常用離散型和連續(xù)型隨機變量

1、word常用離散型隨機變量的分布函數(shù)(1) 離散型隨機變量1 概念：設X是一個隨機變量，如果X的取值是有限個或者無窮可列個，如此稱X為離散型隨機變量。其相應的概率P(X Xi) Pi (i 1、2)稱為X的概率分布或分布律，表格表示形式如下：XX 1X 2X 3X iPP 1P 2P 3p i2性質：Pi0nPi 1i 1分布函數(shù)F ( x)PiXj XPXXiF(x) F(Xi 1)連續(xù)型隨機變量1 概念：如果對于隨機變量的分布函數(shù) F(x)，存在非 負的函數(shù)f(X)，使得對于任意實數(shù)X，均有：XF(x) f(X)dX如此稱X為連續(xù)型隨機變量，f (x)稱為概率密度函數(shù)或者密度函數(shù)。2 連續(xù)

2、型隨機變量的密度函數(shù)的性質f(x) 0f(x)dx 1Pa X b F(b) F(a) f (x)dx假如f (x)在x點連續(xù)，如此F (x) f (x)連續(xù)型隨機變量和離散型隨機變量的區(qū)別：1 由連續(xù)型隨機變量的定義，連續(xù)型隨機變量的定義域是,，對于任何 x ,PX xo F(xo) F(xo ) 0 ；而對于離散型隨機變量的分布函數(shù)有有限個或可列個連 續(xù)點，其圖形呈階梯形。2 概率密度f(x) 一定非負，但是可以大于1，而離散型隨機變量的概率分布pi不僅非負，而且一定不大于1.3 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，因此 X取任何 給定值的概率都為0.4 對任意兩個實數(shù)a b，連續(xù)型隨機變

3、量X在a與b之 間取值的概率與區(qū)間端點無關，即：Pa X b Pa X bPa X b Pa X bF(b) F(a)bf (x)dxa即: PX b PX b F(x)只取0、1兩個值的隨機變量，稱為0-1分布, 它用來描述只有兩種對立的結果成功與失 常用的離散型隨機變量的分布函數(shù)：1 0-1 分布：:間A出現(xiàn)與不出現(xiàn)的伯努利實驗。敗、合格與不合格、擊中目標與擊中目標、時如果離散型隨機變量X的概率分布PX kpkq1kK=0、10 p 1 q 1 p稱X服從參數(shù)為p的0-1分布。2 二項分布：如果離散型隨機變量X的概率分布為：PX k C：pkqnkk0、1 n 0 p 1 q 1 p稱X服

4、從參數(shù)為n、p的二項分布，簡記為X B(n, p)注：進展一次實驗，假如實驗的成功率為 p，如此在一次實驗 中成功的次數(shù)X服從參數(shù)為p的0-1分布二項分布描述n重伯努利實驗，假如每次試驗的成功率為 p , 如此進展n次獨立重復試驗，如此成功的總次數(shù)X服從參數(shù)為n、 p的二項分布如果X服從二項分布X B(n, p),如此Y=n-X服從二項分布 X B(n,1p)3 超幾何分布：如果離散型隨機變量X的概率分布為：PXmm n mN1CN2CN1 N2m 0、 n稱X服從參數(shù)為n, Ni、N2的超幾何分布，其中n, Ni、N2都 為正整數(shù)，且n< Ni+ N2當n N2時，去正概率的X值不是從

5、0開始，而是從n N2開 始；當n Ni時，去正概率的X值最大不是n,而是NJ4泊松分布Poisson如果隨機變量X的概率分布為：kPX ke k!k 0、1 n如此稱隨機變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，簡記為XP(). 總結：在離散型的幾個常用分布中，二項分布與其他幾個分布關 系最為密切：1) 參數(shù)為p的0-1分布，就是參數(shù)為 n、p的二項分布 B (n, p)當n=1時的特例；常用連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)1均勻分布：假如連續(xù)型隨機變量X的概率密度為:f (x)x其他廣1 a§ b a0如此稱X服從區(qū)間a, b上的均勻分布，其分布函數(shù)為:xxaa x ba1 x在a,b上服從均勻分布

6、的隨機變量 X在a,b內任一子區(qū)間上取值的概率只依賴于該子區(qū)間的長度，而與其在a,b內的位置無關。即：假如c,da,b，如此:11 / 8Pc X d2指數(shù)分布:如果連續(xù)型隨機變量的概率密度為:ef(x) 0口此稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其中 0 ,相應的分布函數(shù)為:F (x)e x x 00x0指數(shù)分布常用作一些電子元器件的使用壽命。指數(shù)分布具有無記憶性。3正態(tài)分布:A.正態(tài)分布的概率密度為:f(x)于 e(X )22 2其中和均為常數(shù)，且簡記為：X N( , 2)B.特別地，當1時,稱X服從標準正態(tài)分布，記作X N(0,1)，其概率密度為:(x)(x)表示。C.標準正態(tài)分布 X N(0,

7、1)的分布函數(shù)(x)與概率密度(x)的性質。a) ( x) (x)即(x)是一個偶函數(shù)(x)0即x軸是(x)的水平漸近線。xc) 分布函數(shù)F(x)();概率密度1 Xf(x)()。d) 假如 X N(0,1)，當 C>0 時，PX c 2 (c) 1假如隨機變量X服從正態(tài)分布X N( ,2)，如此x服從標準正態(tài)分布N(0,1)，且 N(0,1)2如果X N(,)，當a 0時，aX b服從正態(tài)分布N(ab,a2 2)。特別地，如果a=1,如此 X b N( b, 2)。2 2如果 X1 N( 1, 1 ),X2N( 2, 2 ),且X1、X2相互獨立，如此a1X1a2X2 N(a1 12a

8、2 2, a12 2 2、1a22 )(6)隨機變量的函數(shù)分布的求法設X是一個隨機變量，y g(x)是一個實函數(shù)，如此Y g(X)也是一個隨機變量，所謂求隨機變量的函數(shù)分布問題，就是X的分布與函數(shù)y g(x)，求隨機變量Y g(X)的概率分布或者概率密度乃至分布 函數(shù)。1 離散型隨機變量的函數(shù)分布的求法如果隨機變量的函數(shù)Y g(X)是離散型無論X是不是 離散型的的，求丫的分布只要逐點分析出丫的全部可能取值與 取各可能值的相應概率即可。2 連續(xù)型函數(shù)的分布的求法1.分布函數(shù)法：如果隨機變量的函數(shù)Y g(X)是連續(xù)型的， 最根本的方法是分布函數(shù)法，即先求出 丫的分布 函數(shù) FY(y) P(g(x) y)f(x)dx，然后通過g(x) y分布函數(shù)求出丫的概率密度，其中f (x)是隨機變 量X的概率密度。2.公式法如果X是連續(xù)型的隨機變量，y g(x)是x 的單調可到函數(shù)，其導數(shù)不為 0，如此丫的概率 密度f,y)可直接由X的密度fx(y)求出：fy(y)h (y) fx h(y) y Z(g)0其他其中x h(y)是函數(shù)y g(x)的反函數(shù)，Z(g)是 y g(x)的值域。3.方法總結：確定分布中位置參數(shù)的解題方法是建立所 求參數(shù)為未知量的方程或者方程組，從中解出所求參數(shù)， 建立分布中未知參數(shù)方程的主要方法有：1) 分布函數(shù)