多元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用

1、教 學(xué) 內(nèi) 容批注第八章 多元函數(shù)微分第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念一、 平面區(qū)域首先我們來了解一下在平面區(qū)域內(nèi)平面點(diǎn)集的知識：1、 鄰域：給定平面內(nèi)P0（x0，y0）點(diǎn)，和某數(shù)>0，以P0點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，該圓內(nèi)所有點(diǎn)的全體，即，稱為P0點(diǎn)的鄰域，記做：，簡記；2、 內(nèi)點(diǎn)：在平面點(diǎn)集，存在P0的一個鄰域，使得，則稱P0為的內(nèi)點(diǎn)；3、 開集：平面點(diǎn)集內(nèi)的所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱點(diǎn)集為開集；4、 邊界點(diǎn)：在平面上，存在某個點(diǎn)P，在P的任何鄰域內(nèi)，都含有點(diǎn)集的點(diǎn)，又含有不是點(diǎn)集的點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集的邊界點(diǎn)。注意：1、點(diǎn)P可以在點(diǎn)集內(nèi)，也可以不在。2、點(diǎn)集中孤立在外的點(diǎn)，稱為孤立點(diǎn)，規(guī)定，孤立點(diǎn)為

2、邊界點(diǎn)。3、所有邊界點(diǎn)組成的集合稱為邊界。5、 連通：如果點(diǎn)集內(nèi)的任意兩點(diǎn)都能用全屬于的折線連接起來，則稱為連通的。6、 區(qū)域：連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域。稱區(qū)域連同他的邊界為閉區(qū)域。7、 有界無界區(qū)域：對于平面點(diǎn)集，如果存在一個以原點(diǎn)為圓心的圓盤D，使，則稱為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域。1 / 47教 學(xué) 內(nèi) 容批注8、 聚點(diǎn)：P點(diǎn)的任何一個鄰域內(nèi)都有無限個屬于點(diǎn)集的點(diǎn)，稱P為點(diǎn)集的聚點(diǎn)。注意：平面點(diǎn)集中點(diǎn)的關(guān)系如圖,其中： 二、 二元函數(shù)的極限和連續(xù)性1.二元函數(shù)定義1：設(shè)有變量x，y和z，如果當(dāng)變量x，y在某一固定的范圍內(nèi)，任意取一對值時，變量z按照一定的法則f總有唯一的確定的值與之

3、對應(yīng)，就稱z為x，y的二元函數(shù)，記作：，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量。自變量x，y的取值范圍稱為二元函數(shù)的定義域，一般用大寫字母D來表示。教 學(xué) 內(nèi) 容批注注意:1、與定義1相似，我們可以直接定義n元函數(shù)（n1）； 2、定義1中，當(dāng)x，y的值取定后，z的取值就根據(jù)f的方程來定。通常情況下，這個值是唯一的，這時我們稱為單值函數(shù)，但有時侯取值不是唯一的，這時我們稱為多值函數(shù)。如：。一般情況，我們討論的函數(shù)都是單值函數(shù)，如果是多值函數(shù)我們會特別說明或者用多個單值函數(shù)來處理。3、二元函數(shù)的定義域有兩種。其一：我們規(guī)定的定義域，即中，x，y的取值范圍。如：，其中的定義域就是。其二：我們給定的函數(shù)，

4、使得z有確定取值的（x，y）的取值范圍。如：，其定義域?yàn)椋篋=(x，y)| 。 4、二元函數(shù)的圖形由上一章的內(nèi)容可知是一張曲面。 5、兩二元函數(shù)相等，即定義域相等且起對應(yīng)法則也必須相等。例1 求的定義域。教 學(xué) 內(nèi) 容批注解：顯然要使得上式有意義。必須滿足。1、 二重極限 定義2：設(shè)P0(x0，y0)為函數(shù)定義域D的聚點(diǎn)，如果當(dāng)定義域內(nèi)任意一點(diǎn)P（P0除外），以任何方式趨近P0時，即：，都有，則稱在的P0二重極限為A。語言表示：，當(dāng)時，恒有：，記：。三、求極限的方法1、一元函數(shù)求極限的方法及運(yùn)算法則（除L.hospital法則外）對多元函數(shù)依舊成立。如：兩個重要極限，等價無窮小法則等等。 例2

5、（1）、 （2 ）、2、定義中提到任意方式趨近，我們可從中推斷出：當(dāng)我們能找到兩條不同的路徑L1，L2，使得，但是函數(shù)取得的極限卻是不同的A，B時，則我們稱其函數(shù)極限不存在。教 學(xué) 內(nèi) 容批注例3:討論，在（0，0）處的極限。 解：取不同路徑y(tǒng)=kx，當(dāng)x趨近0時，y趨近0，但方式不同，顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。所以我們說函數(shù)在（0，0）的極限不存在。四、 函數(shù)的連續(xù)性及性質(zhì)定義3：設(shè)P0是函數(shù)定義域D上的聚點(diǎn)，且，如果：，則稱函數(shù)在點(diǎn)P0（x0,y0）連續(xù)，否則稱該點(diǎn)為不連續(xù)點(diǎn)。例：任由上面例題可知，在（0，0）處是不連續(xù)的。教 學(xué) 內(nèi) 容批注注意：1、等價定義：函數(shù)在點(diǎn)P0（x0

6、,y0）連續(xù) （2）、利用多元函數(shù)的連續(xù)性來解決極限問題。例4（1）、求極限 解： ，且 原極限=0性質(zhì)1、（最大值和最小值）若函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)f在D上有界，并且能取得最大值與最小值。性質(zhì)2、（介值定理）：設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若P1（x1，y1），P2（x2，y2）D，且，則對任何滿足不等式的實(shí)數(shù)k，總存在P0（x0，y0）點(diǎn)，使得。特別：取得函數(shù)可以取得最大值與最小值之間的一切值教 學(xué) 內(nèi) 容批注第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)一、 偏導(dǎo)數(shù)概念 偏增量： 全增量： 1、定義1：設(shè)函數(shù)在P0（x0，y0）的某鄰域內(nèi)有定義，。若存在，則稱在P0（x0，y0）點(diǎn)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)存在，且其極限值

7、為其在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)。記做：、或者、，即：=同理：=偏導(dǎo)(函)數(shù)：如果函數(shù)在D內(nèi)的每一點(diǎn)（x，y）都有偏導(dǎo)數(shù)，則稱、為的兩個偏導(dǎo)(函)數(shù)。教 學(xué) 內(nèi) 容批注2、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算注意:1、求對x的偏導(dǎo)數(shù)時，將y視為常數(shù)，對x求導(dǎo)數(shù)。求對y的偏導(dǎo)數(shù)時，將x視為常數(shù)，對y求導(dǎo)數(shù)。2、偏導(dǎo)數(shù)的符號、是一個整體，不像可以看成dy除以dx。例1（1）、設(shè)，則求， 解：， 視y為常數(shù)，則； 又，視z為常數(shù)，則； 又，視x為常數(shù)，則。同時，由上面計(jì)算可知。尤其注意在不等號的左邊表達(dá)式是錯誤的。（2）、設(shè)在點(diǎn)（1，2）處的偏導(dǎo)數(shù)。，教 學(xué) 內(nèi) 容批注解：；（3）、設(shè)，。求f在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因?yàn)楹瘮?shù)在整個定

8、義域內(nèi)表達(dá)形式不一樣，所以在這里我們只能根據(jù)定義來求解。=3. 求在P0（x0，y0）的偏導(dǎo)數(shù)的方法法一:首先求出其偏導(dǎo)函數(shù)、，在代入該點(diǎn)的坐標(biāo)值（x0，y0）。法二：比如求時。通常我們先代入y=y0，得到，在對x求導(dǎo)數(shù)得，再代入x=x0。教 學(xué) 內(nèi) 容批注例2：，求。解：，4、偏導(dǎo)數(shù)存在和函數(shù)連續(xù)的關(guān)系（1） 例題：，在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù)。（2） 例題：，在（0，0）處連續(xù)，但是偏導(dǎo)數(shù)不存在。教 學(xué) 內(nèi) 容批注5、幾何意義表示：曲面與平面y=y0相交的曲線Cx，在平面y=y0內(nèi)在x=x0處的切線斜率。其中：，如圖所示：二、 高階偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)有函數(shù)，稱，為函數(shù)的二階純偏導(dǎo)數(shù)，

9、而稱，為函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)。教 學(xué) 內(nèi) 容批注注意:，定理1：若函數(shù)的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則兩者相等。例3：設(shè)，求，。解：，。=；。三、綜合習(xí)題1. 在點(diǎn)（x0,y0）處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，是在（x0,y0）連續(xù)的（ ）。（A）：充要條件 （B）充分非必要條件 （C）非充分非必要條件。解：由上面可知，答案是（C）教 學(xué) 內(nèi) 容批注2. ，在（0，0）處（ ）。（A）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 （B）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在（C）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 （D）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在解：由上可知，答案是（C）3. ，求解：代入，得=。第三節(jié) 全微分一、 概念定義：設(shè)在P（x，y）的某鄰域U內(nèi)有定義，對，若：教

10、學(xué) 內(nèi) 容批注，其中，A，B為與，無關(guān)的常數(shù)，則稱在P（x，y）點(diǎn)的全微分存在，或者稱其在該點(diǎn)是可全微分的，記其全微分為，且。同一元函數(shù)類似，在這里規(guī)定，即：。二、 概念的關(guān)系定理1：可微函數(shù)一定連續(xù)。（注意：不連續(xù)的函數(shù)一定不可微。）證明：設(shè)在P（x，y）處可微分，則：在P（x，y）處連續(xù)。定理2：可微函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一定存在，且證明：設(shè)在P（x，y）處可微分，則，對教 學(xué) 內(nèi) 容批注，因?yàn)锳、B與、無關(guān)，所以令，上式依然成立。既 同理：令，得到：。 注意（1）、討論函數(shù)在P（x，y）處是否可微的方法：若：=0，則在P（x，y）處可微分。否則不可微分。例1 ：討論，在（0，0）處是否可微分。 解

11、：由前面可知：=0 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 ，該極限不存在。 在（0，0）處不可微。（2）、證明函數(shù)不可微的一些特殊方法：1、 函數(shù)不連續(xù)一定不可微；2、 如果一個偏導(dǎo)數(shù)不存在，則不可微。 上面例題的證明方法2：因?yàn)楹瘮?shù)在（0，0）點(diǎn)不連續(xù)，所以肯定不可微。 定理3：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)可微分。 證明： ，由Lagrange中值定理： = =，其中 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) ， 教 學(xué) 內(nèi) 容批注其中，代入：由于： 函數(shù)可微。注意：函數(shù)在（x，y）點(diǎn)的關(guān)系例2：(1) ，在（0，0）點(diǎn)可微，偏導(dǎo)數(shù)存在，但是偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)；(2) 在（0，0）點(diǎn)；(3) ，在（0，0）。教 學(xué) 內(nèi) 容批注例3 設(shè)，（1）求；

12、 （2）求 解： 例4 求的全微分解：， 顯然這三個函數(shù)在空間中任意一點(diǎn)（x，y，z）點(diǎn)軍連續(xù)，在每一點(diǎn)均可微，其全微分：。第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、 全導(dǎo)數(shù)定理1：設(shè)，在點(diǎn)x處可導(dǎo)，在x對應(yīng)的點(diǎn)（u，v）處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。則一元函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，稱其為全導(dǎo)數(shù)。且或者公式（1）。稱公式（1）為全導(dǎo)數(shù)公式。 證明：由于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則可微。教 學(xué) 內(nèi) 容批注 ，又u，v關(guān)于x可導(dǎo)。從而，。代入可得：。 例1 ：（1）、，求。 解：， 且：， 二、 復(fù)合函數(shù)微分法定理2：設(shè)函數(shù)， ，在點(diǎn)（x，y）處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在其對應(yīng)的點(diǎn)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)（x，y）處有對關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)，且有

13、下列公式：公式（2）記憶方法：如圖注意 ：連線相乘，分線相加。教 學(xué) 內(nèi) 容批注例1，求解： 注意:在實(shí)際解題過程中，我們防止出現(xiàn)不便，所以一般習(xí)慣有以下記號：，其中1，2是根據(jù)題設(shè)中，u和v在函數(shù)中排在第個來決定，此點(diǎn)務(wù)必記清楚。定理3：設(shè)函數(shù)， ，在點(diǎn)（x，y）處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，則：函數(shù)在點(diǎn)（x，y）處也有偏導(dǎo)數(shù)。且：其中：，等等。記憶方法：如圖法則;連線相乘，分線相加。教 學(xué) 內(nèi) 容批注注意：1、是二元函數(shù)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)。而是四元函數(shù)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)。例2 ，其中有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)。求 解：令，又因?yàn)椋郑?。注? 上題中的w函數(shù)是一元函數(shù)例4 設(shè)，求，。 解：同理：。例 5 連續(xù)偏導(dǎo)

14、數(shù)，解：令，教 學(xué) 內(nèi) 容批注 ， 其中： 例6 ，求 解： = =三、 全微分不變性（形式）設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，無論u,v是自變量還是中間變量，都有：證明：（1）、當(dāng)u,v為自變量時：（由定理1顯然成立）；（2）當(dāng)u,v為中間變量時：。教 學(xué) 內(nèi) 容批注 ， 又， 例7 設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)二階可導(dǎo)，具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求。 解：教 學(xué) 內(nèi) 容批注例8 設(shè)，其中具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求。第五節(jié) 隱函數(shù)的微分法一、 隱函數(shù)為一個方程的形式定理1：設(shè)在（x0,y0）的某個鄰域U內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則在U內(nèi)，方程確定了唯一的具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足，且。證明：這里僅僅證明。對函數(shù)，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)得：。補(bǔ)充：

15、如果的二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則也存在，并且有：，其中， 教 學(xué) 內(nèi) 容批注，且因?yàn)榈亩A偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)， 。代入，整理可得結(jié)果。例1 方程，求。 解：顯然，且，在平面上任意一點(diǎn)都連續(xù)，且，因此依據(jù)定理1，確定了一個定義在實(shí)數(shù)域R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且有：。定理2：在U(P0)內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則由確定唯一的有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并滿足。且，。教 學(xué) 內(nèi) 容批注例2 ，求。 解：令 ， ，代入已求量，得。例3設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且有方程：所確定。求解：令則則代入：得。教 學(xué) 內(nèi) 容批注例4 設(shè)由方程所確定，其中分別具有一階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求。解：兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)：對兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)

16、數(shù)：對上面兩個方程可以解出得：教 學(xué) 內(nèi) 容批注第六節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用一. 空間曲線的切線及法平面。1， 參數(shù)方程形式：設(shè)曲線方程： ,且求在P0x(t0),y(t0),z(t0)的切線及法平面（與切線垂直切過P0的平面稱為在P0 點(diǎn)的法平面）解：求割線 P0P的方程。P0(x0,y0,z0),設(shè)t對應(yīng)的增量x,y,z.且P(x0+x,y0+y,z0+z)P0P的方程：=分子分別乘以t，則=令得：= 切線方程稱 x´(t0),y´(t0),z´(t0 ) 為在對應(yīng)點(diǎn)的切向量。教 學(xué) 內(nèi) 容批注注：求出切向量即可由點(diǎn)向式方程求出切線方程，再由為法平面的法向量寫出法

17、平面方程（點(diǎn)法式）的法平面：x´(t0)(x-x)+y´(t0)(y-y)+z´(t0 )(z-z)=0例1 求 在t=處的切線及法平面解：切點(diǎn)：P=(,),切向量=a,0,-c.切線方程：=法平面：a(x-)-c(z-)=02、(一般曲線方程)，柱面交線：,求它在x對應(yīng)點(diǎn)的切線及法平面。解：: 切向量 切線方程：法線方程：（x-x）+(y -y(x0)+ (z-z(x)=0教 學(xué) 內(nèi) 容批注例2 :求在（1，1，1）處的切線及法平面方程。解：對方程兩邊求導(dǎo)得：代入：（1，1，1）得到：解之得：且可取切向量為：= 16,9,-1 切線方程： 法平面方程：16(x-

18、1)+9(y-1)-(z-1)=0二曲面的切平面及法線若曲面上過P點(diǎn)的所有切線都在同一個平面上，則稱該平面為曲線在P點(diǎn)的切平面，切平面的法向量稱為曲面在P0點(diǎn)的法向量，稱垂直于切平面且過P0點(diǎn)線為曲面在P0點(diǎn)法線。1.一般方程：F（x,y,z）=0設(shè)F（x，y，z）=0在P0(x0,y0,z0)處有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，則曲線=F(x，y，z)=0在P0的法向量為：=解：設(shè)：為過向量P0點(diǎn)且在上的任意一條曲線， 教 學(xué) 內(nèi) 容批注則在P0點(diǎn)的法向量為：=(t0)，(t0)，(t0)。又因?yàn)樵谏?。F（x(t)，y(t)，z(t)）=0兩邊對t求導(dǎo)有：·(t)+ ·(t)+ ·

19、(t)=0令t=t0得取= 任一曲線的切向量都垂直于固定向量，且在同一平面上。為在P0點(diǎn)法線 切平面方程：法線：=2.顯函數(shù)的曲面：z=f(x，y)，(，連續(xù)且不同時為0)則法向量=-，-，1或，-1注：取=-，-，稱為的方向余弦。且的方向向上。即教 學(xué) 內(nèi) 容批注例題1求曲面在點(diǎn)（1，2，0）的切平面方程。解:令F（x，y，z）=，則=（2y，2x，）代入（1，2，0），=4，2，0切平面：4(x-1)+2(y-2)=0，即2x+y-4=0。2求曲面x+2y+3z=21在點(diǎn)（1，-2，2）的法線方程.解:令F（x，y，z）=，則=2，-8，12教 學(xué) 內(nèi) 容批注又可取n=1，-4，6得：法線

20、：=【例】：(03-I)求曲面z=x+y與平行于x-y+2z=0的切平面方程解：令F（x，y，z）=，=2x0，2y0，-1=x0 =1，y0=2。 =2,4,-1，z0=5。P0(1，2，5) 切平面方程：2x+2y-z=0第七節(jié) 多元函數(shù)極值一.無條件極值1、在上學(xué)期已知：討論一元函數(shù)極值時：極值點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)可能是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，極值點(diǎn)駐點(diǎn)，駐點(diǎn)極值點(diǎn)，y=x3在x=0點(diǎn)為駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)。2、二元函數(shù)極值（推廣）：若對PU（Po）。都有f（P）<f（Po）則稱f（Po）為f的一個極小值。Po為極小值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 定理1：（必要條件）設(shè)z=f（x，y）

21、的偏導(dǎo)數(shù)存在，（x0，y0）為f（x，y）的極值點(diǎn)，則（x0，y0）=（x0，y0）=的點(diǎn)為f（x0，y0）的駐點(diǎn)。 證明：不妨設(shè)（x0，y0）為極大值，即（x，y）U（Po）都有f（x，y）<f（x0，y0），教 學(xué) 內(nèi) 容批注對于y=y0，xx0，則f（x，y0）<f（x0，y0），即f（x0，y0）是一元可導(dǎo)函數(shù)f（x，y0）的極大值點(diǎn)，從而（x0，y0）=0。同理：f（x0，y0）=0?！咀ⅰ浚簶O值點(diǎn)駐點(diǎn)反例：（1）f（x，y）=xy，（0，0）是其駐點(diǎn)，但非其極值點(diǎn)。（2）極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)，也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。 定理2：（充分條件）設(shè)z=f（x，y）在（x0，y0）

22、有連續(xù)的二價偏導(dǎo)數(shù)。（x0，y0）為f（x，y）的駐點(diǎn)，令A(yù)=（x0，y0）B=（x0，y0）C=（x0，y0）則：（1） 當(dāng)AC-B2>0時（x0，y0）為極值點(diǎn)，且A<0時為極小值點(diǎn)，A<0時為極大值點(diǎn)。（2） AC-B2=0 方程失效（3） AC-B2>0時 （x0，y0）不是極值點(diǎn)【例】：，0<x，y</2，求z的極值。解：求駐點(diǎn)：解得：駐點(diǎn)（/3，/6）A=（/3，/6）=-，B=/2，C=-，教 學(xué) 內(nèi) 容批注由于ACB2=33/4>0，從而（/3，/6）為其極值點(diǎn)，又A<0故為極大值點(diǎn)且極大值：z（/3，/6）=3/2二、最大值與最

23、小值（最值）我們在高等數(shù)學(xué)上冊知道：在一元函數(shù)中最大值極大值（1）當(dāng)最值在區(qū)間內(nèi)部取得時，一定為極大值，而在端點(diǎn)取得最值一定不是極值二元函數(shù)：M，m的求法：先求出區(qū)域的內(nèi)部的所有可能極值(駐點(diǎn)及所有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))并計(jì)算函數(shù)值，最后比較這些函數(shù)值的大小，最大的為M，最小的為m。【例】：（95IV）時z=x2y（4-x-y）D由x軸，y軸，x+y=6所圍成，求z在D上的最大值和最小值（M，m）。解：（1）在D的內(nèi)部：且z（2，1）=4（不該計(jì)算A，B，C）（2）在OA，OB上，有y=0或x=0，z=0（3）在線段AB上，y=6-x，且，代入z，則z=2x3-12x2，=6x224x=0x=0（舍）或x=4，教