焊接數(shù)值模擬

1、材料加工過程的數(shù)值模擬第二章：溫度場數(shù)值模擬焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算材料焊接過程的數(shù)值模擬材料加工過程的數(shù)值模擬焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算 概述概述 焊接過程數(shù)值分析的內(nèi)容 焊接過程的特點 焊接過程中溫度應(yīng)力和變形組織轉(zhuǎn)變的關(guān)系 焊接過程數(shù)值分析的主要困難焊接過程的數(shù)值模擬焊接過程的數(shù)值模擬 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值分析的內(nèi)容焊接熔池中的流體動力學(xué)和熱過程焊接熔池中的流體動力學(xué)和熱過程熱源與金屬的相互作用熱源與金屬的相互作用焊接電弧物理，焊接電弧的傳熱與傳質(zhì)焊接電弧物理，焊接電弧的傳熱與傳質(zhì)電弧作用于熔池表面的熱能和壓力分布電弧作用于熔池表面的熱能和壓力分布熔池表面的變形熔池表面的變形液

2、態(tài)金屬的蒸發(fā)液態(tài)金屬的蒸發(fā)氫及氮氧等在熔池及環(huán)境之間的分配氫及氮氧等在熔池及環(huán)境之間的分配焊接冶金和焊接接頭組織性能的預(yù)測，包括相變過程焊接冶金和焊接接頭組織性能的預(yù)測，包括相變過程焊接應(yīng)力與變形焊接應(yīng)力與變形焊接過程中的氫擴散焊接過程中的氫擴散特種焊的數(shù)值模擬特種焊的數(shù)值模擬電阻點焊電阻點焊陶瓷金屬的焊接陶瓷金屬的焊接激光焊的熔化和凝固激光焊的熔化和凝固瞬態(tài)液相連接（過渡液相焊）瞬態(tài)液相連接（過渡液相焊）攪拌摩擦焊攪拌摩擦焊焊接接頭的力學(xué)行為焊接裂紋焊接接頭的力學(xué)行為焊接裂紋熱裂紋，冷裂紋，裂紋的熱裂紋，冷裂紋，裂紋的 形成和擴展，形成和擴展，焊接接頭的不均勻性焊接接頭的不均勻性焊接斷裂力學(xué)

3、焊接斷裂力學(xué)焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值模擬的研究：電弧焊焊接數(shù)值模擬的研究：電弧焊電弧部分電弧部分流場、溫度場、電場流場、溫度場、電場研究各種工藝參數(shù)（電流、電壓、弧柱氣氛，電極伸出長度等等）對溫度場，電研究各種工藝參數(shù)（電流、電壓、弧柱氣氛，電極伸出長度等等）對溫度場，電流密度，壓降分布以及熔滴過渡過程的影響規(guī)律流密度，壓降分布以及熔滴過渡過程的影響規(guī)律熔池部分熔池部分熔池形狀熔池形狀流場、溫度場，主要研究成分和工藝因素對熔池形狀的影響，針對焊縫形狀控制流場、溫度場，主要研究成分和工藝因素對熔池形狀的影響，針對焊縫形狀控制冶金過程冶金過程熔池中氣體的吸收熔池中氣體的吸收各種氧化物氮化物

4、的形成及其作為非均質(zhì)核心的可能各種氧化物氮化物的形成及其作為非均質(zhì)核心的可能凝固熔質(zhì)元素分布（偏析）凝固組織大小，結(jié)晶路徑，凝固熔質(zhì)元素分布（偏析）凝固組織大小，結(jié)晶路徑，BTRBTR區(qū)間等區(qū)間等結(jié)構(gòu)部分結(jié)構(gòu)部分熱過程溫度分布，預(yù)測熱影響區(qū)大小，冷卻時間，熱過程溫度分布，預(yù)測熱影響區(qū)大小，冷卻時間，TmaxTmax，thth，t8/5t8/5等等力過程應(yīng)力應(yīng)變過程，殘余應(yīng)力和變形，預(yù)測裂紋，控制殘余應(yīng)力和變形力過程應(yīng)力應(yīng)變過程，殘余應(yīng)力和變形，預(yù)測裂紋，控制殘余應(yīng)力和變形冶金過程晶粒長大，相變，氫擴散，接頭組織性能預(yù)測，冷裂敏感性預(yù)測等冶金過程晶粒長大，相變，氫擴散，接頭組織性能預(yù)測，冷裂敏感

5、性預(yù)測等接頭性能與服役行為不均質(zhì)、存在缺陷、殘余應(yīng)力斷裂行為（韌性，強度，接頭性能與服役行為不均質(zhì)、存在缺陷、殘余應(yīng)力斷裂行為（韌性，強度，疲勞性能等）與可靠性分析等等疲勞性能等）與可靠性分析等等 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值模擬：其他焊接方法焊接數(shù)值模擬：其他焊接方法 電阻點焊電阻點焊 熔核的形成與控制，性能預(yù)測與分析 擴散焊擴散焊 過程模擬，溫度，壓力對界面接合的影響；TLP過程的模擬 釬焊釬焊 SMT焊點形態(tài)模擬，焊點服役過程中的熱應(yīng)力應(yīng)變循環(huán)，壽命估計等等 激光焊接激光焊接 焊接溫度場模擬與接頭的形成及預(yù)測，激光相變硬化時的三維溫度場模擬與處理 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算Fluid

6、Flow and Surface Deformation in Weld Pool The following computer simulation shows the flow of metal within a weld pool during welding. The colours represent the temperature in Kelvin. Notice also that the surface of the pool is deformed (i.e., it is not flat. The shape of the surface trailing the we

7、lding arc becomes frozen in and determines the surface topology of the final weld. A surface topology which causes the concentration of stress during service can be detrimental to the fatigue life of the engineering structure containing the weld. The work is due to G. G. Roy and T. DebRoy of Penssyl

8、vania State University, U.S.A.For a review of the subject, see: T. DebRoy, Role of Interfacial Phenomena in Numerical Analysis of Weldability, Mathematical Modelling of Weld Phenomena II, The Institute of Materials, London, (1995) pp. 3-21. 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算焊接過程中劇烈變化的溫度場焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算焊接溫度場、應(yīng)力和變形場及顯微組織場的相互關(guān)

9、系熱力學(xué)溫度場力 學(xué)應(yīng)力和變形場金 相 學(xué)顯微組織狀態(tài)場熱應(yīng)力熱應(yīng)力變形熱變形熱相變潛熱相變潛熱顯微組織轉(zhuǎn)變顯微組織轉(zhuǎn)變應(yīng)力導(dǎo)致相變應(yīng)力導(dǎo)致相變相變應(yīng)力相變應(yīng)力焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算5種不同熱源模型 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算 熱傳導(dǎo)微分方程 移動的焊接熱源 非線性的散熱條件tQczTyTxTctTv1222222)(0TTaqrc焊接溫度場的數(shù)值模擬焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算焊接溫度場的數(shù)值模擬焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算焊接溫度場的數(shù)值模擬焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算教學(xué)目的 掌握基本的傳熱知識 了解熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢 了解傳熱問題的數(shù)值計算方法 掌握實際熱加工過程溫度場數(shù)值模擬的基

10、本步驟焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算先修課程 傳熱學(xué) 高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù) 數(shù)值分析 熱加工基本理論 材料基礎(chǔ)知識焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算參考書目 鑄件凝固過程數(shù)值模擬，陳海清等，重慶大學(xué)出版社，1991（TG21-C4-2） 焊接熱過程數(shù)值分析，武傳松，哈工大出版社，1990（TG402-N74） 計算機在鑄造中的應(yīng)用，程軍，機械工業(yè)出版社，1993（TG248-C73） 計算傳熱學(xué)，郭寬良，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1988（TK124-43-G91） 焊接熱效應(yīng)，德D.拉達(dá)伊，機械工業(yè)出版社，1997焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的意義 材料熱加工 鑄造：液

11、態(tài)流動充型、凝固結(jié)晶等； 鍛壓：固態(tài)流動變形、相變、再結(jié)晶等； 焊接：熔池金屬熔化、凝固結(jié)晶；熱影響區(qū)金屬經(jīng)歷不同的熱處理過程； 熱處理：相變、再結(jié)晶等； 特點：復(fù)雜的物理、化學(xué)、冶金變化 熱加工過程目的 獲得一定的形狀、尺寸、成分和組織 成為零件、毛坯、結(jié)構(gòu)焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的意義 熱加工過程的結(jié)果 成型和改性：使材料的成分、組織、性能最后處于最佳狀態(tài) 熱加工工藝設(shè)計 根據(jù)所要求的組織和性能，制定合理的熱加工工藝，指導(dǎo)材料的熱加工過程 熱加工工藝設(shè)計存在的問題 復(fù)雜的高溫、動態(tài)、瞬時過程：難以直接觀察，間接測試也十分困難 建立在“經(jīng)驗”、“

12、技藝”基礎(chǔ)上焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的意義 解決方法 熱加工工藝模擬技術(shù)：在材料熱加工理論指導(dǎo)下，通過數(shù)值模擬和物理模擬，在實驗室動態(tài)仿真材料的熱加工過程，預(yù)測實際工藝條件下的材料的最后組織、性能和質(zhì)量，進(jìn)而實現(xiàn)熱加工工藝的優(yōu)化設(shè)計 熱加工過程模擬的意義 認(rèn)識過程或工藝的本質(zhì)，預(yù)測并優(yōu)化過程和工藝的結(jié)果（組織和性能） 與制造過程結(jié)合，實現(xiàn)快速設(shè)計和制造焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的發(fā)展歷程 60年代（起源于鑄造） 丹麥的Forsund首次采用有限差分計算了鑄件凝固過程的傳熱。 美國隨后進(jìn)行了大型鑄鋼件溫度場

13、的數(shù)值模擬 70年代（擴展） 更多的國家加入 擴展到鍛壓、焊接和熱處理 80年代以后（迅速發(fā)展） 1981年開始，每兩年舉辦一次鑄造和焊接過程的數(shù)值模擬國際會議 1992年開始，每兩年舉辦一次焊接過程數(shù)值模擬國際大會 目前（成為研究熱點） 國家攀登計劃 973基礎(chǔ)研究計劃焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的發(fā)展趨勢 宏觀中觀微觀 宏觀：形狀、尺寸、輪廓 中觀：組織和性能 微觀：相變、結(jié)晶、再結(jié)晶、偏析、擴散、氣體析出 單一、分散耦合集成 流場溫度場 溫度場應(yīng)力/應(yīng)變場 溫度場組織場 應(yīng)力/應(yīng)變場組織場焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱

14、加工過程模擬的發(fā)展趨勢 重視提高數(shù)值模擬的精度和速度 重視精確的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)獲得與積累 與生產(chǎn)技術(shù)其他技術(shù)環(huán)節(jié)集成，成為先進(jìn)制造技術(shù)的重要組成 與產(chǎn)品設(shè)計系統(tǒng)集成 與零件加工制造系統(tǒng)集成焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀部分商業(yè)軟件 鑄造 PROCAST, SIMULOR 鍛壓 DEFORM, AUTOFORGE, SUPERFORGE 通用 MARC, ABAQUS, ADINA, ANSYS焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-2溫度場及傳熱的基本概念 溫度場定義 在 x、y、z直角坐標(biāo)系中，連續(xù)介質(zhì)各個地點在同一時刻的溫度分布，叫做溫度場。 T=f(x,y,z,t) 穩(wěn)定溫度場

15、T= f(x,y,z) 不穩(wěn)定溫度場 T=f(x,y,z,t) 等溫面 等溫線焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算熱量傳遞的三種基本形式/熱傳導(dǎo) 定義：物體各個部分之間不發(fā)生相對位移時，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運動而產(chǎn)生的熱量傳遞。 表達(dá)式： 傅立葉定律： 矢量表示：xTFQxTFQnnTgradqkzjyigradnnTgradTTTxTT T 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算熱量傳遞的三種基本形式/熱對流 定義 運動的流體質(zhì)點發(fā)生相對位移而引起的熱轉(zhuǎn)移現(xiàn)象 遵循的定律 牛頓定律 公式：)FT(TQ0ccaac:對流放熱系數(shù)，單位W/（m2. OC）焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算熱量傳遞的三種基本形式/

16、熱輻射 定義 物質(zhì)受熱后，內(nèi)部原子震動而出現(xiàn)的一種電磁波能量傳遞。 遵循定律 斯蒂芬-波爾茲曼定律 公式： T：熱力學(xué)溫度（k） C：輻射系數(shù)，C=C0, C0=5.67W/m2.K4 黑度系數(shù) 兩物體之間熱輻射交換：QR= C0(T14- T24)4cTQ 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)模型建立與描述熱傳導(dǎo)微分方程式根據(jù)A傅里葉公式B能量守恒定律建立：dxdydz、體積元1：x、y、z、三個方向2zyxQQQ：、三個方向輸入熱量3dzzdyyxQQQ：、三個方向輸出熱量dx4焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算zzqdqdzz：dxdydz、體積元1熱傳導(dǎo)微分方程式是根據(jù)傅里葉公式和能量守恒定律建立

17、的：x、y、z、三個方向2zyxQQQ：、三個方向輸入熱量3dzzdyyxQQQ：、三個方向輸出熱量dx4焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)模型建立與描述Tqn dQcdxdydzdT)(dxdydtdqdxdzdtdqdydzdtdqdQdQdQdQzyxzyxdzzqdqdyyqdqdxxqdqzzyyxxdxdydzzTzyTyxTxdQdtTdT焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算TzTyTxTcT2222222222222zTyTxTtT2222yTxTtT22xTtT焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算 WTf t Wqf tWWfqTT f xxf xdfdxx f xf xxdfdxx 1122f x

18、xf xf xf xxf xxf xxdfdxxxx焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算 22323.02!3!f xxf xxdfx d fd fxxdxdxdx 22323.02!3!fxfxxxdfx d fd fxxdxdxdx 2323.023!f xxf xxxdfd fxxdxdx 2222fxxfxfxfxxfxxfxfxxd fxxdxxx 222220fxxfxfxxd fxdxx2210,0TTtxLxt焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2210,0PPiiTTtxLxt10PPPiiiTTTttt22112220PPPPiiiiTTTTxxx1221122200PPPPPPiiiiiiTTT

19、TTTxtxtx121122100PPPPPiiiiiTTTTTtxtx 1112210PPPPPiiiiiTTTTTtx焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算11122PPPPPiiiiitTTTTTx202ttFxcx1221PPiiTTxt111121122100PPPPPiiiiiTTTTTxttx11111122PPPPPiiiiitTTTTTx焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算112222211122PPPiiiTTTxxt1122022PPPiiiTTTttt1112211112222111022PPPPPPPiiiiiiiiTTTTTTTTtxtxx 11111111222211122PPPPPPPP

20、iiiiiiiiTTTTTTTTtxx11101001010012 12 1PPPPPPiiiiiiF TF TF TF TF TF T焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算1222211PPPiiiTTTxxt1110100101001121121PPPiiiPPPiiiF TFTF TF TFTF T 22122210,0TTTxLyLxyt122222222,11PPPi ji ji jTTTTTxyxyt焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算1111111,1,1,12211,1,1,1,22222211PPPPPPiji jiji ji ji jPPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTT

21、TTTxyTTTTTTTTtxy11,1,1,1,22221PPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTTTtxy11111111,1,1,1,22221PPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTTTtxy焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算1111111,1,1,12211,1,1,1,22221222112PPPPPPiji jiji ji ji jPPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTxyTTTTTTTTtxy1,1,1,1,11102212PPPPPPiji ji ji ji ji jPPi ji jTTT

22、TTTxxyxyyTTxcyt焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算1,01,1,10,214PPPPPi jiji ji ji jTFTTTF T1,1,1,1,11122112PPPPPPiji jiji ji ji jPPi ji jrTTTTTTyyxxxyTTyqxcxt1,01,1,10,221 4PPPPPri jijiji ji jqtTF TTTF TcxcfTTTx焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算1,1,1,1,11211212PPPPiji ji ji jPPi ji jPcfi jPPi ji jTTTTxyxyTTxyTTyTTxcyt1,0,1,11,0,2221 4PPPPPcci j

23、i ji jiji jttTF TTTFTTcxcx,Pi jWTT焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算1,1,4,1,40,1,11221112PPPPiji jiji jPPi ji jPfi jPPi ji jTTTTyyxxTTxcxTTyTTycxt1,01,1,10,440,21 42PPPPPi jijiji ji jPfi jTF TTTF TctTTcx1,1,1,11122211222PPPPiji ji ji jrPPi ji jPcfi jTTTTyxxqxyTTyxyTTct焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算1,01,10,221422PPPPi jiji ji jrPcfi jtTF T

24、TF Tqc xtTTc x焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述建立基礎(chǔ)：傅立葉定律和能量守恒定律在d 時間內(nèi)，沿X方向?qū)胛⒃w的熱量：Qx=qx dAd= qx dy dz d 在d 時間內(nèi)，沿X方向?qū)С鑫⒃w的熱量：Qx+ dX =qx+ dX dAd= qx +dX dy dz d 在d 時間內(nèi)，沿X方向在微元體內(nèi)積蓄的熱量：dQx = Qx - Qx+ dX =(qx - qx +dX ) dy dz d = d qx dy dz d 同理： dQy = d qy dx dz d dQz = d qz dx dy d 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述微元體中總的積蓄熱量：dQ

25、= dQx + dQy + dQz = (d qx dy dz d +d qy dx dz d + d qz dx dy d )dzzqzdyyqydxxqxzyxdqdqdqzTqyTqxTqzyxdxdydzdzTyTxTdxdydzdzTzyTyxTxdxdydzdzqyqxqzyx)(222222)()()()焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算 另： dTdxdydzcdTdxdydzcdQdTdTdxdydzdTcdQcTTcTTcdxdydzddTdxdydzczTyTxTzTyTxTzTyTxT,)()()(2222222222222222222導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算導(dǎo)熱的

26、數(shù)學(xué)描述 一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱： 二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱： 三維穩(wěn)定導(dǎo)熱： 一般表達(dá)式：)(22xTT)(2222yTxTT02222222222220)(zTyTxTzTyTxTT.)()()(QzTzyTyxTxTc焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述初始條件和邊界條件 初始條件：物體開始導(dǎo)熱瞬時的溫度分布，T=f(x,y,z) （=0） 邊界條件：物體表面與周圍介質(zhì)交換的情況 第一類邊界條件：已知物體表面溫度Tw隨時間變化關(guān)系。 Tw=f() 第二類邊界條件：已知物體表面比熱流量qw隨時間變化關(guān)系。qw=f() 第三類邊界條件：已知物體周圍介質(zhì)溫度Tf物體表面溫度（ Tw ）以及物體表面與周圍介質(zhì)間

27、的放熱系數(shù)。 qw= （ Tw - Tf ）焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-3傳熱問題的數(shù)值計算方法 分析解法 定義：以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，求解導(dǎo)熱微分方程的定解問題。 特點：求得的結(jié)果為精確解 不足：只能求解比較簡單的導(dǎo)熱問題，而對于幾何形狀復(fù)雜、變物性及復(fù)雜的邊界條件的導(dǎo)熱問題，難以計算。 數(shù)值解法 定義：是一種以離散數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，以計算機為工具的求解方法。 特點：不能獲得未知量的連續(xù)函數(shù)，而只是某些代表性地點的近似值 步驟 種類：有限差分法、有限元法、邊界元法、有限容積法等焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟 分析和簡化物理模型 判斷問題屬于穩(wěn)態(tài)問題

28、還是非穩(wěn)態(tài)問題 有無內(nèi)熱源 適宜的坐標(biāo) 判斷邊界條件的類型 數(shù)學(xué)模型的建立一般模型：物性參數(shù)為常數(shù)：非穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源物性參數(shù)為常數(shù)：.)()()(QzTzyTyxTxTcQzTyTxTT)222222(12222221zTyTxTT焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源：采用圓柱坐標(biāo)時，若物性參數(shù)為常數(shù)，由于:0222222zTyTxTQzTTrrTrrTTzzryrx)11(1,sin,cos2222222有：焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟區(qū)域和時域的離散 區(qū)域的離散：將幾何連續(xù)點的區(qū)域用一些列網(wǎng)格線分割開，形成一系列單元。 節(jié)點

29、：每個單元的中心稱為節(jié)點（內(nèi)節(jié)點、邊界節(jié)點） 步長：節(jié)點之間的距離（等步長、變步長），表示為x, y, z 時域的離散：非穩(wěn)態(tài)問題將時間分割成時間段 時間步長：每個計算時間間隔的長短， 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點差分方程的建立 內(nèi)節(jié)點一般采用直接法：即由導(dǎo)熱微分方程直接用差商代替微商，導(dǎo)出遞推公式，也可采用熱平衡法； 邊界節(jié)點一般采用熱平衡法，視具體邊界建立相應(yīng)的能量方程選擇求解差分方程組矩陣的計算方法編寫計算程序計算計算結(jié)果的處理和分析討論焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法一、有限差分的概念 微商和差商的定義若T(x)是連續(xù)

30、函數(shù)，則它的導(dǎo)數(shù)為： 稱為微商， 稱為差商，兩者之差代表以差商代替微商帶來的誤差。xTxxTxxTdxdTxx00lim)()(limdxdTxT焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算二、差商的形式1、向前差商 表示第5項以后各項的代數(shù)和，其值與（x）4的值屬同一個數(shù)量級。xxTxxTdxdT)()()()(!3)()(!2)()()()(432xOxTxxTxxTxxTxxT )(4xO )()()(.)(! 3)()(! 2)()()(2xodxdTxxTxxTxTxxTxxTxxTxxT 焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算二、差商的形式2、向后差商3、中心差商以上兩式相加除2，得到中心差商：)()()()()(

31、xOdxdTxxxTxTxxxTxTdxdT)(2)()(2xodxdTxxxTxxT焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算二、差商的形式4、二階差商xxxxTxTxxTxxTdxTd)()()()(222)()(2)()(xxTxxTxxT焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程/一維系統(tǒng)1、模型： 0，0 xL2、初始條件：T(x,0)=(x)3、邊界條件：T(0, )=1()， T(L, )=2()4、區(qū)域離散距離步長：x=xi-xi-1, xi =(i-1) x時間步長： = n- n-1, n=n Tin=T(xi, n)TxT122niT焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程/一維

32、系統(tǒng)5、有限差分方程建立1）顯示差分 點（i,n）的導(dǎo)熱方程為：01)(20)(1)(2)()()()(2)()(1)(121121211122112222nininininininininininininininininininiTTxTTTxoTTxTTToTTTxOxTTTxTTxT焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程nininininlnininininiTFTFTFTFxFnnTnnTlixiTlinTxTxTxT1112211012212100000)21 ()(.2 , 1 , 0),(.2 , 1 , 0),(1,.3 , 2,) 1(1,.,3 , 2,.,3 ,

33、2 , 1)()(21 ()(稱為傅立葉數(shù)。，令：焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程/一維系統(tǒng)2)隱式差分格式溫度對距離的二階偏微商是對應(yīng)時刻n+1的，而溫度對時間的一階偏微商是對應(yīng)時刻n的。差分方程為：截斷誤差：O +（ x）2，整理后：nininininiTTxTTT12111111)(2niniTxT)(1)(122.210)(.210)(1.32) 1(1.32.210)21 (210001011111，nnTnnTlixiTlinTTFTFTFnlninininini焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程以l=5為例，推導(dǎo)求解隱式差分方程：n=1時刻：)3()14

34、()2()13()()12()()1()()1()0(5)21(4)21(3)21(2)0()0(10403020403021511151105131415041213140311121302012211200000011xxTxxTxxTTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi為初始條件，方程為：，為邊界點，方程為：，這里，焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程n=2時刻：時求得。在，為邊界點，方程為：，這里，0)2()2()2()2()()1(5)21(4)21(3)21(2)()1(1141312252125211523242514222324132122

35、23121122112200000011nTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程n+1時刻：時刻求得。在，為邊界點，方程為：，這里，nTTTnnTnnTTTnnTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTinTinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn4321511151151314154121314311121321)1()1()1()1()()(5)21(4)21(3)21(211111220000001焊接數(shù)值計算焊接數(shù)值計算三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程c)顯式和隱士差分格式的比較 計算格式的差別 顯式在n+1時刻的溫度

36、由n時刻的3個已知溫度求出，不要求解方程組。 隱式格式中，由于一個方程中包含n+1時刻的3個未知溫度，只有把n+1時刻的所有節(jié)點方程列出后接聯(lián)立方程，才能求出n+1時刻所有節(jié)點的溫度。 穩(wěn)定性的差別 顯式差分的格式穩(wěn)定是有條件的，穩(wěn)定條件：F01/2 隱式差分格式的方程式無條件穩(wěn)定的 對計算步長的要求 對于顯式差分格式，穩(wěn)定性條件制約時間步長由距離步長所決定：（ x）2/2 對于隱式差分格式，時間步長和距離步長都可以任意取三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程/二維系統(tǒng)假設(shè)熱物理性能參數(shù)為常數(shù)，且無內(nèi)熱源。節(jié)點（i,j）處的溫度表示成Ti,j，對于0 xL1和0yL2的矩形區(qū)域內(nèi)，將二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱方程式應(yīng)用于

37、節(jié)點（i,j）可以寫成：)()()()(2)()()(2)()(1)(,1,221,1,2222, 1, 1,22,2222oTTTyoyTTTyTxoxTTTxTTyTxTnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程 若x= y，則：)41()(41 )(,1,1, 1, 1,21,1, 1, 121,00njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiTFTTTTFTxTTTTxT410F穩(wěn)定條件：四、邊界節(jié)點差分方程/熱平衡法 基本思想：將能量守恒原則應(yīng)用到每個單元體，不再從微分方程入手，而是將導(dǎo)熱的基本定律直接近

38、似。)(1(,1,njinjiTTyxcQji為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（njinjinjinjinjinjiTFTTTTFT,1,1, 1, 11,)41 (00 xTTyQjinjinjiji, 1, 1)1(,單元體的熱量分別為：）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在,)1()1()1(,1,1,1,1, 1, 1yxQQyTTxQyTTxQxTTyQnjinjijinjinjijinjinjiji若四、邊界節(jié)點差分方程 絕熱 給定熱流密度 對流邊界 給定溫度 輻射 混合四、邊界節(jié)點差分方程1、絕熱邊界相鄰單元體流入（i,j）單元體的熱量：)(12(,1,njinjiTTyxc

39、Qji為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（njinjinjinjinjiTFTTTFT,1,1, 11,)41 (200）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在ji,0, 1jiQxTTyQnjinjiji, 1, 1)1(yTTxQnjinjiji,1,1,)12(,)12(,1,1,yxQQyTTxQnjinjiji若四、邊界節(jié)點差分方程2、給定熱流密度qr的邊界相鄰單元體流入（i,j）單元體的熱量：)(12,1,njinjiTTxycQji為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（xcqTFTTTFTrnjinjinjinjinji2)41 (2,1, 1, 11,00 xTTyQnjin

40、jiji, 1, 1)12(xTTyQnjinjiji, 1, 1)12()1(1,xqQrji,yxQQ若四、邊界節(jié)點差分方程3、對流邊界已知對流放熱系數(shù)c及周圍介質(zhì)溫度Tf,)12()12()(1()1(,)(12(,1,1,1,1,1,1,1,1,yxQQyTTxQyTTxQTTyQxTTyQjiTTyxcQjinjinjijinjinjijinjijinjinjijinjinjifc若）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（fccTxcTxcFTTTFTnjinjinjinjinji2)241 (2, 11,1,1,00四、邊界節(jié)點差分方程4、給定溫

41、度邊界5、輻射邊界wTTnji,)(12(,1,njinjiTTyxcQji為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（)(2)41 (24,1, 1, 11,4000njinjinjinjinjinjiTTxccTFTTTFTf,)()1()1()12()12(,4,41,1,1, 1, 1, 1, 10yxQQTTxcQyTTxQxTTyQxTTyQjinjifjinjinjijinjinjijinjinjiji若）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在7、混合邊界,)12()12()12()12(,)(122(, 11,1,1, 1, 1,1,yxQQTTyQxqQyTTxQxTTyQjiTTy

42、xcQjinjifjijinjinjijinjinjijinjinjicr若）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（)(22)41 ()(2,1, 11,00njinjinjinjiTTxcxcqFTTFTfcr 差分法：以差分代替微分，對基本方程離散，建立以節(jié)點參數(shù)為未知量的線性方程組，而求得近似解。 優(yōu)點：線性方程組的計算格式比較簡單 不足：差分格式大多采用正方形、矩形和正三角形 有限元法：對連續(xù)體本身進(jìn)行離散，根據(jù)變分原理求解問題 優(yōu)點：適合于各種復(fù)雜形狀和復(fù)雜邊界條件的數(shù)值計算 不足：計算過程復(fù)雜2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的

43、有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、變分方法 研究泛函的極大值和極小值的方法1）泛函定義給定兩點1和2，連接這兩點曲線的長度:這樣就建立了一個函數(shù)關(guān)系：I=Iy(x)，稱I是y(x)的泛函。自變量是個函數(shù)，因變量是普通變量。dxdxdyxyIxx212)(1)(2）、泛函和函數(shù)2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)函數(shù)f(x)泛函Iy(x)變量f變量I自變量x函數(shù)y(x)x的增量 xy(x)的變分y函數(shù)的微分dfdf泛函的變分I2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3）、泛函和變分研究泛函極值的方法就是變分法。函數(shù)f=f(x）泛函I=Iy(x)如果對于變量x的某一域中的每一個x, f 都有一值與之對

44、應(yīng)，則變量f叫做x的函數(shù)，記為f(x）如果對于某一類函數(shù)y(x)中的每一個函數(shù)y(x), I 都有一值與之對應(yīng)，則變量I叫做依賴于函數(shù)y(x)的泛函，記為Iy(x)如果對于x的微小改變，有函數(shù)f(x)的微小改變與之對應(yīng)，則函數(shù)f(x)是連續(xù)的。如果對于y(x)的微小改變，有泛函的微小改變與之對應(yīng)，則泛函Iy(x)是連續(xù)的。如果可微函數(shù)f(x)的內(nèi)點x=x0處達(dá)到極大或極小值，則在這點df=0如果變分的泛函Iy(x)的內(nèi)點y=y0 (x)處達(dá)到極大或極小值，則在這點I=02-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、差值函數(shù)線性差值：求過曲線y(x)上已知點A(xi,yi)、B(xi+1,yi+1

45、)的直線方程：iiiiiiiiiiiiiiyxxxxyxxxxxyxxxxyyyxy111111)()()(還可以寫成：3、形函數(shù) 形函數(shù)只和單元的形狀、節(jié)點配置區(qū)間大小和差值方式有關(guān)，而和節(jié)點未知量無關(guān)，故統(tǒng)稱其為形函數(shù)。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1）一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱求解區(qū)間0，L劃分為有限個互補重疊的小區(qū)間。構(gòu)造的差值函數(shù)：形函數(shù)： 只和單元的形狀、節(jié)點配置區(qū)間大小和差值方式有關(guān)，而和節(jié)點未知量無關(guān)。故統(tǒng)稱其為形狀函數(shù)或形狀因子。)()(11iiiiiixxxxTTTxTiiiixxTT112-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對于三角形單元，通常假設(shè)單元e上的溫度是x,y的

46、線性函數(shù)。mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根據(jù)矩陣求逆，是待定常數(shù)。，式中即：2）二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的行列式。稱為方陣階行列式：則設(shè)矩陣Aaaaaaaaaanaaaaaaaaannnnnnnnnn2122211121121222111211.A.A*1212221212111*1.AAAaAAAAn

47、nAAAAAAAAAijijnnnn且有：的代數(shù)余子式。中元素為行列式的伴隨矩陣。稱為矩陣mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根據(jù)矩陣求逆，是待定常數(shù)。，式中即：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/數(shù)學(xué)基礎(chǔ)ijmjimijjimmijimjmiimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxayax

48、aaT,321記：即：2111ijjimmjjiicbcbyxyxyx)(21)(21)(2121321321321321mmjjiimmjjiimmjjiimjimjimjimjiTcTcTcaTbTbTbaTaTaTaaTTTcccbbbaaaaaaaaayaxaaT是待定常數(shù)。，式中即：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) )(21)(21)(21,)()()(21ycxbaNycxbaNycxbaNTNTTTTNNNTTNTNTNTTycxbaTycxbaTycxbaTmmmmjjjjiiiimjimjimmjjiimmmmjjjjiiiiT用有限元法求解二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱問題時，采用

49、三角形單元離散化并通過線性差值所求得的形函數(shù)(Ni, Nj, Nm)。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 形函數(shù)(Ni, Nj, Nm)的特點： Ni, Nj, Nm是x, y的線性函數(shù)，與插值函數(shù)具有同樣的類型 Ni（xi,yi）=1 , Ni（xj,yj）= Ni（xm,ym）=02121)()(21)(21),(ijimmjjijmmjijmimjjmmjiiiiiiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN1111mmjjiiyxyxyx2111ijjimmjjiicbcbyxyxyx可以證明：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)021)()(21)(21)

50、,(mjmmmmjmjmmjmjmmmjjmmjiiimmiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟1、思想 從數(shù)學(xué)角度講，某一泛函取極值所需要的充要條件等價于求解相應(yīng)的微分方程式加邊界條件。從而可利用泛函取極值的變分計算來代替微分方程及邊界條件的求解。2、步驟1）找到導(dǎo)熱微分方程對應(yīng)的泛函22xTTdxTTxTTIL)(2)(20)(2222yTxTTI為T(x,y)的函數(shù)2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元法的解題思想和步驟2）單元劃分 將區(qū)域劃分成有限個三角形單元（例如，分成E個單元，n個節(jié)點） 溫度場T(x,

51、y)離散成T1,T2Tn等n個節(jié)點溫度，則泛函IT(x,y)實際上是一個多元函數(shù)：I(T1,T2,Tn)， IT(x,y)的變分問題則轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)求極值問題EeeII10iTI2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟 建立溫度的差值函數(shù)對于三角形單元：T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm 單元變分計算EeeII10iTI的值。單元變分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟 總體合成得到線性方程組。 求解線性方程組niTITIEeiei,.2 , 1, 012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解

52、法三、內(nèi)單元計算格式的建立1、一維系統(tǒng)(略去課堂不講)1）模型：2）泛函：3)溫度差值函數(shù)22xTT0)(2)(20IdxTTxTTIL尋找溫度場，使111111) 1()()(iiiiiiiiiiiiThihxThxhixTnLhxxxTxxxxTxxxxxT若等步長：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、內(nèi)單元計算格式的建立4）單元變分計算hxhiTThxTThTTxTdxTTTxTTxTTTIdxTTxTTIIIiiiiiiiiiiixxexxee)1(1)(,)()()(2)(11124）單元變分計算TfThThdxhxhiTdxhTdxhTdxhxhiThTTdxhxhiThhTTdxTT

53、TxTTxTTTIeieieixxxxxxxxxxxxxxeiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii111111111111222) 1() 1() 1()1()()(hdxhhhhhxxhdxhhiiiiiixxeixxei11121222)(4）單元變分計算2)222(21) 1(21) 1()(21) 1()(21)(1() 1() 1(111111122hhihiihhihhhixxxxhhixxhxxidxhxdxidxhxhifiiiiiiiiiiiiiixxxxxxei5）總體合成,.2 , 1, 00iTITITIIIieiiehhhhhhTfThThTITfThTh

54、TIIIiIieieieieiieeieieiieiiii20111hhhhhhIIiIiei2111hhhfffIIiIiei22niniTTT15）總體合成nininininininininininieieieiThThTTTThThTThThThTfThThii122111221112)21 (0)(220)(22012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)1、數(shù)學(xué)模型無內(nèi)熱源、假定熱物理性能為常數(shù)。)(2222yTxTTdxdyTTyTxTTID)()(2)(222、泛函 對應(yīng)的泛函：目標(biāo)：尋找溫度場T，使I=0，即：尋找是泛函達(dá) 到極值的函數(shù)。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)3、

55、區(qū)域離散化 將一個矩形區(qū)域，劃分成多個直角三角形。設(shè)直角邊長為h，(x =y=h)節(jié)點x=rh,y=sh (r, s為正整數(shù))此節(jié)點記為(r,s)，（相當(dāng)于（x,y）點）2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)4、溫度差值函數(shù)的建立對于三角形單元 T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm5、單元變分的計算將求解區(qū)域分成有限個單元后，泛函I(T)變成各個單元內(nèi)泛函的積分。eII的值。單元變分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)dxdyTTyTxTIee)()(222iiiiiimmjjiimmjjiiiiieieNTT

56、yNyTTxNxTTTyNTyNTyNyTTxNTxNTxNxTdxdyTTTyTTyTxTTxTTI)()()()(5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)（5、單元變分）TfThThThdxdyNTyNTyNTyNTyNxNTxNTxNTxNTIeimeimjeijieiiiimmjjiiimmjjiieie）（）（代入得：eieimimieeimjijieeijiieeiidxdyNfdxdyyNyNxNxNhdxdyyNyNxNxNhdxdyyNxNh()()(222-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo))(221)2()2()2()2()()(2222222222iieiieeiiiieiieeiicbhhhdxdydxdycbdxdycbdxdyyNxNh因為)(21ycxbaNiiii5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo))(2)44(222jijijijiejijieeijccbbhdxdyccbbdxdyyNyNxNxNh同理：)(21ycxbaNiiii)(21yc