2）max=12, （MP+MF2）min=8結(jié)論1：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2, P(x0,y0)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，M(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則MP+MF2的最大值為2a+PF1,最小值為2aPF1。（2）P(-2,6),F2為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)

12、M在橢圓上移動(dòng)，求MP+MF2的最大值和最小值。 分析：點(diǎn)P在橢圓外，PF2交橢圓于M，此點(diǎn)使MP+MF2值最小，求最大值方法同例1。解：MP+MF2=MP+2a-MF1連接PF1并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)M1，則M在M1處時(shí)MP-MF1取最大值PF1。MP+MF2最大值是10+，最小值是。結(jié)論2：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2, P(x0,y0)為橢圓外一點(diǎn)，M(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則MP+MF2的最大值為2a+PF1，最小值為PF2。xyMAFM0F演練1、已知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，M使這橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（2,2）是一個(gè)定點(diǎn)，求|MA|+|MF|的最小值。解：設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)，則|MF|+|

13、MF|=2a=10, 要使|MA|+|MF|最小，當(dāng)A在橢圓外時(shí)，可為A、F的連接與橢圓的交點(diǎn)，而使|MA|+|MF|的最小值等于|AF|，當(dāng)A在橢圓內(nèi)部時(shí)（見(jiàn)圖）,|MA|+|MF|=|MA|+(2a-|MF|)=2a-(|MF|-|MA|), |MF|-|MA|AF|= 即|MF|-|MA|的最大值為（M在M0處取得），|MA|+|MF|的最小值為.評(píng)注：這個(gè)問(wèn)題是用橢圓第一定義中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使問(wèn)題化歸為幾何中求最大（?。┲档幕灸Ｊ剑饕抢萌切沃袃蛇呏痛笥诘谌?，兩邊之差小于第三邊等結(jié)論.演練2、已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)（1，0）是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，求|PA

14、|+3|PF|的最小值.解：橢圓右準(zhǔn)線設(shè)P在上的射影為D，由橢圓第二定義有.過(guò)A作于E,交橢圓于P3, P3使得達(dá)到最小值為7,此時(shí)P3坐標(biāo)為評(píng)析：利用第二定義實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化，本小題一般情形“假如題設(shè)與本題類同，所求的便是的最小值（也適合于雙曲線、拋物線）策略二：二次函數(shù)法例2、求定點(diǎn)A(a,0)到橢圓上的點(diǎn)之間的最短距離。分析：在橢圓上任取一點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式表示PA，轉(zhuǎn)化為x,y的函數(shù)，求最小值。解：設(shè)P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，PA2=(x-a)2+y2 =(x-a)2+1-2=+1-a2由橢圓方程知x的取值范圍是-（1） 若a,則x=2a時(shí)PAmin=（2） 若a>,則x=

15、時(shí)PAmin=a（3） 若a<,則PAmin=a+結(jié)論3：橢圓上的點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)A(m,0)或B(0,n)距離的最值問(wèn)題，可以用兩點(diǎn)間距離公式表示MA或MB，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。策略三：三角函數(shù)法例3、橢圓上的點(diǎn)M(x,y)到直線l：x+2y=4的距離記為d,求d的最值。分析：若按例3那樣d=轉(zhuǎn)化為x或y的函數(shù)就太麻煩了，為了統(tǒng)一變量，可以用橢圓的參數(shù)方程，即三角換元。解：d= 令 則d= 當(dāng)sin=1時(shí),dmin=, 當(dāng)sin=1時(shí),dmax=結(jié)論4：若橢圓上的點(diǎn)到非坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離求最值時(shí),可通過(guò)橢圓的參數(shù)方程，統(tǒng)一變量轉(zhuǎn)

16、化為三角函數(shù)求最值。演練1、求橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離.解：橢圓的參數(shù)方程為則橢圓上任意一點(diǎn)P坐標(biāo)為,到直線的距離為= ，d取最大值，即；，d取最小值，即評(píng)析：因?yàn)闄E圓方程為類似于三角中的同角的平方關(guān)系,故經(jīng)常用三角代換轉(zhuǎn)化為角的運(yùn)算，對(duì)于解題往往會(huì)收到奇效，但一定要注意角的范圍.策略四：判別式法例4、橢圓上的點(diǎn)M(x,y)到直線l：x+2y=4的距離記為d,求d的最值。分析：把直線平移使其與橢圓相切，有兩種狀態(tài)，一種可求最小值，另一種求最大值。解。令直線m：x+2y+c=0 將x=2yc代入橢圓方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由=0解得c=±, c=- 時(shí)直線m

17、：x+2y-=0與橢圓切于點(diǎn)P,則P到直線l的距離為最小值，且最小值就是兩平行直線m與l的距離，所以dmin=c=時(shí)直線m：x+2y+=0與橢圓切于點(diǎn)Q，則Q到直線l的距離為最大值，且最大值就是兩平行直線m與l的距離，所以dmax=。結(jié)論5：橢圓上的點(diǎn)到定直線l距離的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為與l平行的直線m與橢圓相切的問(wèn)題,利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。說(shuō)明：有些題目可以用幾種不同的方法去解決，我們必須清楚它們的最優(yōu)解法，以便提高做題速度及準(zhǔn)確率。策略五：均值不等式法例5、橢圓上上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之積為m，則m取最大值時(shí)，p點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）(A) (B) (C) (D)評(píng)析：因?yàn)闄E圓第一定義為|PF1|+|PF2|=2a, 2a為定值，這正符合均值不等式和一定時(shí)，積有最大值這個(gè)結(jié)論.因而由|PF1|+|PF2|=