方波信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)（課堂PPT）

1、1圖4.2 方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)0T2T2T2T T11tf (t)例41 試將圖4.2所示的方波信號(hào)f(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。方波信號(hào)方波信號(hào)f(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)222020202022( )cos(2)22( 1)cos(2)1 cos(2)2121 sin(2)sin(2)220TTnTTTTaf tnft dtTnft dtnft dtTTnftnftTnfTnf 解 我們將信號(hào)按式(46)分解成傅里葉級(jí)數(shù),并按式(4 7)、(48)、(49)分別計(jì)算an,bn及c。 322020202022( )sin(2)22( 1)sin(2)1 sin(2)2121 cos

2、(2) cos(2)222(1)TTnTTTTbf tnft dtTnft dtnft dtTTnftnftTnftTnfnn0,2,4,6,41,3,5,nnn4222( )04111( )sin2sin6sin10sin2351,3,5,TTcf t dtTf tftftfftnn5例例 3.3-1 ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0)202cos(2)10cos(31)(tttttf試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。 解解 f(t)為周期信號(hào)，題中所給的f(t)表達(dá)式可視為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。據(jù) 10)cos(2)(nnntnAAtf可知，其基波頻率=(rad/

3、s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分別為二、 三、六次諧波頻率。且有 振幅譜和相位譜例題振幅譜和相位譜例題68 . 04 . 063AA304563其余 0nA2321AA120A201002117圖圖 3.3-1 例例 3.3-1 信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜振幅譜；振幅譜；(a) (b) 相位譜相位譜 Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.88圖 3.3-2 例 3.3-1 信號(hào)的雙邊頻譜(a) 振幅譜； (b) 相位譜 |Fn|o23456(a)121.510.20.41.510.20.43456 no2345615304510204

4、53015304510204530234562(b)9例例 3.4-2 求指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。 0)(atetf00tt)0(圖 3.4-2 單邊指數(shù)函數(shù)e-t及其頻譜(a) 單邊指數(shù)函數(shù)e-t; (b) e-t的幅度譜 F()(b)ot1(a)o1f (t)et (0)單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)10ajtjtjttjeajjedteedtetfjFarctan220)(11)()()(其振幅頻譜及相位頻譜分別為 arctan)(1)(22F解解 11( )( ),0( )( )10atj tatj tf teu t aFf t edteedtj(441) (

5、440) 單邊指數(shù)信號(hào)的頻譜例44 求單邊指數(shù)信號(hào)的頻譜。解 單邊指數(shù)信號(hào)是指12圖4.7 單邊指數(shù)信號(hào)及其頻譜0 0 (a)(b)argF()(F121244213例例 3.4-3 求圖 3.4-3(a)所示雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)。 偶對(duì)稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)偶對(duì)稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)14圖 3.4-3 雙邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜(a) 雙邊指數(shù)函數(shù)； (b) 頻譜 F(j)(b)ot1(a)o2etet0)f (t)15( )( ),0tf teu t(442)從頻譜函數(shù)的定義式出發(fā)002211( )2atj tatj tFeedteedtjj(443) 例45 求雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜。 解

6、雙邊指數(shù)信號(hào)是指偶對(duì)稱雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜偶對(duì)稱雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜16圖4.8 雙邊指數(shù)信號(hào)及其頻譜00 1tf (t)(a)(b)12)(F17例例 3.4-4 求圖 3.4-4(a)所示信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)。圖 3.4-4 例 3.4-4 圖(a) 信號(hào)f(t); (b) 頻譜 X()(b)o1of(t)t1(a)etet0)11奇對(duì)稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)奇對(duì)稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)18atateetf)(00tt(a0)解解 圖示信號(hào)f(t)可表示為2200211)(ajjjdteedteejFtjttjat19 例例 3.4-1 圖 3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數(shù)。其寬度

7、為， 高度為1，通常用符號(hào)g(t)來表示。試求其頻譜函數(shù)。 解解 門函數(shù)g(t)可表示為 門函數(shù)的頻譜函數(shù)門函數(shù)的頻譜函數(shù)20圖 3.4-1 門函數(shù)及其頻譜(a) 門函數(shù)； (b) 門函數(shù)的頻譜； (c) 幅度譜； (d) 相位譜 F(j)2424(b)og(t)t221(a)F()24(c)24o ()24(d)24oo21 圖4.6 矩形脈沖信號(hào)及其頻譜 0tg(t)(a)1/ 2 / 202/ 2/(b)F()矩形脈沖信號(hào)g(t)的頻譜例43 求矩形脈沖信號(hào)g(t)的頻譜。2212( )02rtg tt(436) g(t)的傅里葉變換為 22sin(/2)( )/2sin( )( )(

8、)()2j trrg tedtxSa xxg tSa(437)(438)(439) 解 矩形脈沖信號(hào)g(t)是一個(gè)如圖4.6（a）所示的門函數(shù)。其定義為23例例 3.4-5 求單位沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-5 信號(hào)(t)及其頻譜(a) 單位沖激信號(hào)(t); (b) (t)的頻譜 F(j)of (t)t(a)o1(b)(t)(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)24解解 1)()(dtetjFtjdetftj121)(可見，沖激函數(shù)(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說，(t)中包含了所有的頻率分量， 而各頻率分量的頻譜密度都相等。 顯然， 信號(hào)(t)實(shí)際上是無法實(shí)現(xiàn)的。 25根據(jù)分配函數(shù)關(guān)于根據(jù)分配

9、函數(shù)關(guān)于(t)的定義，的定義， 有有 26( )( )1( )1j tFt edtt(434) (435) 沖激信號(hào)(t)的頻譜例42求沖激信號(hào)(t)的頻譜。 解 由頻譜函數(shù)的定義式有27 圖4.5 沖激信號(hào)及其頻譜0t(t)(1)0F()1(a)(b)280000() 1()jtjtttette(475) 移位沖激函數(shù)(t-t0)的頻譜函數(shù)例412求移位沖激函數(shù)(t-t0)的頻譜函數(shù)。 解 由于已知沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)為1,求移位沖激函數(shù)(t-t0)的頻譜函數(shù)，此時(shí)可利用傅里葉變換的時(shí)移特性式(474)。29例例 3.4-6 求直流信號(hào)1的頻譜函數(shù)。 圖圖 3.4-6 直流信號(hào)f(t)及

10、其頻譜(a) 直流信號(hào)f(t); (b) 頻譜 o(a)o1(b)2()f (t)F(j)直流信號(hào)直流信號(hào)1的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)30解解 直流信號(hào)1可表示為 1)(tftdtejFtj1)(310220001lim( ),021lim( )lim( )lim000ttteu taeu teu ta(445) (446) 例46 求單位直流信號(hào)的頻譜。 解 幅度為1的單位直流信號(hào)可表示為 f(t)=1,-t0)22220( )112202lim002sgn( )tjttjtFfteedteedtjjjjjFtj (4-51)符號(hào)函數(shù)sgn(t)也可看作是下述函數(shù)在取極限趨近0時(shí)的一個(gè)特例:40例

11、例 3.4-8 求階躍函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 由階躍函數(shù)(t)的波形容易得到 解解 )(2121)(tSgnt從而就可更為方便地求出(t)的頻譜函數(shù)， 即 階躍函數(shù)階躍函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)41圖 3.4-8 階躍函數(shù)及其頻譜(a) (t)的波形； (b) 頻譜 to(t)(a)1R()o(b)()X()1142例例 3.5-1 求圖 3.5-1(a)所示信號(hào)的頻譜函數(shù)。 圖 3.5-1 例 3.5-1 的圖(a) f(t)的波形； (b) 相位譜 to(a)1()o(b)24422f (t)門門(平移后平移后)信號(hào)的頻譜函數(shù)信號(hào)的頻譜函數(shù)43解解 44( )()2rg tSa1(2

12、)()24rgtSa例411 已知求g(2t)的頻譜函數(shù) 解 根據(jù)傅里葉變換的尺度變換性質(zhì),g(2t)的頻譜函數(shù)為尺度變換求頻譜尺度變換求頻譜45 圖4.13 尺度變換0tf (t)0F()10)2(21F2244220tf (2t)14446圖4.11 單邊指數(shù)信號(hào)及其頻譜0tf (t)0tfe(t)t011(a)(b)(c)21fo(t)例49利用奇偶虛實(shí)性求圖4.11單邊指數(shù)信號(hào)f(t)=2e-t u(t)的頻譜。利用奇偶虛實(shí)性求頻譜利用奇偶虛實(shí)性求頻譜47( )0( )0teatoatfteetftet 解 從波形圖（a）上可見,單邊指數(shù)信號(hào)f(t)是非偶非奇函數(shù),但可分解為如圖（b）

13、,（c）所示的偶函數(shù)和奇函數(shù)兩部分,見下式。 f(t)=2e-t u(t)=fe(t)+fo(t)其中480()()2200()()2202222222( )112( )22( )( )( )2()2tj tjtjtejtjtoeoFeeedtedtFedtedtjjjFFFjjj 49 例例 3.5-2 求高頻脈沖信號(hào)f(t)(圖 3.5-2(a)的頻譜。 圖 3.5-2 高頻脈沖信號(hào)及其頻譜(a) f(t)的波形； (b) 頻譜 F(j)(b)to212(a)1o200f (t)高頻脈沖信號(hào)高頻脈沖信號(hào)f(t) 的頻譜的頻譜50 解解 圖3.5-2(a)所示高頻脈沖信號(hào)f(t)可以表述為門

14、函數(shù)g(t)與cos 0t相乘，即 51000cos2jtjteet例413 求高頻脈沖信號(hào) p(t)=g(t)cos0t 的頻譜函數(shù) 解 由于高頻脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)高頻脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)52故有 0000000 ( )( )cos( )211( )( )221()1() ( )2222rjtjtrjtjtrrF p tF g tteeF g tF g t eFg t eF p tSaSa 根據(jù)頻移特性有53 圖4.14 頻移特性 54 例例 3.5-4 求圖 3.5-5(a)所示梯形信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)。 解解 若直接按定義求圖示信號(hào)的頻譜，會(huì)遇到形如te-jt的繁復(fù)積分求解問題。而利用時(shí)

15、域積分性質(zhì)，則很容易求解。 將f(t)求導(dǎo)，得到圖 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，將f1(t)再求導(dǎo)， 得到圖 3.5-5(c)所示的f2(t)， 顯然有 )()()()()()()(12btatatbtabAtftftf梯形信號(hào)梯形信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)55圖 3.5-5 梯形信號(hào)及其求導(dǎo)的波形toA b(a)a abto b(b)af1(t) f (t) abAb aAb ato b(c)af2(t) f (t) abAb aAb af (t)56據(jù)時(shí)移性質(zhì)有據(jù)時(shí)移性質(zhì)有5758圖 3.5-6 另一種梯形信號(hào) toA 1 ba ab1f (t)59 圖4.15 梯形脈沖的

16、傅里葉變換E0f (t)21222122t102122120212212f1()f2()122E(a)(b)(c)梯形脈沖的傅里葉變換例414 求圖4.15所示梯形脈沖的傅里葉變換。6001011010101201010101120101201()()()242()()()()()244()()()()()()()()2448()()()sinsin()44FSaEFSaESaEFFFSaSaeF 解 梯形脈沖可看作是兩個(gè)不同寬度的矩形脈沖 f1(t)與f2(t)的卷積，如圖4.15所示。 f(t)=f1(t)*f2(t) 而矩形脈沖的傅里葉變換已在例43中求出,具體來說61圖4.16 半波正

17、弦脈沖p(t)221g(t)2210ttcos0t1t00 0p()g()00F()0 02222620tf (t)220t22220t224(a)(b)(c)f (t)f (t)圖4.17 三角形脈沖及其一、二街導(dǎo)的波形63例例 3.6-1 求圖 3.6-1(a)所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)F(j)。 圖圖 3.6-1 周期矩形脈沖信號(hào)及其頻譜(a) f(t)的波形； (b) 復(fù)振幅Fn; (c) 頻譜函數(shù)F(j) f (t)to 2T12 T(a)Fno(b)T2o(c)2F(j)2周期矩形脈沖周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)64解解 周期矩形脈沖f(t)的復(fù)振幅Fn為 )(

18、22 nnSaTn), 2, 1, 0(n65 例例 3.6-2 圖3.6-2(a)為周期沖激函數(shù)序列T(t)，其周期為T，T(t)可表示為 mTmTtt)()( m為整數(shù) 圖 3.6-2 周期沖激序列及其頻譜 (a)tT(t)To1T2T(b)()o2周期沖激函數(shù)序列周期沖激函數(shù)序列T(t)的頻譜的頻譜66解解 先求T(t)的復(fù)振幅Fn： 67 設(shè)一周期信號(hào)fT(t)，其周期為T，fT(t)中位于第一個(gè)周期的信號(hào)若為fa(t)，則不難得到 68已經(jīng)知道 69 例例 3.8-1 已知激勵(lì)信號(hào)f(t)=(3e-2t-2)(t)，試求圖 3.8-1 所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uCf(t)。 圖

19、 3.8-1 例 3.8-1 的圖 f (t)1 1 FuCf(t)CR用頻域分析法求響應(yīng)用頻域分析法求響應(yīng)7071 注意到()的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得UCf(j)的逆變換，將UCf(j)按如下形式整理: 72 圖 4.19 uS(t) u(t)uO(t)10tuS(t)uO(t)01t 例420如圖4.19所示,試分析單位階躍信號(hào)u(t)通過RC高通網(wǎng)絡(luò)傳輸后的波形。 用頻域法求響應(yīng)73( )( )( )SRCSRCUUUUUU則按H()的定義有( )( )( )( )1( )( )( )( )fRRSRCYUURjHFUUUjRj C對(duì)于單位階躍信號(hào)u(t)而言,此時(shí) 1( )( )u tj 解 顯然,當(dāng)輸入信號(hào)uS(t)為復(fù)指數(shù)信號(hào)e jt時(shí),如圖有741( ) ( )( )1( )( )( )( )1( )1(1( )1fFF