高二數學(秋下)第6講空間向量及其應用

1、第六講 空間向量及其應用課程目標掌握用空間向量解決立體幾何問題的題型課程重點能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）；能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用課程難點建立空間直角坐標系，應用空間向量解立體幾何問題教學方法建議典型例題與知識點相結合，與高考題相結合，讓學生理解并掌握處理空間向量應用立體幾何問題的關鍵選材程度及數量課堂精講例題搭配課堂訓練題課后作業(yè)A類（ 2 ）道（ 2 ）道（ 5 ）道B類（ 4 ）道（ 4 ）道（ 10 ）道C類（ 2 ）道（ 2 ）道（ 5 ）道1、 知識梳理1.空間直

2、角坐標系及有關概念（1）空間直角坐標系：以空間一點O為原點，建立三條兩兩垂直的數軸：x軸，y軸，z軸，就建立了空間直角坐標系Oxyz，其中點O叫做坐標原點. x軸，y軸，z軸統(tǒng)稱坐標軸.由坐標軸確定的平面叫做坐標平面.（2）右手直角坐標系的含義是：當右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸方向時，中指一定指向z軸的正方向；（3）空間一點M的坐標為有序實數組（x，y，z），記作M（x，y，z），其中x叫做M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標.2.空間兩點間的距離公式設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則|AB|=.3.空間向量及有關定理空間向量的概念及運算與平面向量基本相

3、同.加減運算遵循三角形法則或平行四邊形法則；數乘運算和數量積運算與平面向量的數乘運算和數量積運算相同；坐標運算與平面向量的坐標運算類似，只是增加了豎坐標的運算.（1）共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數，使得=；（2）共面向量定理：如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使.注：若與確定平面為，則表示的有向線段與的關系是可能與平行，也可能在內.（3）空間向量基本定理：如果三個向量，不共面，那么對空間任一向量，存在有序實數組，使得=.其中，叫做空間的一個基底.4.空間向量的數量積及運算律（1）數量積及相關概念.兩向量的夾角：已知兩個非零向量，

4、在空間任取一點O，作，則AOB叫做向量與的夾角，記作<，>，其范圍是0<，>，若<，>=/2，則稱與互相垂直，記為.兩向量的數量積：已知空間兩個非零向量，則叫做，的數量積，記作·，即·=.（2）數量積的運算律：結合律：；交換律；分配律：.5.空間向量的有關運算設，.（1）坐標運算：；.（2）共線與垂直的坐標表示：；（均為非零向量）.（3）模和距離公式：；若，則.2、 方法歸納1.直線的方向向量與平面的法向量的確定（1）直線的方向向量：在直線上任取一個非零向量作為它的方向向量；（2）平面的法向量可利用方程組求出：設，是平面內兩不共線向量，為

5、平面的法向量，則.此方程組中有三個變量，但只有兩個方程，可給其中一個變量恰當賦值，求出該方程組的一組非零解，即可作為法向量的坐標.2.空間向量與空間角的關系（1）設異面直線的方向向量分別為則所成的角滿足；（2）設直線的方向向量和平面的法向量分別為，則直線與平面所成角滿足；（3）如圖，AB，CD是二面角-的兩個面內與棱垂直的直線，則二面角的大?。蝗鐖D和，分別是二面角-的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足或.3.點面距的求法如圖，設AB為平面的一條斜線段，為平面的法向量，則B到平面的距離為三、課堂精講例題問題一：空間向量的概念及性質【例1】有以下命題：如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組

6、基底，那么的關系是不共線；為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點一定共面；已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底.其中正確的命題是 （ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】對于，如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么一定共線”，所以錯誤.正確.【適時導練】1. 下列命題正確的是（ ）A.若與共線，與共線，則與共線B.向量共面就是它們所在的直線共面C.零向量沒有確定的方向D.若，則存在唯一的實數使得【答案】C【解析】A項中向量為零向量時不成立，B項中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D項中需保證不為零向量.問題二： 空間向量的運算【例2】如圖，在平行六面

7、體中，為與的交點.若，則下列向量中與相等的向量是 （ ）A.B.C. D.【答案】A【解析】.【例3】（1）已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是 （ ）A.：|=：|B.a1b1=a2b2=a3b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實數k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，則x+y的值是（ ）A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.1（3）下列各組向量共面的是 （ ）A.=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B.=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）C.=（1，1，0），=

8、（1，0，1），=（0，1，1）D.=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）【解析】（1）D點撥：由共線向量定理易知；（2）A點撥：由題知或（3）A點撥：由共面向量基本定理可得.【適時導練】2. 已知：且不共面.若，求的值.【解析】，且即又不共面，3已知空間三點A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）.設=，=，（1）求和的夾角的余弦值；（2）若向量k+與k2互相垂直，求k的值.【解析】A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），=，=，=（1，1，0），=（1，0，2）.（1）.（2）k+=k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k2=（k+2，k

9、，4），且（k+）（k2），（k1，k，2）·（k+2，k，4）=（k1）（k+2）+k28=2k2+k10=0.則或k=2.問題三： 異面直線所成的角【例4】直三棱柱A1B1C1-ABC，BCA=，點D1、F1 分別是A1B1、A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】連結D1F1，則D1F1，BC ，D1F1.設點E為BC中點，D1F1BE，BD1EF1，EF1A或其補角即為BD1與AF1所成的角.由余弦定理可求得.故選A.【適時導練】4.已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為（ ）A.B.C.D

10、.【答案】B【解析】二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角與二面角的大小相等，=，選B.問題四：直線與平面所成的角【例5】PA、PB、PC是從P點出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】構造正方體如圖所示，D過點C作CO平面PAB，垂足為O，則O為正ABP的中心，于是CPO為PC與平面PAB所成的角.設PC=a，則PO=，故，選C.【例6】如圖，在五棱錐PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形（）求證：

11、平面PCD平面PAC；（）求直線PB與平面PCD所成角的大?。唬ǎ┣笏睦忮FPACDE的體積【解析】（）因為ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：解得，所以，即，又PA平面ABCDE，所以PA，又PA，所以平面，又ABCD，所以平面，又因為平面PCD，所以平面PCD平面PAC；（）由（）知兩兩互相垂直，分別以直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由于為等腰直角三角形，所以，而，則.因為，所以四邊形是直角梯形.因為，所以，故，所以.因此，設是平面的一個法向量，則，解得.取，得，而.設表示向量與平面的法向量所成的角，則.因此直線PB與平面PCD所成的角為；（）由（）知

12、平面，所以，又ACED，所以四邊形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四邊形ACDE的面積為，所以四棱錐PACDE的體積為=.【適時導練】5. 已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點.求：D1E與平面BC1D所成角的余弦值.【解析】建立坐標系如圖，A1B1C1D1ABCDExyz則，.不難證明為平面BC1D的法向量，D1E與平面BC1D所成的角的余弦值為.問題五：二面角【例7】如圖，在直四棱柱中，已知，（）設是的中點，求證：平面；（）求二面角的余弦值BCDAEG【解析】（）連結，則四邊形為正方形，且，四邊形為平行四邊形又平面，平面，平面（）以為原點，所在直線分

13、別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，BCDAEzyxFM不妨設，則，設為平面的一個法向量由，得取，則又，設為平面的一個法向量，由，得取，則，設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，即所求二面角的余弦為【適時導練】6.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，分別是的中點（）證明：；（）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值PBECDFA【解析】（）由四邊形為菱形，可得為正三角形因為為的中點，所以又，因此因為平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以（）由（）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，PBECDFAyzx又分別為的中點，所以，所以設平面的

14、一法向量為，則因此取，則，因為，所以平面，故為平面的一法向量又，所以因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為問題六：線面距離【例8】已知正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是AC的中點.（1）求點到直線AC的距離.（2）求直線到平面的距離.BACD【解析】（1）連結BD，由三垂線定理可得：，所以就是點到直線AC的距離.在中.（2）因為AC與平面BD交于的中點，設，則/DE，所以/平面，所以到平面BD的距離等于點到平面BD的距離，等于點到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高.，.所以直線到平面BD的距離是.【適時導練】7.如圖已知邊長為的正三角形中，、分別為和的中點，面，且，設平面過且與平行. 求

15、與平面間的距離？ACBPEF【解析】設、的單位向量分別為、，選取，作為空間向量的一組基底.易知，=，設是平面的一個法向量，則，即，直線與平面間的距離=四、課后自我檢測A 組1.如圖，弧AEC是半徑為的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FC平面BED，F(xiàn)B=.（1）證明：EBFD（2）求點B到平面FED的距離. 2在三棱錐中，側面與側面均為等邊三角形，為中點（）證明：平面；（）求二面角的余弦值3.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，平面（1）求證：平面PAC；（2） 求二面角的大小.4. 三棱錐中，.（1） 求證：面面（2） 求二

16、面角的余弦值5如圖，在矩形中，為的中點，現(xiàn)將沿直線翻折成，使平面平面，為線段的中點.（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正切值. 6如圖，已知三角形與所在平面互相垂直，且，點，分別在線段上，沿直線將向上翻折，使與重合（）求證：；（）求直線與平面所成的角.7.如圖，在中，、分別為、的中點，的延長線交于.現(xiàn)將沿折起，折成二面角，連接.（）求證：平面平面；（）當時，求二面角大小的余弦值.8如圖，已知平行四邊形中，垂足為，沿直線將翻折成，使得平面平面連接，是上的點（）當時，求證平面；（）當時，求二面角的余弦值 【參考答案】1.【解析】（1）點E為弧的中點，即BEAC，又FC平面BED，且BE平面B

17、ED，BEFC，AC 、FC平面BFD，且ACFC=C，BE平面BFD，又FD平面BFD，EBFD.（2）由已知，得AB=BC=CD=BE=a，由FC平面BED，得FCBC，在RtFBC中，在RtFBE中，又，又，由等體積法，得，即，解得，即點B到平面FED的距離為.2.【解析】（）由題設，連結.為等腰直角三角形，所以，且.又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解法一：取中點，連結，由（）知，得為二面角的平面角由，得平面所以，又，故所以二面角的余弦值為解法二：以為坐標原點，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系設，則的中點，故故等于二面角的平面角又，所以二面角

18、的余弦值為3.【解析】（1）如圖，建立坐標系，則，.又，. （2）設平面的法向量為，設平面的法向量為，則.， 解得令，則二面角的大小為. 4.【解析】（1）取中點，連接，由已知為直角三角形，所以可得，又知，則!POA!POB!POC，所以，所以，所以平面面，平面平面.（2）過作與垂直，交于點，如圖建立坐標系，則， .設平面的法向量為，由可知.同理可求得面的法向量為，所以5.【解析】（）取的中點，連接， 則，且=，又，且=，從而有EB，所以四邊形為平行四邊形，故有.又平面，平面，所以平面（）過作，為垂足，連接，因為平面平面，且面平面 =，所以平面，所以就是直線與平面所成的角過作，為垂足，因為平面

19、平面，且面平面 =，所以平面，在中，所以 又，所以，故直線與平面所成角的正切值為 6.【解析】（）面面，又面.（）解法一：作，垂足為，則面，連接，設，則，設，由題意，則，解得.由（）知面，直線與平面所成的角的正弦值就是直線與直線所成角的余弦值，即=，即直線與平面所成的角為.解法二：取的中點，的中點,如圖以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系. 不妨設，則，由即，解得，所以，故.設為平面的一個法向量，因為，由，即，所以.設直線與平面所成的角為則.所以.即直線與平面所成的角為.7.【解析】（）在，又E是CD的中點，得AFCD折起后，AECD，EFCD，又AEEF=E，A

20、E平面AED，EF平面AEF，故CD平面AEF，又CD平面CDB，故平面AEF平面CBD.（）過點A作AHEF，垂足H落在FE的延長線上.因為CD平面AEF，所以CDAH，所以AH平面CBD. 以E為原點，EF所在直線為x軸，ED所在直線為y軸，過E與AH平行的直線為z軸,建立如圖空間直角坐標系. 由（）可知AEF即為所求二面角的平面角，設為，并設AC= ，可得得 故二面角ACDB大小的余弦值為8.【解析】（），平面平面，如圖建立空間直角坐標系，則，又，平面（）設，則，由得：，解得，設面的法向量為，則取，則，又平面的法向量為，設二面角的大小為，則B 組1.如圖，已知點P在正方體的對角線上，（）

21、求DP與所成角的大小；（）求DP與平面所成角的大小ABCDP2.如圖，已知直角梯形的上底，平面平面，是邊長為的等邊三角形.（1）證明：；（2）求二面角的大小.（3）求三棱錐的體積.3在直三棱柱中，異面直線與成的角，點分別是棱和的中點，點是棱上的動點.（1）證明：；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的大小.4.如圖，在三棱柱中，側面，均為正方形，點是棱的中點.（）求證：平面；（）求證：平面；（）求二面角的余弦值.ABCC11B1A1D5如圖，在六面體中，平面平面，平面，且， （）求證： 平面； （）求二面角的余弦值； （） 求六面體的體積ABCDEGF6.如圖，已知正方體的棱長為，點是正方形

22、的中心，點、分別是棱的中點設點分別是點，在平面內的正投影（1）求以為頂點，以四邊形在平面內的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（）證明：直線；（）求異面直線所成角的正弦值7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點D在AB上 （）求證：ACB1C； （）若D是AB中點，求證：AC1平面B1CD；（）當時，求二面角的余弦值AA1BCDB1C1E8. 如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大??；（II）求四棱錐EABCD與四棱錐FABCD公共部分的體積.【參考

23、答案】1.【解析】如圖，以為原點，為單位長建立空間直角坐標系ABCDPxyzH則，連結，在平面中，延長交于設，由已知，由可得，解得，所以（）因為，所以即與所成的角為（）平面的一個法向量是因為，所以可得與平面所成的角為.2.【解析】（1）在直角梯形ABCD中，因為，CD=2，所以.因為BCCD，平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCD=CD，所以BC平面PDC，因此在RtBCP中，.因為BCAD,所以AD平面PDC，所以在RtPAD中，.所以在RtPB中，所以. （2）設線段DC的中點為E，連接PE，EB因為PCD是等邊三角形，所以，因為平面平面ABCD，平面平面ABCD=CD，所以平面A

24、BCD，因此.由（1）知，所以平面，所以，因此就是二面角的平面角，在中，所以.（3）3.【解析】（1）取中點M，連接，則平面，則在平面內的攝影為，.（2）由體積轉換可求點到平面的距離為，而是的中點，所以點到平面的距離為.（3）取的中點，連接，則.又平面，.平面.作于，連接，所以是所求二面角的平面角.易得，又，所求二面角的平面角為.4.【解析】（）因為側面，均為正方形， 所以，所以平面，三棱柱是直三棱柱.因為平面，所以，又因為，為中點，所以. 因為，所以平面. （）連結，交于點，連結，因為為正方形，所以為中點，又為中點，所以為中位線，所以，因為平面，平面，所以平面. （）因為側面，均為正方形，所

25、以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系.B1ABCC11A1DxyzO設，則.，設平面的法向量為，則有，取，得. 又因為平面，所以平面的法向量為，因二面角是鈍角，所以二面角的余弦值為. 5.【解析】解法一（向量法）：由已知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標系，ABCDEGFM則A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F(xiàn)（2，1，0）.（），所以BFCG又BF平面ACGD故 BF/平面ACGD（），設平面BCGF的法向量為，則，令，則，而平面ADGC的法向量，.故二面角D-CG-F的余弦值為（）設DG的中點為M，連接AM、FM，則解法二：

26、設DG的中點為M，連接AM、FM，ABCDEGFMN則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，所以MF/DE，且MFDE.又AB/DE，且ABDE，MF/AB，且MFAB.四邊形ABMF是平行四邊形，即BF/AM，又BF平面ACGD，故 BF/平面ACGD.（）由已知AD面DEFGDEAD ，DEDG，即DE面ADGC .MF/DE，且MFDE ，MF面ADGC.在平面ADGC中，過M作MNGC，垂足為N，連接NF，則顯然MNF是所求二面角的平面角ACDGMN在四邊形ADGC中，ADAC，ADDG，AC=DMMG1，MN.在直角三角形MNF中，MF2，MN，.故二面角D-CG-F的余弦值為.（）6.【解析】（1）作點、在平面內的正投影、，則、分別為、的中點，連結、，則所求為四棱