不定積分計(jì)算方法

1、第一講 定積分的概念教學(xué)目的：掌握定積分的有關(guān)概念和基本性質(zhì)難點(diǎn)：無限細(xì)分和累積的思維方法重點(diǎn)：微元法思想和定積分的基本性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：定積分是微積分學(xué)的重要內(nèi)容之一，它和上一章討論的不定積分有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，并且，定積分的計(jì)算主要是通過不定積分來解決的. 定積分在各種實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用在本章中，我們將在具體實(shí)例的基礎(chǔ)上引入定積分的概念，然后討論它的性質(zhì)、計(jì)算方法與應(yīng)用一、問題的提出 1、曲邊梯形的面積在初等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)了一些簡單的平面封閉圖形(如三角形、圓等)的面積的計(jì)算. 但實(shí)際問題中出現(xiàn)的圖形常具有不規(guī)則的“曲邊”，我們?cè)鯓觼碛?jì)算它們的面積呢？下面以曲邊梯形為例來討論這個(gè)問題.

2、a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =bxiOxnx1 x2y=f(x)xy設(shè)函數(shù)在上連續(xù). 由曲線與直線、軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖). 為討論方便，假定.由于函數(shù)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不斷變化，整個(gè)曲邊梯形各處的高不相等，差異很大. 為使高的變化較小，先將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，即插入分點(diǎn). 在每個(gè)分點(diǎn)處作與軸平行的直線段，將整個(gè)曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形，其中第個(gè)小區(qū)間的長度為. 由于連續(xù)，故當(dāng)很小時(shí)，第個(gè)小曲邊梯形各點(diǎn)的高變化很小. 在區(qū)間上任取一點(diǎn)，則可認(rèn)為第個(gè)小曲邊梯形的平均高度為，因此, 這個(gè)小曲邊梯形的面積 .用這樣的方法求出每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值, 再求和, 即得

3、整個(gè)大曲邊梯形面積的近似值 .可以看出：對(duì)區(qū)間所作的分劃越細(xì)，上式右端的和式就越接近. 記，則當(dāng)時(shí)，誤差也趨于零. 因此，所求面積 . (1)2、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)，速度是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，且. 求物體在時(shí)間間隔內(nèi)所經(jīng)過的路程.由于速度隨時(shí)間的變化而變化，因此不能用勻速直線運(yùn)動(dòng)的公式來計(jì)算物體作變速運(yùn)動(dòng)的路程. 但由于連續(xù)，當(dāng)?shù)淖兓苄r(shí)，速度的變化也非常小，因此在很小的一段時(shí)間內(nèi)，變速運(yùn)動(dòng)可以近似看成等速運(yùn)動(dòng). 又時(shí)間區(qū)間可以劃分為若干個(gè)微小的時(shí)間區(qū)間之和，所以，可以與前述面積問題一樣，采用分劃、局部近似、求和、取極限的方法來求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程. (1) 分割：用分點(diǎn)將時(shí)間區(qū)

4、間分成個(gè)小區(qū)間 , 其中第個(gè)時(shí)間段的長度為，物體在此時(shí)間段內(nèi)經(jīng)過的路程為.(2) 求近似：當(dāng)很小時(shí)，在上任取一點(diǎn)，以來替代上各時(shí)刻的速度，則.(3) 求和：在每個(gè)小區(qū)間上用同樣的方法求得路程的近似值，再求和，得.(4) 取極限：令，則當(dāng)時(shí)，上式右端的和式作為近似值的誤差會(huì)趨于0，因此 . (2)以上兩個(gè)例子盡管來自不同領(lǐng)域，卻都?xì)w結(jié)為求同一結(jié)構(gòu)的和式的極限. 我們以后還將看到，在求變力所作的功、水壓力、某些空間體的體積等許多問題中，都會(huì)出現(xiàn)這種形式的極限，因此，有必要在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一對(duì)它們進(jìn)行研究二、定積分的定義定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，任意用分點(diǎn)將分成個(gè)小區(qū)間，用表示第個(gè)小區(qū)間的長度，在上任取

5、一點(diǎn)，作乘積，. 再作和 .若當(dāng)時(shí)，上式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并稱此極限值為在上的定積分，記作. 即 . (3)其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為積分下限和上限.許多實(shí)際問題都可用定積分表示. 例如，若變速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，則在時(shí)間區(qū)間上，物體經(jīng)過的路程為 . (4)同理，上圖所示的曲邊梯形面積可表為 (5)對(duì)于由(3)式定義的定積分，需作如下幾點(diǎn)說明：1、在可積，是指不管對(duì)區(qū)間分劃的方式怎樣，也不管點(diǎn)在小區(qū)間上如何選取，只要，極限值總是唯一確定的.哪些函數(shù)是可積的呢？可以證明（證明略）：定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必在上可積；在區(qū)間上有界且只有有

6、限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)也必在上可積.2、定積分是一個(gè)數(shù)，只取決于被積函數(shù)與積分區(qū)間，而與積分變量的記號(hào)無關(guān)，即此等式的正確性在幾何上是顯然，因?yàn)閷?duì)非負(fù)函數(shù)，這三個(gè)積分表示同一個(gè)平面圖形的面積，只是坐標(biāo)變量的記號(hào)不同而已，而這對(duì)面積沒有影響.3、定義定積分時(shí)已假定下限小于上限，為便于應(yīng)用，規(guī)定當(dāng)時(shí)，此規(guī)定說明：將積分上下限互換時(shí)，應(yīng)改變積分的符號(hào)4、下面討論定積分的幾何意義：（1）、若，則積分表示如圖所示的曲邊梯形的面積，即（2）、若，則積分表示如圖所示的曲邊梯形面積的負(fù)值，即y=f(x)baOyxy=f(x)baOyx這是顯然的，因?yàn)榇藭r(shí)曲邊梯形各點(diǎn)處的高是而不是（3）、如果在上的值有正也有負(fù)，如下

7、圖，則積分表示介于軸、曲線及直線y=f(x)Oyx之間各部分面積的代數(shù)和即在軸上方的圖形面積減去軸下方的圖形面積：由定積分的幾何意義可直觀地得出一些簡單的積分值如； 三、定積分的基本性質(zhì)以下介紹定積分的基本性質(zhì)，假定所列定積分都是存在的，以下不一一說明性質(zhì)1 函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和即這個(gè)性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前. 即 （為常數(shù)）性質(zhì)3 不論三點(diǎn)的相互位置如何，恒有這性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)4 若在區(qū)間上，則 推論1 若在區(qū)間上，則 推論2 例比較下列定積分和的大小.解 令故，即 故 從而原不等式成立.注0

8、,0.性質(zhì)5 (估值定理) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值與最大值分別為與，則 證 因?yàn)?，由性質(zhì)4推論1得即 故 利用這個(gè)性質(zhì)，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最小值及最大值，可以估計(jì)出積分值的大致范圍.例2估計(jì)定積分的值解，由此有，于是由估值定理有例3估計(jì)定積分的值解設(shè), 得 又所以在1,2內(nèi)的最大值為 最小值為0，于是 ，由估值定理有 性質(zhì)6(定積分中值定理) 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使下式成立： , 這個(gè)公式稱為積分中值公式.證 把性質(zhì)5的不等式各除以，得 由于在閉區(qū)間上連續(xù)，而介于的最小值最大值之間，故根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理(第2章)，在上至少存在一點(diǎn)，使，即 Oxybxaf(x)y

9、=f(x)顯然，積分中值公式不論或都是成立的公式中，稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值這個(gè)定理有明顯的幾何意義：對(duì)曲邊連續(xù)的曲邊梯形，總存在一個(gè)以為底，以上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高的矩形， 其面積就等于曲邊梯形的面積四、總結(jié)：1 定積分的概念：定積分是一種由近似到精確的無窮累積方法2定積分的幾何意義：若，則積分表示如圖52所示的曲邊梯形的面積；若，則積分表示如圖53所示的曲邊梯形面積的負(fù)值；若在上的值有正也有負(fù)，積分表示介于軸、曲線及直線之間各部分面積的代數(shù)和. 即在軸上方的圖形面積減去軸下方的圖形面積3可積性定理：在上連續(xù)的函數(shù)比在上可積4定積分的基本性質(zhì)（上述性質(zhì)16）五、作業(yè)：練習(xí) 3、4、5、6第二節(jié)

10、微積分基本公式教學(xué)目的：掌握微積分基本公式和變上限積分的性質(zhì)難點(diǎn)：變上限積分的性質(zhì)與應(yīng)用重點(diǎn)：牛頓-萊布尼茲公式教學(xué)內(nèi)容： 由上一節(jié)可以看到，盡管定積分可以用“和式極限”來計(jì)算，但利用定義來計(jì)算定積分一般是相當(dāng)復(fù)雜和困難的，有時(shí)甚至是不可能的. 因此，我們必須尋求計(jì)算定積分的簡便方法. 不難注意到下面的事實(shí)：設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，路程為，則在時(shí)間區(qū)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離為；另一方面，由上節(jié)的分析可知，該距離應(yīng)為.由此有 (1)即：在上的積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在的增量. 這一結(jié)論是否具有普遍意義呢？下面來回答這個(gè)問題.f(x)F(x)xx+DxxbaxOy一、變上限的積分設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在上連續(xù)

11、，故積分存在，稱為變上限的積分. 為避免上限與積分變量混淆，將它改記為. 顯然，對(duì)上任一點(diǎn)，都有一個(gè)確定的積分值與之對(duì)應(yīng)(圖56)，所以它在上定義了一個(gè)函數(shù)，記作即 . (2)函數(shù)具有如下重要性質(zhì)： 定理1 如果在區(qū)間上連續(xù)，則由(2) 式定義的積分上限的函數(shù)在上可導(dǎo)，且有. (3)證 當(dāng)上限在點(diǎn)處有增量時(shí)， 由于在此區(qū)間連續(xù)，由積分中值定理得 (介于與之間).故 當(dāng)時(shí)，. 再由的連續(xù)性得推論 若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則變上限的函數(shù)是在上的一個(gè)原函數(shù)由推論可知：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù). 由此證明了上一章給出的原函數(shù)存在定理例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) ; (2) .解 (1) .(2) .例2 設(shè)均可

12、導(dǎo)，求的導(dǎo)數(shù)解 注 是的復(fù)合函數(shù)，它由，復(fù)合而成，求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，的導(dǎo)數(shù)計(jì)算與完全相似 例3求極限.解 此極限為型，用洛必達(dá)法則求解，故二、牛頓萊布尼茨公式現(xiàn)在我們來證明對(duì)任意連續(xù)函數(shù)與(1)式相應(yīng)的結(jié)論成立.定理2 牛頓(Newton)萊布尼茨(Leibniz)公式 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則 (4)證 由于與均為的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)知上式中令，得；再令，得即 公式(4)稱為牛頓萊布尼茨公式.牛頓萊布尼茨公式是17世紀(jì)后葉由牛頓與萊布尼茨各自獨(dú)立地提出來的，它揭示了定積分與導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算之間的關(guān)系，因而被稱為微積分基本定理. 這個(gè)定理為定積分的計(jì)算提供了一種

13、簡便的方法. 在運(yùn)用時(shí)常將公式寫出如下形式： (5)例4 計(jì)算.解 .例5 計(jì)算.解 .例6 計(jì)算.解 .例7 求.解 由區(qū)間可加性，得 . xy=sinxpOy例8 求正弦曲線在上與軸所圍成的平面圖形(如圖)的面積.解 這個(gè)曲邊梯形的面積 例9 設(shè).解 因?yàn)槎ǚe分是一個(gè)常數(shù)，所以，可設(shè)=A，故上式兩邊在0，1上積分得A=，移項(xiàng)后，得，所以三、總結(jié)：1變上限的積分 如果在區(qū)間上連續(xù)，則有2牛頓萊布尼茨公式 ，其中是的一個(gè)原函數(shù)，而原函數(shù)可以用不定積分的方法求得四、作業(yè)：練習(xí) 3、5第三節(jié) 定積分的換元積分法與分部積分法教學(xué)目的：掌握定積分換元積分法與分部積分法難點(diǎn)：定積分換元條件的掌握重點(diǎn)：換

14、元積分法與分部積分法教學(xué)內(nèi)容：由牛頓萊布尼茨公式可知，定積分的計(jì)算歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)在上一章中，我們已知道許多函數(shù)的原函數(shù)需要用換元法或分部積分法求得，因此，換元積分法與分部積分法對(duì)于定積分的計(jì)算也是非常重要的一、定積分換元法定理 假設(shè)(1) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2) 函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)且不變號(hào)的導(dǎo)數(shù)；(3) 當(dāng)在變化時(shí)，的值在上變化，且，則有 (1)本定理證明從略在應(yīng)用時(shí)必須注意變換應(yīng)滿足定理的條件，在改變積分變量的同時(shí)相應(yīng)改變積分限，然后對(duì)新變量積分例1 計(jì)算解 令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是 例2 計(jì)算解 令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故aaOxy 顯然，這個(gè)定積分的值就是圓在第一象限那部分的面積

15、(如上圖)例3 計(jì)算解法一 令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是解法二 也可以不明顯地寫出新變量，這樣定積分的上、下限也不要改變即 此例看出：定積分換元公式主要適用于第二類換元法，利用湊微分法換元不需要變換上、下限例4 計(jì)算解 注：去絕對(duì)值時(shí)注意符號(hào) =例5 計(jì)算解 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，=例6 設(shè)在上連續(xù)，證明：(1) 若為奇函數(shù)，則；(2) 若為偶函數(shù)，則證 由于 ,對(duì)上式右端第一個(gè)積分作變換，有故 (1) 當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，故(2) 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，故利用例4的結(jié)論能很方便地求出一些定積分的值 例如二、定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分法則，可得 等式兩邊同時(shí)在區(qū)間上積分，有 (2)公

16、式(2)稱為定積分的分部積分公式，其中與是自變量的下限與上限例7 計(jì)算解 令，則故例8 計(jì)算解 例9 計(jì)算解 =例10 計(jì)算解 即 注 ：移項(xiàng)得故 例11 計(jì)算解 先用換元法，令，則 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 于是 再用分部積分法，得 三、總結(jié)：1、定積分換元積分定理：假設(shè)(1) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2) 函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)且不變號(hào)的導(dǎo)數(shù)；(3) 當(dāng)在變化時(shí)，的值在上變化，且則有 2、定積分分部積分法：設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有3、對(duì)稱區(qū)間上的積分：設(shè)在上連續(xù)，則有(1) 若為奇函數(shù)，則；(2) 若為偶函數(shù)，則四、作業(yè)：練習(xí) 1、2、3、5第五節(jié) 定積分的應(yīng)用教學(xué)目的：掌握定積分微元法、面積和

17、旋轉(zhuǎn)體體積求法難點(diǎn)：定積分微元法重點(diǎn)：面積和旋轉(zhuǎn)體體積教學(xué)內(nèi)容：在這一節(jié)里，我們討論定積分在幾何、物理等方面的一些應(yīng)用我們?cè)谝攵ǚe分概念時(shí)，曾經(jīng)討論了求曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程的實(shí)際問題，采用的是“微分求和”的方法我們將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)地，將所求的量分割成份很小的部分量在上任取一小區(qū)間，以近似代替、當(dāng)分割無限細(xì)，的極限就是所求的量，即定積分實(shí)質(zhì)上，所謂定積分就是由被積表達(dá)式從到累積之和我們把稱為微元素在定積分應(yīng)用問題中，先求出微元素，再求出定積分，即所求這種方法稱為元素法，也稱微元法在用元素法求解實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意要根據(jù)條件確定被積函數(shù)和積分區(qū)間一、平面圖形的面積本節(jié)中將計(jì)算一些

18、比較復(fù)雜的平面圖形面積我們只討論直角坐標(biāo)系的情形我們已經(jīng)知道，在區(qū)間上，一條連續(xù)曲線與直線，軸所圍成的曲邊梯形面積就是定積分這里，被積表達(dá)式就是面積元素如果求兩條曲線與之間所夾圖形的面積(圖510)，在區(qū)間上，當(dāng)，則有 或 (1)公式(1)對(duì)于下圖所示情況也成立 y=g(x)y=f(x)Oyxba 如果求兩條曲線之間所夾圖形的面積，也可用類似的方法例1 求兩條拋物線所圍成圖形的面積xOyy=x2y2=x(1,1)x x+Dx 解 作兩條拋物線的圖形，如圖所示解方程組 得兩組解及即兩拋物線交點(diǎn)為下面求面積元素： 取為積分變量區(qū)間上的任一小區(qū)間的窄條，其面積近似于高為，底為的窄矩形面積這樣就得到面

19、積元素 于是，所求圖形面積為定積分21y=xy=2xy=x2OS2S1yx(2,4)(1,1)本題也可按(1)式直接求解例2 求拋物線與直線所圍圖形的面積(如圖)解 作出圖形，解兩個(gè)方程組 和得拋物線與兩直線的交點(diǎn)分別為與故所求面積為 例3 求拋物線與直線所圍成圖形的面積 解 作出圖形(如圖)解方程組Oy=x-4xy+dyyy2=2x(8,4)(2,-2)y 得拋物線與直線的交點(diǎn)和取坐標(biāo)為積分變量，確定積分區(qū)間為于是面積元素所求圖形面積為注：若上下邊界均不需分段表示，可對(duì)積分；否則應(yīng)區(qū)分左右邊界，對(duì)積分例4 求橢圓的面積解 橢圓如圖515所示因?yàn)闄E圓關(guān)于兩坐標(biāo)軸都對(duì)稱，所以，橢圓面積為第一xb

20、ax x+Dx Oy象限內(nèi)的那部分面積的4倍，即為便于積分，在上式中利用橢圓的參數(shù)方程作換元令,則，當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)， 于是 特別，當(dāng)時(shí)，得圓面積公式注 當(dāng)曲邊梯形的曲邊可用參數(shù)方程表示時(shí)，可以用例4的方法求其面積二、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，該直線稱為旋轉(zhuǎn)軸圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體等都是旋轉(zhuǎn)體現(xiàn)在我們計(jì)算由連續(xù)曲線，直線與軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體yObay=f(x)xxx+dx積取為積分變量，為積分區(qū)間用垂直于軸的一組平行平面將旋轉(zhuǎn)體分割成許多立體小薄片, 其斷面都是圓，只是半徑不同.任取的一個(gè)小區(qū)間上的一小薄片，它的體

21、積近似于以 為底面半徑, 為高的扁圓柱體的體積(見上圖)，即體積元素為于是，以為被積表達(dá)式，在區(qū)間上作定積分，便得所求旋轉(zhuǎn)體體積 (2)這就是以軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)體體積公式類似地，由連續(xù)曲線，直線與軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成旋轉(zhuǎn)體的體積為 (3)例5 求由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體(稱旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積解 旋轉(zhuǎn)橢球體可看作是由上半個(gè)橢圓及軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體取為積分變量，積分區(qū)間為，則體積元素為 于是，旋轉(zhuǎn)橢球體的體積 當(dāng)時(shí)，就是半徑為的球體體積公式例6 求由拋物線，直線與軸所圍成的平面圖形(1)繞軸、(2)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積解 (1) 積分變量為，積分區(qū)間為繞軸

22、旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積(如下圖)為 (2,4)2y=x2xy Oy=x2Oxy2(2) 積分變量為，積分區(qū)間為繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積應(yīng)為圓柱體體積減去杯狀的體積即 2、平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)一立體被垂直于某直線(可設(shè)此直線為軸)的平面所截，截面面積是的連續(xù)函數(shù), 立體位于過點(diǎn)且垂直于軸的兩個(gè)平面之間(圖519)雖然這類立體一般不是旋轉(zhuǎn)體，但它的體積可仿旋轉(zhuǎn)體體積的求法，用定積分來計(jì)算取為積分變量，積分區(qū)間為體積元素為 于是，該立體的體積為 (4)Obaxxx+dx例7 一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底面半徑，且與底面交成定角(如圖)求此平面截圓柱所得立體(楔形體)的體積解 取底面直徑所在

23、直線為軸，底面上過圓心且垂直于軸的直線為軸則底圓方程為立體中過點(diǎn)()且垂直于軸的截面是直角三角行，其面積為Oaxyx2+y2=R2xRa-Ry 于是，楔形體體積為 三、壓力與功1、液體的壓力在生產(chǎn)實(shí)踐中，我們常遇到水壓力的計(jì)算問題，如計(jì)算水庫閘門所受的壓力等這些都可應(yīng)用定積分來解決設(shè)閘門如圖所示，當(dāng)水齊閘門頂時(shí)，求閘門所受的壓力習(xí)慣上，我們是這樣選取直角坐標(biāo)系的：設(shè)軸位于液面上即與閘門頂重合，沿水平方向；軸鉛直向下兩坐標(biāo)軸與閘門位于同一平面上則閘門為由直線(軸)，軸與曲線所圍圖形取水深為積分變量，區(qū)分區(qū)間為ax+dxxy=f(x)NMxyO設(shè)閘門的面積為，則面積元素 由物理學(xué)知道, 在水深處的

24、壓強(qiáng)為 (表示水的密度，表示重力加速度)，于是，壓力元素因此，整個(gè)閘門所受的水壓力為 (5)例8 設(shè)某水庫的放水閘門為一梯形，如圖所示(圖中所示閘門尺寸以米為單位)求2m6mOyx10m水庫水齊閘門頂時(shí)閘門所受的水壓力解 由于閘門關(guān)于軸對(duì)稱，只要計(jì)算一半閘門的水壓力，然后再二倍就得閘門所受總的水壓力取水深為積分變量由圖可知， 積分區(qū)間為，直線方程為因此，閘門所受的總的水壓力為 () 1 6333 2、功我們知道，若物體在不變的力的作用下沿直線移動(dòng)了距離，則此過程中力所作的功為 如果力是變力，上面的公式顯然不適用但當(dāng)連續(xù)時(shí)，可以在點(diǎn)附近近似將力看作不變的力，因而在位移過程中，功的微元為由此可知，

25、在變力作用下物體沿軸由點(diǎn)到點(diǎn)過程中，力所作的功為 (6)在其他情況下功的計(jì)算，也可類似地用微元法來處理例9 半徑為1米的半球形水池，池中充滿了水，把池內(nèi)的水全部抽出需作多少功？xx+dxyxO解 建立坐標(biāo)系如圖所示，圓的方程為選水深為積分變量，在上任意小區(qū)間上相應(yīng)小薄圓柱體的水重近似為()將這小水柱體提到池口的距離為，故功微元為將功的微元在區(qū)間上累積，得所求功為四、總結(jié)：1、平面圖形的面積求法：對(duì)x積分： (上邊界-下邊界再積分)； 對(duì)y積分： (右邊界-左邊界再積分) 2、旋轉(zhuǎn)體的體積：以x軸為一直角邊的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)：； 以y軸為一直角邊的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)： 3、 平行截面面積為已知的立體的體積： 4、 物理應(yīng)用：微元法五、作業(yè)：練習(xí) 2、3、4、6、7第五節(jié) 無窮區(qū)間上的廣義積分教學(xué)目的：掌握廣義積分的基本概念難點(diǎn)：積分后極限的計(jì)算重點(diǎn)：無窮限廣義積分教學(xué)內(nèi)容：前面討論的定積分，事實(shí)上有兩個(gè)前提，一是積分區(qū)