無(wú)阻尼自由振動(dòng)

1、第二章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第一節(jié) 導(dǎo)引單自由度系統(tǒng)（Single-Degree-Freedom systems）是最簡(jiǎn)單的振動(dòng)系統(tǒng)，又是最基本的振動(dòng)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)在振動(dòng)分析中的重要性，一方面在于很多實(shí)際問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)來(lái)處理，從而可直接利用對(duì)這種系統(tǒng)的研究成果來(lái)解決問(wèn)題；另一方面在于單自由度系統(tǒng)具有一般振動(dòng)系統(tǒng)的一些基本特性，實(shí)際上，它是對(duì)多自由度系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)分析的基礎(chǔ)。所研究的振動(dòng)都是微幅振動(dòng)問(wèn)題（微振動(dòng)）。所謂微振動(dòng)是指系統(tǒng)受到外界干擾后，系統(tǒng)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離靜平衡位置，僅作微小的往復(fù)振動(dòng)。系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中所受到的各種力將認(rèn)為只與位移、速度等成線性關(guān)系，可以忽略可能出

2、現(xiàn)的高階微小量。例如單擺，其運(yùn)動(dòng)微分方程為把單擺作為線性系統(tǒng)研究，則令故有第二節(jié) 無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及其解自由振動(dòng)（free vibration）是指在外界干擾下依靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力所維持的振動(dòng)。一、運(yùn)動(dòng)方程及其解最簡(jiǎn)單的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)-有一個(gè)質(zhì)量和一根彈簧（彈簧的剛度系數(shù)為，它是彈簧每伸長(zhǎng)或縮短一個(gè)單位長(zhǎng)度所需施加的力，單位為）組成的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。彈簧原長(zhǎng)為。當(dāng)系統(tǒng)在沒(méi)有振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，稱為靜平衡。此時(shí)，系統(tǒng)在重力的作用下產(chǎn)生拉伸變形，稱為系統(tǒng)的靜變形。由靜力平衡條件有當(dāng)系統(tǒng)受到外界某種初始擾動(dòng)（例如用力將質(zhì)量塊偏離靜平衡位置后突然釋放，或給質(zhì)量塊以突然一擊使之得到

3、一個(gè)初始速度），使系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)遭到破壞，則彈簧力不再與重力平衡，從而產(chǎn)生不平衡的彈性恢復(fù)力，系統(tǒng)就依靠這種彈性恢復(fù)力在其靜平衡位置做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，稱為自由振動(dòng)。建立坐標(biāo)系：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，用表示質(zhì)量塊由靜平衡位置算起的垂直位移，且規(guī)定方向向下為正。質(zhì)量塊在振動(dòng)過(guò)程中任一瞬時(shí)位置的受力：不變的重力：彈簧力 ：根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有則有 （2-1）單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。兩點(diǎn)討論：（1）質(zhì)量塊的重力只對(duì)彈簧的靜變形有影響，即的大小只改變質(zhì)量塊的靜平衡位置，而不影響質(zhì)量塊在靜平衡位置附近作振動(dòng)的規(guī)律。因此，當(dāng)取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，在方程式（2-1）中就沒(méi)有重力

4、項(xiàng)，同時(shí)也沒(méi)有由靜變形引起的彈簧力這一項(xiàng)。（2）方程式（2-1）中 稱為彈性恢復(fù)力。它的大小和位移的大小成正比，方向始終與位移方向相反。因此，彈性恢復(fù)力的方向始終指向靜平衡位置，這是彈性恢復(fù)力的一個(gè)特點(diǎn)。令 則方程（2-1）可寫(xiě)為 （2-2）其通解為 （2-3）式中為任意常數(shù)它由初始條件時(shí)和來(lái)確定。將初始條件代入方程中，得 （2-4）它是由兩個(gè)相同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)組成，稱為系統(tǒng)對(duì)于初始條件為和的響應(yīng)。經(jīng)變換方程（2-4）該寫(xiě)為 （2-5）- 自由振動(dòng)的振幅（amplitude），它表示質(zhì)量塊離開(kāi)靜平衡位置的最大位移。- 初相位（initial phase）。由上式可見(jiàn)，振幅和相位都取決于初始條件

5、。這是自由振動(dòng)的共同特點(diǎn)。系統(tǒng)的固有圓頻率（natural circular frequency）系統(tǒng)的固有頻率（natural frequency）系統(tǒng)的固有周期（period）固有頻率和周期決定與系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)：質(zhì)量和彈簧剛度，而與自由振動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。因此，一旦確定了系統(tǒng)的質(zhì)量和彈簧剛度，則系統(tǒng)的固有頻率就有一個(gè)確定的值。固有頻率是振動(dòng)系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，是進(jìn)行振動(dòng)分析或動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)必不可少的參數(shù)。注：方程（2-5）也可寫(xiě)成如下形式例題1： 一卷?yè)P(yáng)機(jī)，通過(guò)鋼索和滑輪吊掛重物（如圖a所示）。重物重量W=147000N，以v=0.025m/s等速下降。如突然制動(dòng)，鋼索上端突然停止。這時(shí)

6、鋼索中的最大張力為多少？鋼索彈簧常數(shù)為k=5782×103 N/m 。 (a) (b) (c)注意：解題時(shí)各物理量的單位要統(tǒng)一。解： 在正常工作時(shí)，重物以等速下降，系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)，鋼索的張力為T(mén)1=k=W=147000 N由于鋼索是一彈性體，系統(tǒng)可表示為圖（b）的形式。 突然停止，把這一時(shí)刻作為事件的起點(diǎn)t=0，并以這一時(shí)刻重物靜平衡的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，則系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為圖（c）的模型。系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的固有頻率為施加于系統(tǒng)的初始條件為 代入 ，得A=0.00128 (m)則由振動(dòng)引起鋼索中的動(dòng)張力為 T2=kA=7400.96 (N)鋼索中的最大張力為T(mén)=T1+T2=154

7、400.96 (N)例題2： 有一彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，如圖所示。有一質(zhì)量m從高度h處自由落下，落在質(zhì)量m1上。假設(shè)為彈性碰撞，且沒(méi)有反彈。試確定系統(tǒng)由此而發(fā)生的自由振動(dòng)。（a） （b） （c） （d）注： 圖（c）是振動(dòng)起始時(shí)刻；圖（d）是振動(dòng)系統(tǒng)的靜平衡位置，也即系統(tǒng)坐標(biāo)原點(diǎn)位置。解：以m與m1碰撞這一時(shí)刻，作為時(shí)間的起點(diǎn)。 取質(zhì)量m和m1與彈簧k形成的新系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖（d）所示。 質(zhì)量m自由落下距離h，其速度為質(zhì)量m與m1 發(fā)生無(wú)反彈的彈性碰撞（動(dòng)量守恒）后，質(zhì)量m和m1的速度為則初始速度為 初始位移為系統(tǒng)的固有頻率為由初始條件所確定的系統(tǒng)的自由振動(dòng)為二、靜變形法- 計(jì)算固有

8、頻率的一種方法 （是彈簧在質(zhì)量塊處的靜變形） （2-6）故只要知道彈簧在質(zhì)量塊處的靜變形，就可以直接計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。這在一些實(shí)際問(wèn)題中，不能直接給出系統(tǒng)的彈簧剛度時(shí)，利用它計(jì)算固有頻率是比較方便的。例由材料力學(xué)撓曲線方程，得靜變形為 三、等效彈簧剛度對(duì)于實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)，盡管其外形各不相同，但都可把它們簡(jiǎn)化成彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為 - 等效質(zhì)量 - 等效剛度1. 等效剛度的定義剛度的定義：使系統(tǒng)的某點(diǎn)沿指定的方向產(chǎn)生單位位移（或角位移）時(shí)，在該點(diǎn)沿同一方向所要施加的力（或力矩），就稱之為系統(tǒng)在該點(diǎn)沿指定方向的剛度。設(shè)某點(diǎn)沿指定方向的位移為，在該點(diǎn)同一方向所施加的力為，則剛度為。（1）

9、桿的拉伸剛度（壓縮剛度）為求桿的拉伸剛度，可設(shè)在點(diǎn)處作用一拉力。此時(shí)桿作拉伸變形。由材力知點(diǎn)的拉伸變形為 則點(diǎn)沿方向的拉伸剛度為（2）梁的彎曲剛度由材力知，點(diǎn)的 靜撓度為 則點(diǎn)沿方向的彎曲剛度為（3）軸的扭轉(zhuǎn)剛度確定等直軸繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向的剛度，在點(diǎn)處繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向施加一扭矩，這時(shí)軸作扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角。根據(jù)材力扭轉(zhuǎn)角公式式中 則點(diǎn)繞方向的扭轉(zhuǎn)剛度為由上可見(jiàn)，即使是機(jī)械中的同一個(gè)元件，根據(jù)所要研究的不同方向的振動(dòng)，是會(huì)有不同剛度的。2. 彈簧的串并聯(lián)的等效剛度（教材1.5）振動(dòng)系統(tǒng)中常常會(huì)遇到把若干個(gè)彈簧串聯(lián)或并聯(lián)在一起使用。這種用組合彈簧組成的系統(tǒng)可用單一的具有等效剛度的彈簧表示。（1）串聯(lián)

10、彈簧的等效剛度兩根剛度分別為和的彈簧串聯(lián)在一起的系統(tǒng)，它可用等效剛度為的一根彈簧來(lái)代替。在串聯(lián)彈簧的點(diǎn)加一垂直力，顯然兩根彈簧所受到的力均相同，但伸長(zhǎng)不同，分別為和 ，則點(diǎn)的位移為兩根彈簧的總伸長(zhǎng)：則彈簧的串聯(lián)的等效剛度為或?qū)懗煽梢?jiàn)，串聯(lián)彈簧的作用可使系統(tǒng)中的彈簧剛度降低。根彈簧串聯(lián)，其等效剛度為（2）并聯(lián)彈簧的等效剛度兩根剛度分別為和的并聯(lián)彈簧可用一根等效剛度為彈簧來(lái)代替。在并聯(lián)彈簧的點(diǎn)加一垂直力，必須使兩根彈簧和具有相同的位移，但兩根彈簧的受力不同，分別為和 ，根據(jù)靜力平衡條件，有 則彈簧的并聯(lián)的等效剛度為可見(jiàn)，并聯(lián)彈簧的剛度是原來(lái)彈簧剛度之和，比原來(lái)各個(gè)彈簧剛度都要大。根彈簧并聯(lián)，其等效剛度為例題：計(jì)算系統(tǒng)固有頻率。彈簧串聯(lián)，其等效剛度為 思考題：圖示系統(tǒng)固有頻率？注：一個(gè)系統(tǒng)，由于所處的位置不同，則系統(tǒng)的等效剛度也不同。例如對(duì)于圖（a），根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程因系統(tǒng)作微幅振動(dòng)，故 則其等效剛度為 圖（a）對(duì)于圖（b），系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程則其等效剛度為 圖（b）對(duì)于圖（c），系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程即 則其等效剛度為 圖（c）四