微積分期中復習答案

1、微積分期中復習第一章 函數(shù)與極限一、函數(shù)1、數(shù)軸、區(qū)間、領域2、函數(shù)的概念：設有兩個變量和，如果當某非空集合內(nèi)任取一個數(shù)值時，變量按照一定的法則(對應規(guī)律)，都有唯一確定的值與之對應，則稱是的函數(shù)。記作，其中變量稱為自變量，它的取值范圍稱為函數(shù)的定義域；變量稱為因變量，它的取值范圍是函數(shù)的值域，記作，即。 函數(shù)的表示：函數(shù)的表示有三種。 公式法、表格法和圖示法。3、函數(shù)的幾種特性 函數(shù)的有界性、奇偶性、單調(diào)性和周期性。4、初等函數(shù) (1) 基本初等函數(shù) 冪函數(shù)：(為任意實數(shù))， ， 指數(shù)函數(shù)：(且) 對數(shù)函數(shù)：(且)。 恒等式： 換底公式： 運算的性質(zhì)：，。 三角函數(shù)：。 反三角函數(shù)：。(2)

2、 反函數(shù)：(3) 復合函數(shù)：5、常見的經(jīng)濟函數(shù) (1) 成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù) ， ，。 (2) 需求函數(shù)與供給函數(shù) 二、極限的概念與性質(zhì)1、數(shù)列的極限(1) 數(shù)列(2) 數(shù)列極限的定義(3) 數(shù)列極限的幾何意義2、函數(shù)的極限(1) 當自變量時函數(shù)的極限(2) 當自變量時函數(shù)的極限(3) 左右極限3、函數(shù)極限的主要性質(zhì) 極限的唯一性、局部有界性、局部保號性。三、極限的運算1、極限的運算法則2、兩個重要極限(1) 極限存在的準則 數(shù)列極限的夾擠定理、函數(shù)極限的夾擠定理和單調(diào)有界數(shù)列必有極限。(2) 兩個重要極限 。3、無窮小量和無窮大量(1) 無窮小量的定義(2) 無窮小量的性質(zhì) 有限個無

3、窮小量的和、差、積仍然為無窮小量； 有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小量。(3) 無窮小量的比較 高階無窮小、同階無窮小和等價無窮小無窮小量的替換四、函數(shù)的連續(xù)性1、函數(shù)連續(xù)的概念(1) 函數(shù)在一點處連續(xù)的定義設函數(shù)在點的某領域內(nèi)有定義，如果，則稱函數(shù)在點處連續(xù)。 函數(shù)在點處連續(xù)必須滿足下列3個條件： 在點有定義，即有確定的函數(shù)值； 極限存在，即左右極限，存在且相等。 ()，即極限值等于函數(shù)值。(2) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義 函數(shù)在內(nèi)每一點連續(xù)，稱在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 函數(shù)在內(nèi)每一點連續(xù)，且在右連續(xù)，在點作連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。2、連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 (1) 連續(xù)函數(shù)的和、差、積

4、、商(分母不為零)仍為連續(xù)函數(shù)；(2) 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)；(3) 基本初等函數(shù)在其定于內(nèi)都是連續(xù)的。3、函數(shù)的間斷點(1) 間斷點的定義(2) 間斷點的分類第一類間斷點： 若函數(shù)當時，左右極限都存在但不相等， 跳躍間斷點 若函數(shù)當時，左右極限都存在且相等，但是不等于函數(shù)值或函數(shù)值無定義， 可去間斷點第二類間斷點：除了第一類間斷點外，其他間斷點都稱為第二類間斷點。4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最值性、介值性、零值定理。第二章 導數(shù)與微分一、導數(shù)的概念1、引例(1) 平面曲線上切線的斜率(2) 總產(chǎn)量對時間的變化率2、導數(shù)的定義 (函數(shù)在一點可導的定義)設函數(shù)在點的某領域有定義，當自變

5、量在點處取得該變量，即自變量從改變到(，點仍在該領域內(nèi))時，函數(shù)取得相應的該變量為 ，若當時，比值的極限存在，即 存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為 ，即 。此時，稱函數(shù)在點處可導。 (函數(shù)在區(qū)間可導的定義)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點處都可導，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導。這時對于任一個，都對應著函數(shù)的一個確定的到數(shù)值，這樣就構成了一個新的函數(shù)，稱此函數(shù)為的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記作 ，。即 。3、導數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點處的導數(shù)在幾何上就表示了曲線在點處切線的斜率。4、左導數(shù)與右導數(shù) 如果極限存在，則稱此極限值為在點處的左導數(shù)，記作，即 ， 如果極限存在，則稱此極限值為在點處的右導數(shù)，記作，即 。顯然

6、，在點處可導的充要條件是在點處的左右導數(shù)存在且相等，即 。 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，且與存在，則稱在上可導。5、函數(shù)可導與連續(xù)的關系 若函數(shù)在點處可導，則函數(shù)在點處連續(xù)(即可導必連續(xù))。二、導數(shù)的基本公式與運算法則1、函數(shù)和、差、積、商的求導法則 ()2、反函數(shù)的求導法則 設函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導，且，則它的反函數(shù)在對應區(qū)間內(nèi)也單調(diào)可導，且有 。3、復合函數(shù)的求導法則 。4、導數(shù)的基本公式5、隱函數(shù)求導法則6、對數(shù)求導法則三、高階導數(shù) 重點是二階導數(shù)四、參數(shù)式函數(shù)的導數(shù) 參數(shù)方程的求導法則，難點是參數(shù)方程的二階導數(shù)。應用是求曲線的切線和法線方程。五、函數(shù)的微分1、微分的定義 設函數(shù)在點的某

7、個領域內(nèi)有定義，自變量自取得該變量(，點仍在該領域內(nèi))，若函數(shù)的相應該變量 ，克表示為 其中是只與有關而與無關的常數(shù)，是當時比高階的無窮小量，則稱函數(shù)在點處可微，并稱為函數(shù)在點處的微分，記作 ， 即 當時，也稱為的線性主部。 函數(shù)在點可微的充分必要條件是函數(shù)在點處可導，此時，。2、微分的幾何意義3、微分的運算4、微分形式不變性5、微分在近似計算中的應用 ， ，或 。第一章練習題選擇題1、設函數(shù)，則( )。DA.0； B. ； C.1； D.不存在。2、設函數(shù)，則是的( )。DA.連續(xù)點； B.可去間斷點；C.第一類(非可去)間斷點； D.第二類間斷點。3、設函數(shù)在內(nèi)有定義，且 則( )。DA.

8、必是的第一類間斷點；B. 必是的第二類間斷點；C. 必是的連續(xù)點； D.在點處的連續(xù)性與的取值有關。4、當時，是的( )。CA.高階無窮小量； B.低階無窮小量；C.同階但非等價無窮小量； D.等價無窮大量。5、若( )，則當時，與為等價無窮小量。D A.2； B.3； C.5； D.6.6、若z在上有定義，且則( )。DA. 必是的地一類間斷點； B. 必是的地二類間斷點；C. 必是的連續(xù)點； D. 在點處的連續(xù)性與的取值有關。7、設函數(shù)在上連續(xù)，且，則常數(shù)滿足( D )。A； B； C； D。8、設，則( )。AA. ； B. ； C. ； D.不存在。填空題1、 。12、 。 3、，則

9、。2 4、，則 ， 。2，-1 5、函數(shù)在 時為無窮大量。-1 6、函數(shù)在 或 時為無窮小量。0 7、若函數(shù)在上連續(xù)，則 。-2 8、 。9、若函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是 。 10、設為正整數(shù)，則 。11、 。 12、 。 。13、 。14、 。 計算題1、； 2、 13、； 4、； 5、 6、 7、設，已知在處連續(xù)，試確定和的值。 8、當和正數(shù)為何值時，函數(shù)在點處連續(xù)？ 9、設函數(shù)問為何值時，在點連續(xù)。 證明題1、證明下列方程必有實根：(1) ； ，(2) 。 ，2、設函數(shù)與在點處連續(xù)，證明函數(shù)在點處也連續(xù)。解：3、4、第二章練習題填空題1、設，則 。提示：。2、的導數(shù) 。提示：。答案：。

10、3、設方程確定的隱函數(shù)，則 。，4、設，且，則 。提示：用替換，得， ，即。因此，。5、曲線在點處的切線和法線方程為 。 ， 切線方程為 法線方程為 6、設，則 。提示：7、設函數(shù)在連續(xù)，且，則 。提示：(因為在點連續(xù))，所以 選擇題1、函數(shù)在處( )。CA.不連續(xù)； B.連續(xù)但不可導；C.可導但導數(shù)不連續(xù)；D.可導且導數(shù)連續(xù)。提示：在處不連續(xù)。2、已知，則( )。AA.-1； B.2； C. ； D.-2.3、設函數(shù)在點可微，和為常數(shù)，則( )。BA. ； B. ； C. ； D. 。4、設，其中，則( )。BA.-6； B. ； C. ； D.6。 又因為，所以 5、設復合函數(shù)，其中函數(shù)都

11、可微，則( )。BA. ； B. ；C. ； D. 6、設，其中函數(shù)具有二階導數(shù)，則( )。DA. ； B. ；C. ； D. 。7、曲線在點處的切線方程是( )。D A. ； B. ；C. ； D. 。8、設曲線由參數(shù)方程確定，則曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標是( )。AA. ； B. ； C. ； D. 。提示：時，得，所以。又因為，故，所以。9、設兩曲線和在點處相切，其中和為常數(shù)，則( )。DA. ； B. ； C. ； D. 。10、設函數(shù)在點可微且，則是函數(shù)在點可微的( )。AA.充分必要條件； B.必要但非充分條件；C.充分但非必要條件； D.既非充分也非必要條件。提示：要使在點可微在點可導。因為 所以是函數(shù)在點可微的充分必要條件。11、設函數(shù)，其中在點處連續(xù)，則是函數(shù)在點處可導的( )。AA.充分必要條件； B.必要但非充分條件；C.充分但非必要條件； D.既非充分也非必要條件。提示：由題設可知，則 如果函數(shù)在處可導，即所以是函數(shù)在處可微的充分必要條件。計算題1、求的微分和導數(shù)。解： 2、函數(shù)由方程所確定，求。解：對等式兩邊同時對求導，得 ，所以，。3、設，求導數(shù)。解：，所以 。4、設由所確定，求。解：因為，且，故，所以 又因為，有。因此 。5、設