微積分期中復(fù)習(xí)答案

1、微積分期中復(fù)習(xí)第一章 函數(shù)與極限一、函數(shù)1、數(shù)軸、區(qū)間、領(lǐng)域2、函數(shù)的概念：設(shè)有兩個(gè)變量和，如果當(dāng)某非空集合內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，變量按照一定的法則(對(duì)應(yīng)規(guī)律)，都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱是的函數(shù)。記作，其中變量稱為自變量，它的取值范圍稱為函數(shù)的定義域；變量稱為因變量，它的取值范圍是函數(shù)的值域，記作，即。 函數(shù)的表示：函數(shù)的表示有三種。 公式法、表格法和圖示法。3、函數(shù)的幾種特性 函數(shù)的有界性、奇偶性、單調(diào)性和周期性。4、初等函數(shù) (1) 基本初等函數(shù) 冪函數(shù)：(為任意實(shí)數(shù))， ， 指數(shù)函數(shù)：(且) 對(duì)數(shù)函數(shù)：(且)。 恒等式： 換底公式： 運(yùn)算的性質(zhì)：，。 三角函數(shù)：。 反三角函數(shù)：。(2)

2、 反函數(shù)：(3) 復(fù)合函數(shù)：5、常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)函數(shù) (1) 成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù) ， ，。 (2) 需求函數(shù)與供給函數(shù) 二、極限的概念與性質(zhì)1、數(shù)列的極限(1) 數(shù)列(2) 數(shù)列極限的定義(3) 數(shù)列極限的幾何意義2、函數(shù)的極限(1) 當(dāng)自變量時(shí)函數(shù)的極限(2) 當(dāng)自變量時(shí)函數(shù)的極限(3) 左右極限3、函數(shù)極限的主要性質(zhì) 極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性。三、極限的運(yùn)算1、極限的運(yùn)算法則2、兩個(gè)重要極限(1) 極限存在的準(zhǔn)則 數(shù)列極限的夾擠定理、函數(shù)極限的夾擠定理和單調(diào)有界數(shù)列必有極限。(2) 兩個(gè)重要極限 。3、無(wú)窮小量和無(wú)窮大量(1) 無(wú)窮小量的定義(2) 無(wú)窮小量的性質(zhì) 有限個(gè)無(wú)

3、窮小量的和、差、積仍然為無(wú)窮小量； 有界函數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量。(3) 無(wú)窮小量的比較 高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小和等價(jià)無(wú)窮小無(wú)窮小量的替換四、函數(shù)的連續(xù)性1、函數(shù)連續(xù)的概念(1) 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足下列3個(gè)條件： 在點(diǎn)有定義，即有確定的函數(shù)值； 極限存在，即左右極限，存在且相等。 ()，即極限值等于函數(shù)值。(2) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義 函數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，稱在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 函數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，且在右連續(xù)，在點(diǎn)作連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。2、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 (1) 連續(xù)函數(shù)的和、差、積

4、、商(分母不為零)仍為連續(xù)函數(shù)；(2) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)；(3) 基本初等函數(shù)在其定于內(nèi)都是連續(xù)的。3、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 間斷點(diǎn)的定義(2) 間斷點(diǎn)的分類第一類間斷點(diǎn)： 若函數(shù)當(dāng)時(shí)，左右極限都存在但不相等， 跳躍間斷點(diǎn) 若函數(shù)當(dāng)時(shí)，左右極限都存在且相等，但是不等于函數(shù)值或函數(shù)值無(wú)定義， 可去間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：除了第一類間斷點(diǎn)外，其他間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)。4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最值性、介值性、零值定理。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的概念1、引例(1) 平面曲線上切線的斜率(2) 總產(chǎn)量對(duì)時(shí)間的變化率2、導(dǎo)數(shù)的定義 (函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的定義)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域有定義，當(dāng)自變

5、量在點(diǎn)處取得該變量，即自變量從改變到(，點(diǎn)仍在該領(lǐng)域內(nèi))時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)的該變量為 ，若當(dāng)時(shí)，比值的極限存在，即 存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為 ，即 。此時(shí)，稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。 (函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)的定義)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)對(duì)于任一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著函數(shù)的一個(gè)確定的到數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱此函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，記作 ，。即 。3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上就表示了曲線在點(diǎn)處切線的斜率。4、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 如果極限存在，則稱此極限值為在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記作，即 ， 如果極限存在，則稱此極限值為在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)，記作，即 。顯然

6、，在點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件是在點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，即 。 如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且與存在，則稱在上可導(dǎo)。5、函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)(即可導(dǎo)必連續(xù))。二、導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則1、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 ()2、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且，則它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也單調(diào)可導(dǎo)，且有 。3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 。4、導(dǎo)數(shù)的基本公式5、隱函數(shù)求導(dǎo)法則6、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則三、高階導(dǎo)數(shù) 重點(diǎn)是二階導(dǎo)數(shù)四、參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 參數(shù)方程的求導(dǎo)法則，難點(diǎn)是參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用是求曲線的切線和法線方程。五、函數(shù)的微分1、微分的定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某

7、個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量自取得該變量(，點(diǎn)仍在該領(lǐng)域內(nèi))，若函數(shù)的相應(yīng)該變量 ，克表示為 其中是只與有關(guān)而與無(wú)關(guān)的常數(shù)，是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小量，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，并稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記作 ， 即 當(dāng)時(shí)，也稱為的線性主部。 函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，此時(shí)，。2、微分的幾何意義3、微分的運(yùn)算4、微分形式不變性5、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 ， ，或 。第一章練習(xí)題選擇題1、設(shè)函數(shù)，則( )。DA.0； B. ； C.1； D.不存在。2、設(shè)函數(shù)，則是的( )。DA.連續(xù)點(diǎn)； B.可去間斷點(diǎn)；C.第一類(非可去)間斷點(diǎn)； D.第二類間斷點(diǎn)。3、設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且 則( )。DA.

8、必是的第一類間斷點(diǎn)；B. 必是的第二類間斷點(diǎn)；C. 必是的連續(xù)點(diǎn)； D.在點(diǎn)處的連續(xù)性與的取值有關(guān)。4、當(dāng)時(shí)，是的( )。CA.高階無(wú)窮小量； B.低階無(wú)窮小量；C.同階但非等價(jià)無(wú)窮小量； D.等價(jià)無(wú)窮大量。5、若( )，則當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小量。D A.2； B.3； C.5； D.6.6、若z在上有定義，且則( )。DA. 必是的地一類間斷點(diǎn)； B. 必是的地二類間斷點(diǎn)；C. 必是的連續(xù)點(diǎn)； D. 在點(diǎn)處的連續(xù)性與的取值有關(guān)。7、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，則常數(shù)滿足( D )。A； B； C； D。8、設(shè)，則( )。AA. ； B. ； C. ； D.不存在。填空題1、 。12、 。 3、，則

9、。2 4、，則 ， 。2，-1 5、函數(shù)在 時(shí)為無(wú)窮大量。-1 6、函數(shù)在 或 時(shí)為無(wú)窮小量。0 7、若函數(shù)在上連續(xù)，則 。-2 8、 。9、若函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是 。 10、設(shè)為正整數(shù)，則 。11、 。 12、 。 。13、 。14、 。 計(jì)算題1、； 2、 13、； 4、； 5、 6、 7、設(shè)，已知在處連續(xù)，試確定和的值。 8、當(dāng)和正數(shù)為何值時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)？ 9、設(shè)函數(shù)問(wèn)為何值時(shí)，在點(diǎn)連續(xù)。 證明題1、證明下列方程必有實(shí)根：(1) ； ，(2) 。 ，2、設(shè)函數(shù)與在點(diǎn)處連續(xù)，證明函數(shù)在點(diǎn)處也連續(xù)。解：3、4、第二章練習(xí)題填空題1、設(shè)，則 。提示：。2、的導(dǎo)數(shù) 。提示：。答案：。

10、3、設(shè)方程確定的隱函數(shù)，則 。，4、設(shè)，且，則 。提示：用替換，得， ，即。因此，。5、曲線在點(diǎn)處的切線和法線方程為 。 ， 切線方程為 法線方程為 6、設(shè)，則 。提示：7、設(shè)函數(shù)在連續(xù)，且，則 。提示：(因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù))，所以 選擇題1、函數(shù)在處( )。CA.不連續(xù)； B.連續(xù)但不可導(dǎo)；C.可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)；D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)。提示：在處不連續(xù)。2、已知，則( )。AA.-1； B.2； C. ； D.-2.3、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，和為常數(shù)，則( )。BA. ； B. ； C. ； D. 。4、設(shè)，其中，則( )。BA.-6； B. ； C. ； D.6。 又因?yàn)椋?5、設(shè)復(fù)合函數(shù)，其中函數(shù)都

11、可微，則( )。BA. ； B. ；C. ； D. 6、設(shè)，其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，則( )。DA. ； B. ；C. ； D. 。7、曲線在點(diǎn)處的切線方程是( )。D A. ； B. ；C. ； D. 。8、設(shè)曲線由參數(shù)方程確定，則曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是( )。AA. ； B. ； C. ； D. 。提示：時(shí)，得，所以。又因?yàn)?，故，所以?、設(shè)兩曲線和在點(diǎn)處相切，其中和為常數(shù)，則( )。DA. ； B. ； C. ； D. 。10、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微且，則是函數(shù)在點(diǎn)可微的( )。AA.充分必要條件； B.必要但非充分條件；C.充分但非必要條件； D.既非充分也非必要條件。提示：要使在點(diǎn)可微在點(diǎn)可導(dǎo)。因?yàn)?所以是函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件。11、設(shè)函數(shù)，其中在點(diǎn)處連續(xù)，則是函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的( )。AA.充分必要條件； B.必要但非充分條件；C.充分但非必要條件； D.既非充分也非必要條件。提示：由題設(shè)可知，則 如果函數(shù)在處可導(dǎo)，即所以是函數(shù)在處可微的充分必要條件。計(jì)算題1、求的微分和導(dǎo)數(shù)。解： 2、函數(shù)由方程所確定，求。解：對(duì)等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得 ，所以，。3、設(shè)，求導(dǎo)數(shù)。解：，所以 。4、設(shè)由所確定，求。解：因?yàn)?，且，故，所?又因?yàn)椋?。因?。5、設(shè)