一維線性諧振子

1、一維線性諧振子勢(shì)能為 能量本征值 能量本征函數(shù) 遞推公式 求導(dǎo)公式2.1 利用Hermite多項(xiàng)式的遞推公式，證明諧振子波函數(shù)滿(mǎn)足下列遞推關(guān)系：并由此證明，在態(tài)下，。證：利用 ，2.2 利用Hermite多項(xiàng)式的求導(dǎo)公式，證明諧振子波函數(shù)滿(mǎn)足下列關(guān)系：證明：Hermite多項(xiàng)式的求導(dǎo)公式， 所以 2.3 計(jì)算一維諧振子， 對(duì)于基態(tài)， 。2.4 一維諧振子處在基態(tài)，求： (1)勢(shì)能的平均值； (2)動(dòng)能的平均值； (3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。 （解法一）：（二）（1） (2) 或 (3) 動(dòng)量幾率分布函數(shù)為 2.5 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。 解：幾率密度 令 ，得 由的表達(dá)式可知，

2、時(shí)，。顯然不是最大幾率的位置。 可見(jiàn) 是所求幾率最大的位置。2.6：試證明是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對(duì)應(yīng)的能量。 證：線性諧振子的S-方程為 把代入上式，有 把代入式左邊，得 只有當(dāng)時(shí)，左邊 = 右邊，即 。 ，是線性諧振子的波函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的能量為。2.7： 時(shí)，處于諧振子勢(shì)中的一粒子波函數(shù)波函數(shù)其中、為常數(shù)，且厄密多項(xiàng)式是歸一的，即： 區(qū)別（1）寫(xiě)出表示式；（2）在該態(tài)下粒子能量的測(cè)值及相對(duì)幾率；（3）時(shí)，求及隨時(shí)間的變化。解：（1）方法一 把寫(xiě)成諧振子本征函數(shù)的疊加方法二。 把按諧振子本征函數(shù)展開(kāi)所以：（2）可測(cè)得的能量為 ， 。測(cè)得二者的相對(duì)幾率為（2） 因、都是偶宇稱(chēng)，所以是偶

3、宇稱(chēng)，。且不隨時(shí)間變化。2.8 在時(shí)，一個(gè)線性諧振子處于下列歸一化的波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài) ， 式中是線性諧振子的第n個(gè)本征函數(shù)。（1）試求的數(shù)值；（2）寫(xiě)出在時(shí)刻的波函數(shù)；（3）在時(shí)諧振子能量的平均值是多少？秒時(shí)是多少？解：（1），解得。（2）。（3）。由于諧振子的哈密頓量不顯含時(shí)間，所以能量是守恒量，其平均值不隨時(shí)間變化，因而任何時(shí)刻諧振子的能量平均值都是2.9 設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為 求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。解： 可見(jiàn)，動(dòng)量的可能值為 動(dòng)能的可能值為 對(duì)應(yīng)的幾率應(yīng)為 或。上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得 動(dòng)量的平均值為 2.10 .在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為

4、，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫(xiě)，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。 解：先把歸一化，由歸一化條件， ， 一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，能量的本征函數(shù)和本征值為 將按一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子能量的本征函數(shù)展開(kāi)， 所以動(dòng)量的幾率分布函數(shù)為 2.11 .在勢(shì)阱寬度為的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫(xiě)，求粒子能量的可能值和相應(yīng)的幾率。解：一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，能量的本征函數(shù)和本征值為 方法一：用三角函數(shù)把化為若干正弦函數(shù)的疊加可見(jiàn) ，能量的可能值；， 能量的可能值 ；方法二：把按能量的本征函數(shù)展開(kāi) 由三角函數(shù)的正交性 得，能量的可能值；， 能量的可能值 ；2.12 一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是 其中，求：(1)粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)； (2