數(shù)列公式匯總

1、人教版數(shù)學(xué)必修五第二章 數(shù)列重難點(diǎn)解析第二章 課文目錄21數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 22等差數(shù)列 23等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 24等比數(shù)列 25等比數(shù)列前n項(xiàng)和 【重點(diǎn)】1、數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用。2、根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。3、等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。4、等差數(shù)列n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用，熟練掌握等差數(shù)列的求和公式。5、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用。6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)，進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式【難點(diǎn)】1、根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)觀察、歸納數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。2、理解遞推公

2、式與通項(xiàng)公式的關(guān)系。3、等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。4、靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問題。5、靈活應(yīng)用求和公式解決問題，靈活應(yīng)用定義式及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題。6、靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。一、數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），

3、第2項(xiàng)，第n 項(xiàng)，.數(shù)列的一般形式：，或簡(jiǎn)記為，其中是數(shù)列的第n項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.注意：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列；一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，它的通項(xiàng)公式可以是，也可以是.數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：求數(shù)列中任意一項(xiàng)；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)5.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)

4、列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集1，2，3，n）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是無窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。

5、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列7數(shù)列的表示方法（1）通項(xiàng)公式法如果數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。如數(shù)列的通項(xiàng)公式為；  的通項(xiàng)公式為；的通項(xiàng)公式為；（2）圖象法啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)（3）遞

6、推公式法如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：4、列表法簡(jiǎn)記為典型例題：例1：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,.解：(1) 2n1； (2)

7、； (3) ； (4) 將數(shù)列變形為10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , n；(5) 將數(shù)列變形為1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6,，(1)n(n1)例2：設(shè)數(shù)列滿足寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。分析：題中已給出的第1項(xiàng)即，遞推公式：解：據(jù)題意可知：，例3：已知， 寫出前5項(xiàng)，并猜想 解：法一：，觀察可得 法二：由 即二、等差數(shù)列1等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所

8、得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；對(duì)于數(shù)列,若=d (與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n2，nN，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差。2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：【或】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是d，則據(jù)其定義可得：即：即：即：由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)和公差d，便可求得其通項(xiàng)。由上述關(guān)系還可得：即：則：=即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式 d=3有幾種方法可以計(jì)算公差d d=d=d=4結(jié)論：（性質(zhì)）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，即 m+n=p+q (m, n, p, q N )但通常由推不出m+n=p+q ，典型例題：例1：求等差數(shù)列8，

9、5，2的第20項(xiàng)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：由n=20，得由 得數(shù)列通項(xiàng)公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得成立解之得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。例2：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？ 分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要看（n2）是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)。解：當(dāng)n2時(shí),（取數(shù)列中的任意相鄰兩項(xiàng)與（n2）為常數(shù)是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為p。注：若p=0，則是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，若p0, 則是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)

10、列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項(xiàng)的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q.數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)=pn+q (p、q是常數(shù))，稱其為第3通項(xiàng)公式。判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿足3個(gè)通項(xiàng)公式中的一個(gè)。例3：求等差數(shù)列3，7，11，的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出所求項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：=3,d=73=4.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=3+（n1）×4,即=4n1（n1,nN*）=4×41=15,=4×101=39.評(píng)述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式.例4：求等差數(shù)列10，8，6，的第20項(xiàng).解：

11、根據(jù)題意可知：=10,d=810=2.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=10+（n1）×（2）,即：=2n+12,=2×20+12=28.評(píng)述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.例5：100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得等于這一數(shù).解：根據(jù)題意可得：=2,d=92=7. 此數(shù)列通項(xiàng)公式為：=2+（n1）×7=7n5.令7n5=100,解得：n=15, 100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).例6：20是不是等差數(shù)列0，3，7，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由

12、.解：由題意可知：=0,d=3此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=n+,令n+=20,解得n= 因?yàn)閚+=20沒有正整數(shù)解，所以20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).例7：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？解：由定義得A-=-A ，即：反之，若，則A-=-A由此可可得：成等差數(shù)列例8：在等差數(shù)列中，若+=9, =7, 求 , .分析：要求一個(gè)數(shù)列的某項(xiàng)，通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個(gè)數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)（知道任意兩項(xiàng)就知道公差），本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式入手解： an 是等差數(shù)列+=+ =9=9=

13、97=2d=72=5=+(94)d=7+5*5=32 =2, =32三、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：證明： +：由此得： 從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問題的正確性2 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2： 用上述公式要求必須具備三個(gè)條件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必須已知三個(gè)條件： （有時(shí)比較有用）對(duì)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2：可化成式子：，當(dāng)d0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式3 由的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，=；當(dāng)n2時(shí)，=-，即=.4對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法:（1） 利用:當(dāng)>0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值可由0，且0，求得n的值當(dāng)<0，d>

14、0，前n項(xiàng)和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值典型例題：例1：如圖，一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支，最上面一層放120支. 這個(gè)V形架上共放了多少支鉛筆？解：由題意知，這個(gè)V型架自下而上是個(gè)由120層的鉛筆構(gòu)成的等差數(shù)列，記為an，答：V型架上共放著7260支鉛筆例2：等差數(shù)列10，6，2，2，·······前9項(xiàng)的和多少？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為an則 a1=10，d=4, n=9例3：等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為140，其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)

15、的各項(xiàng)的和為125，求其第6項(xiàng)解依題意，得解得a1=113，d=22其通項(xiàng)公式為an=113(n1)·(22)=22n135a6=22×61353說明本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法在本課中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而即a63可見，在做題的時(shí)候，要注意運(yùn)算的合理性當(dāng)然要做到這一點(diǎn)，必須以對(duì)知識(shí)的熟練掌握為前提例4：在1和2之間插入2n個(gè)數(shù)，組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為2的等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)列的前半部分的和同后半部分的和之比為913，求插入的數(shù)的個(gè)數(shù)解依題意21(2n21)d

16、由，有(2n1)d=1共插入10個(gè)數(shù)例5：在等差數(shù)列an中，設(shè)前m項(xiàng)和為Sm，前n項(xiàng)和為Sn，且SmSn，mn，求Sm+n且SmSn，mnSm+n0例6：已知等差數(shù)列an中，S3=21，S6=64，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tnd，已知S3和S6的值，解方程組可得a1與d，再對(duì)數(shù)列的前若干項(xiàng)的正負(fù)性進(jìn)行判斷，則可求出Tn來解方程組得：d2，a19an9(n1)(n2)2n11其余各項(xiàng)為負(fù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為：當(dāng)n5時(shí)，Tnn210n當(dāng)n6時(shí)，TnS5|SnS5|S5(SnS5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50說明根據(jù)數(shù)列an中項(xiàng)的符號(hào)，運(yùn)用分類討論思想可求|an|的前n項(xiàng)

17、和例7：在等差數(shù)列an中，已知a6a9a12a1534，求前20項(xiàng)之和解法一由a6a9a12a1534得4a138d3420a1190d5(4a138d)=5×34=170由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6a15=a9a12a1a20a1a20=17S20170例8：已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3·a7=12，a4a6=4，求它的前20項(xiàng)的和S20的值解法一設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得S20180解法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a6a3a7即a3a74又a3

18、83;a7=12，由韋達(dá)定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是遞增數(shù)列a36，a7=2例9：等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199解法二利用數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件：Snan2bn可設(shè)Sn2n2k，Tnn(3n1)k說明該解法涉及數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2bn，由k是常數(shù)，就不對(duì)了例10：解答下列各題：(1)已知：等差數(shù)列an中a23，a617，求a9；(2)在19與89中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為1350，求這幾個(gè)數(shù)；(3)已知：等

19、差數(shù)列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差數(shù)列an中，an=333n，求Sn的最大值分析與解答a9=a6(96)d=173×(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350(3)a4a6a15a17=50又因它們的下標(biāo)有417615=21a4a17=a6a15=25(4)an=333n a130nN，當(dāng)n=10或n=11時(shí)，Sn取最大值165例11：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snm，前m項(xiàng)和Smn(mn)，求前mn項(xiàng)和Sm+n解法一設(shè)an的公差d按題意，則有=(mn)解法二設(shè)SxAx2Bx(xN)，得A(m2n2)B(mn)nmmn A(mn)B=1

20、故A(mn)2B(mn)(mn)即Sm+n(mn)說明 a1，d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22，故可設(shè)Sx=Ax2Bx(xN)例12：在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27，則n之值是多少？解S偶項(xiàng)S奇項(xiàng)=ndnd=9075=15又由a2na127，即(2n1)d=27例13：在等差數(shù)列an中，已知a125，S9S17，問數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值解法一建立Sn關(guān)于n的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想，求最大值a1=25，S17S9 解得d2當(dāng)n=13時(shí)，Sn

21、最大，最大值S13169解法二因?yàn)閍1=250，d20，所以數(shù)列an是遞減等a125，S9S17an=25(n1)(2)=2n27即前13項(xiàng)和最大，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得S13=169解法三利用S9=S17尋找相鄰項(xiàng)的關(guān)系由題意S9=S17得a10a11a12a17=0而a10a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140，a13=a14 a130，a140S13=169最大解法四根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)圖像，確定取最大值時(shí)的nan是等差數(shù)列可設(shè)SnAn2Bn二次函數(shù)y=Ax2Bx的圖像過原點(diǎn)，如圖321所示S9S17，取n=13時(shí)，S13169最大四、等比數(shù)列1等比

22、數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1°“從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)(q)成等比數(shù)列=q（,q0）2° 隱含：任一項(xiàng)“0”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件3°q= 1時(shí)，an為常數(shù)。2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1:由等比數(shù)列的定義，有：；3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2:4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列5等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,它的圖象是分布在曲線（q>0）上的一些孤立的點(diǎn)。當(dāng)，q >1時(shí)

23、，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)，時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)，q >1時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是常數(shù)列。6等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng). 即G=±（a,b同號(hào)）如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則，反之，若G=ab,則，即a,G,b成等比數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列G=ab（a·b0）7等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+k，則在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關(guān)系呢？由定義得： ，則8判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法9

24、等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1, >0或0<q<1, <0時(shí), 是遞增數(shù)列;當(dāng)q>1, <0,或0<q<1, >0時(shí), 是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí), 是常數(shù)列;當(dāng)q<0時(shí), 是擺動(dòng)數(shù)列;10證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法:(1)定義法:若(2)等比中項(xiàng)法:若(3)通項(xiàng)法:若(4)前n項(xiàng)和法:若數(shù)列為等比數(shù)列。典型例題：例1：求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1）=-2, =-8； （2）=5, 且2=-3；（3）=5, 且解：（1）解：（2）解：（3）解： 以上各式相乘得：例2：求下面等比數(shù)列的第4項(xiàng)與第5項(xiàng)：（1）5，15，45，；（2）1.2

25、，2.4，4.8，；（3），.解：（1）q=3,=5 =5·（3）=5·（3）=135，=5·（3）=405.（2）q=2,=1.2 =1.2×2=1.2×2=9.6, =1.2×2=19.2（3）q=×（）=×（）=, =×（）=（4）q=1÷,=·（）=.例3：一個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是，公比是，求它的第1項(xiàng).解：由題意得=,q=q8,=（）,=2916答：它的第1項(xiàng)為2916.例4：一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10，第3項(xiàng)是20，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng).解：由已知得=10,=20.在等比數(shù)列

26、中, =5,=q=40.答：它的第1項(xiàng)為5，第4項(xiàng)為40.例5：已知：b是a與c的等比中項(xiàng)，且a、b、c同號(hào)，求證：也成等比數(shù)列證明：由題設(shè)：b2=ac得：也成等比數(shù)列例6：已知是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列.證明：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)是，公比為;的首項(xiàng)為，公比為，那么數(shù)列的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為：它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個(gè)以q1q2為公比的等比數(shù)列.例7：(1) 已知是等比數(shù)列，且, 求 (2) ac,三數(shù)a, 1, c成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，求解：(1) 是等比數(shù)列，2()25, 又>0, 5; (2) a, 1, c成等差數(shù)列, ac2, 又a, 1, c成等比數(shù)列, a

27、c1, 有ac1或ac1, 當(dāng)ac1時(shí), 由ac2得a1, c1,與ac矛盾， ac1, .例8：已知無窮數(shù)列， 求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列 （2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的， （3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中證明：（1）（常數(shù)）該數(shù)列成等比數(shù)列 （2），即： （3），且，（第項(xiàng)）例9：在等比數(shù)列中，求該數(shù)列前七項(xiàng)之積解：，前七項(xiàng)之積例10：在等比數(shù)列中，求， 解： 另解：是與的等比中項(xiàng)，五、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1、 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)， 或當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)已知, q, n 時(shí)用公式；當(dāng)已知, q, 時(shí)，用公式.公式的推導(dǎo)方法一：一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是由得

28、當(dāng)時(shí)， 或當(dāng)q=1時(shí)，公式的推導(dǎo)方法二：有等比數(shù)列的定義，根據(jù)等比的性質(zhì)，有即 （結(jié)論同上）圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式公式的推導(dǎo)方法三： （結(jié)論同上）2、重要結(jié)論an成等比數(shù)列，公比為q （1）也為等比數(shù)列，且公比為， （2）也成等比數(shù)列，且公比為q2（3）成等比，且an>0，則lga1,lga2,lga3成等差注（1）（2）典型例題：例1：求和：.分析：當(dāng)時(shí)，是由數(shù)列與數(shù)列的相應(yīng)的項(xiàng)相乘而來的，所以用錯(cuò)位相減法來求和.解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，左右兩邊分別乘以得：，、相減得：于是.說明：求和問題要分析數(shù)列的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，當(dāng)通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積時(shí)，用錯(cuò)位

29、相減法求和，此時(shí)要注意等比數(shù)列的公比是否為1（用字母表示公比時(shí)）.例2：已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且有求的值.分析：由兩個(gè)方程不能求出確定的，只能得到一個(gè)關(guān)系，所以應(yīng)采用整體代入的方法.解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為， 由可知，故兩式相除得，即.于是有說明：本題強(qiáng)調(diào)的是基本量思想與整體思想，整體思想往往是設(shè)而不求，整體替換.例3： 求數(shù)列的24項(xiàng)的和.分析：，可用裂項(xiàng)法求和.解：.說明：裂項(xiàng)法是求和的重要方法之一，要把數(shù)列的每一項(xiàng)分裂為兩項(xiàng)之差，求和時(shí)使得中間的大多數(shù)項(xiàng)互相抵消了.例4：設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和.求證：.分析：先比較與的大小，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到所要證明的不等式

30、.證明：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故有.說明：解題中注意等比數(shù)列前項(xiàng)和公式要對(duì)公比進(jìn)行分類；注意比較兩數(shù)大小的基本方法是比較法，特別是作差比較法，還要注意結(jié)合函數(shù)的有關(guān)知識(shí).例5： 已知數(shù)列中，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求證：分析：該數(shù)列從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其前面所有項(xiàng)之和，于是通項(xiàng)與一個(gè)和有關(guān)，所以引入前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)，所以當(dāng)時(shí)有，同時(shí)又，兩式相減得，于是所以是等比數(shù)列，公比為2.因?yàn)樗?，故?dāng)時(shí)，,所以證明：（2）說明：在解題中注意項(xiàng)數(shù)的初始值，以及數(shù)列通項(xiàng)與和的相互轉(zhuǎn)化.第二章 數(shù)列 檢測(cè)題一、選擇題（每題5分，共50分）1、在數(shù)列中，則的值為（）A49B5

31、0C51D522、數(shù)列3，5，9，17，33，的通項(xiàng)公式等于（）ABCD3、是成等比數(shù)列的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件4、若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）A B C D5、已知實(shí)數(shù)滿足，那么實(shí)數(shù)是（）A等差非等比數(shù)列B等比非等差數(shù)列C既是等比又是等差數(shù)列D既非等差又非等比數(shù)列6、若成等比數(shù)列，則關(guān)于x的方程（）A必有兩個(gè)不等實(shí)根B必有兩個(gè)相等實(shí)根C必?zé)o實(shí)根D以上三種情況均有可能7、已知?jiǎng)t的等差中項(xiàng)為（）ABCD8、數(shù)列、都是等差數(shù)列，其中，那么前100項(xiàng)的和為（ ）A0B100C10000D1024009、數(shù)列前n項(xiàng)的和為（）A B C D 第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)。10、黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：則第個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是AB CD二、填空題（每題4分，共16分）11、在等差數(shù)列中，已知，那么等于_；12、某廠在1995年底制定生產(chǎn)計(jì)劃，要使2005年底的總產(chǎn)量在原有基礎(chǔ)上翻兩番，則年平均增長(zhǎng)率為_,13、已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則的值是_,14、等差數(shù)列前項(xiàng)和為，已知為_時(shí)，最大.三、解答題（共84分）15、等差數(shù)列中，已知，試求n