《數(shù)字信號(hào)處理》(2-7章)習(xí)題解答

1、第二章習(xí)題解答1、求下列序列的變換，并標(biāo)明收斂域，繪出的零極點(diǎn)圖。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：(1) ，收斂域?yàn)?，零極點(diǎn)圖如題1解圖(1)。(2) ，收斂域?yàn)?，零極點(diǎn)圖如題1解圖(2)。(3) ，收斂域?yàn)椋銟O點(diǎn)圖如題1解圖(3)。(4) ，收斂域?yàn)椋銟O點(diǎn)圖如題1解圖(4)。(5) 由題可知，收斂域?yàn)?，零極點(diǎn)圖如題1解圖(5)。(6) 由于那么，收斂域?yàn)?，零極點(diǎn)圖如題1解圖(6)。(1) (2) (3)9階極點(diǎn)(4) (5) (6)題1解圖2、求下列的反變換。(1) (2) (3) (4) 解：(1) 解法一：留數(shù)法從收斂域可以看出，是因果序列，即當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，收斂域

2、內(nèi)圍繞原點(diǎn)的逆時(shí)針方向的圍線C及在圍線內(nèi)的極點(diǎn)如題2解圖(1)所示，因?yàn)樗跃C上，解法二：部分分式展開法由于收斂域?yàn)?，所以解法三：長(zhǎng)除法收斂域在圓外，是右邊序列，按的降冪排列。由于，那么，所以(2) 解法一：留數(shù)法從收斂域可以看出，是因果序列，即當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，收斂域內(nèi)圍繞原點(diǎn)的逆時(shí)針方向的圍線C及在圍線內(nèi)的極點(diǎn)和如題2解圖(2)所示，因?yàn)轭}2解圖(1) 題2解圖(2)所以綜上，解法二：部分分式展開法由于收斂域?yàn)椋?3) 由題可知收斂域?yàn)?，所?4) 由題可知?jiǎng)t收斂域?yàn)椋?、假如的變換代數(shù)表示式是下式，問可能有多少不同的收斂域，對(duì)應(yīng)不同的收斂域求。解：對(duì)的分子和分母進(jìn)行因式分解得可以看出

3、，的極點(diǎn)為，。那么有三種不同的收斂域：，和。下面分別討論(1) 當(dāng)收斂域?yàn)闀r(shí)，(2) 當(dāng)收斂域?yàn)闀r(shí)，(3) 當(dāng)收斂域?yàn)闀r(shí)，4、已知因果序列的變換，求序列的初值和。(1) (2) 解：初值定理，終值定理。終值定理只有當(dāng)時(shí)，收斂才可應(yīng)用，即要求的極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)（單位圓上的極點(diǎn)只能位于，且是一階極點(diǎn)。）若發(fā)散，則不存在終值。(1) 。的極點(diǎn)為和， 發(fā)散，不存在終值。(2) 。，的極點(diǎn)為和，收斂，。5、已知，求證。證明：這里的z變換是指單邊z變換，那么由于因此由定義可知，對(duì)于單邊z變換，且因此6、對(duì)因果序列，初值定理是,如果序列為 時(shí)，問相應(yīng)的定理是什么? 討論一個(gè)序列，其變換為：的收斂域包括單位

4、圓，求（序列）值。解：當(dāng)序列滿足，時(shí)，有所以此時(shí)若序列的z變換為，所以的極點(diǎn)為。由題意可知，的收斂域包括單位圓，則其收斂域應(yīng)該為，那么為有值的左邊序列，為因果序列，所以7、有一信號(hào),它與另兩個(gè)信號(hào)和的關(guān)系是其中 ，已知 ，利用z變換性質(zhì)求的z變換。解：根據(jù)題目所給條件可得，那么，所以 8、 求以下序列的頻譜。(1) (2) (3) (4) 解：對(duì)題中所給的先進(jìn)行z變換再求頻譜，(1) 的z變換為所以(2) 的z變換為所以(3) 的z變換為所以(4) 的z變換為所以9、設(shè)是如題9圖所示信號(hào)的傅里葉變換，不必求出，試完成下列計(jì)算：(a) (b) (c) (d) 題9圖解：(a) ；(b) ；(c)

5、 由帕塞伐公式可得(d) 因?yàn)樗约从膳寥ス娇傻?0、已知的傅里葉變換，用表示下列信號(hào)的傅里葉變換。(a) (b)(c) 解：(a) 因?yàn)槟敲此?b) 由于所以(c) 由題9的第(d)個(gè)小題同理所以 11、已知用下列差分方程描述的一個(gè)線性時(shí)不變因果系統(tǒng) (a) 求這個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出其零極點(diǎn)圖并指出其收斂區(qū)域；(b) 求此系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；(c) 畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖；(d) 若時(shí)，, 求輸出。解：(a) 對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行z變換，得到因此零點(diǎn)：；極點(diǎn)：，。由于系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，因此收斂域?yàn)?；零極點(diǎn)圖及其收斂區(qū)域如題11解圖(1)所示。 (b) 利用部分分式有由于收斂域?yàn)?，所以題11解

6、圖(1)(c) 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如題11解圖(2)所示。題11解圖(2)(d) 根據(jù)題意可知，那么收斂域?yàn)?，?duì)進(jìn)行z反變換，可得12、研究一個(gè)輸入為和輸出為的時(shí)域線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，已知它滿足試求其系統(tǒng)函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)。解：對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行z變換，得到因此系統(tǒng)函數(shù)為它的極點(diǎn)為和。由于系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，因此收斂域?yàn)?。那么利用部分分式有所以單位脈沖響應(yīng)為13、題13圖是一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，試列出系統(tǒng)差分方程，求系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng) 時(shí)，求系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) , 畫出系統(tǒng)零極點(diǎn)圖和頻率響應(yīng)曲線。題13圖解：假設(shè)加法器的輸出為，由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖可知聯(lián)立解得，即對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行z變換得因

7、此系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)為它有一個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)極點(diǎn)和，零極點(diǎn)圖如題13解圖(1)所示。由于系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，因此的收斂域?yàn)?，那么單位脈沖響應(yīng)為當(dāng)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)時(shí)，頻率響應(yīng)就是在單位圓上的值，其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如題13解圖(2)(3)所示(1)(2) (3)題13解圖14、已知一線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，其激勵(lì)和響應(yīng)滿足下列差分方程：（1）試畫出該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖。（2）求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，并畫出零極點(diǎn)圖。（3）求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性。解：(1) 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如題14解圖(1)所示。題14解圖(1)(2) 對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行z變換，得到因此系統(tǒng)函數(shù)為它的零點(diǎn)為，極點(diǎn)為。

8、零極點(diǎn)圖如題14解圖(2)所示。題14解圖(2)(3) 有一個(gè)極點(diǎn)，因此收斂域有兩種情況：和。當(dāng)收斂域?yàn)闀r(shí)，系統(tǒng)即不是因果的也不是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為當(dāng)收斂域?yàn)闀r(shí)，系統(tǒng)為穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為第三章習(xí)題解答1、設(shè)是一個(gè)周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)，以采樣頻率對(duì)其進(jìn)行采樣，計(jì)算采樣信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)。解：中第一項(xiàng)的周期為，第二項(xiàng)的周期為，兩項(xiàng)之和的周期是，可以寫成用復(fù)指數(shù)表示，有利用復(fù)指數(shù)的周期性，有，那么可以表示成上式是DFS分解的形式所以，到的其它DFS系數(shù)等于0。2、求下列序列的N點(diǎn)DFT:(1) (2) (3) ，其中(4) (5) 其中(6) (7) (8) (9) (10

9、) 解：(1) 由DFT的定義(2) 單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義得到：另一種方法是利用DFT相當(dāng)于在單位圓上作N點(diǎn)等間隔采樣的結(jié)果這一定義來(lái)求解，由于所以。(3) 的DFT仍然可以直接由定義計(jì)算。這里采用第二種方法，DFT相當(dāng)于在單位圓上作N點(diǎn)等間隔采樣。由于，對(duì)在上采樣，求得，(4) 由DFT的定義(5) 由DFT的定義從分子中提出復(fù)指數(shù)，從分母中提出復(fù)指數(shù)，則DFT可以寫為(6) 由DFT的定義(7) 由DFT的定義(8) 由DFT的定義或 (9) 解法一： 由DFT的定義解法二：由DFT的共軛對(duì)稱性求解，因?yàn)槟敲雌渲校ǖ?8)小題中的信號(hào)），所以即 結(jié)果與解法一所得結(jié)果相同

10、。此題驗(yàn)證了共軛對(duì)稱性。(10) 解法一：由DFT的定義解法二：由DFT的共軛對(duì)稱性求解，因?yàn)槠渲校ǖ?8)小題中的信號(hào)），所以3、已知，求其10點(diǎn)IDFT解：可以表示為寫成這種形式以后，就可以很容易確定DFT反變換。由于一個(gè)單位脈沖序列的DFT變換為常數(shù)，同樣，一個(gè)常數(shù)的DFT變換是一個(gè)單位脈沖序列，所以4、計(jì)算序列的N點(diǎn)DFT：比較與時(shí)DFT系數(shù)的值，解釋有什么不同。解：如果用復(fù)指數(shù)表示這個(gè)余弦序列，就很容易計(jì)算該序列的N點(diǎn)DFT：分別計(jì)算每一項(xiàng)的DFT，可以得到當(dāng)時(shí)，由于第一項(xiàng)是頻率的復(fù)指數(shù)和，只有當(dāng)時(shí)和為N，為其它值時(shí)和為0。同樣，對(duì)于第二項(xiàng)，只有當(dāng)時(shí)和為N，為其它值時(shí)和為0。因此，若

11、，DFT系數(shù)為一般情況下，當(dāng)時(shí)，分子、分母中分別提出一個(gè)復(fù)指數(shù)，那么對(duì)于每一個(gè)來(lái)說(shuō)，除非是的整數(shù)倍，否則一般情況下是非零值。造成這兩種區(qū)別的原因在于相當(dāng)于是對(duì)的DTFT進(jìn)行采樣的結(jié)果。在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣時(shí)，一般情況下采樣值非零，但是當(dāng)時(shí)，除了和兩點(diǎn)，其余的采樣點(diǎn)都在正弦函數(shù)的過零點(diǎn)上。5、兩個(gè)長(zhǎng)度為N的序列、的N點(diǎn)圓周卷積可以用矩陣的形式表示如下其中，H是一個(gè)的循環(huán)矩陣，和是矢量，分別包含信號(hào)值和。確定矩陣的形式。解：與的圓周卷積為=具體地，是與圓周時(shí)間翻轉(zhuǎn)序列乘積的和接下來(lái)，對(duì)于，將圓周右移1位，再與序列值相乘繼續(xù)這個(gè)過程直到得到最后一個(gè)值，如果我們將這些等式安排成矩陣的形式，就有注

12、意矩陣H的第二行由第一行圓周右移1位得到，這個(gè)移位相當(dāng)于是序列的圓周移位。同樣，第三行是第二行右移一位得到，以此類推。由于這個(gè)循環(huán)性質(zhì)，H就稱為循環(huán)矩陣。6、設(shè)令,試求與的周期卷積并作圖。解：可以用列表法求解，在一個(gè)周期內(nèi)和如題6解表所示，題6解表1234500011110141001111122100111103110011841110016511110010只要將表中對(duì)應(yīng)于某個(gè)的一行中的值和第一行中與之對(duì)應(yīng)的值相乘，然后再將所有乘積結(jié)果相加，就得到此的值。如題6解圖所示。題6解圖7、已知為，試畫出，等各序列。解：此題需注意周期延拓的數(shù)值，也就是中N的數(shù)值。如果N比序列的點(diǎn)數(shù)多，則需補(bǔ)零；如

13、果N比序列的點(diǎn)數(shù)少，則需將序列按N為周期進(jìn)行周期延拓，混疊相加形成新序列。各序列如題7解圖所示。題7解圖8已知兩個(gè)有限長(zhǎng)序列為試用作圖表示以及。解：直接利用圓周卷積公式求解，結(jié)果如題8解圖所示。題8解圖9、已知是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，?，F(xiàn)將長(zhǎng)度變成點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列試求點(diǎn)與的關(guān)系。解：由于可得當(dāng)為的整數(shù)倍時(shí)，與相等。10、已知是N點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列，現(xiàn)將的每?jī)牲c(diǎn)之間補(bǔ)進(jìn)個(gè)零值點(diǎn)，得到一個(gè)點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列試求點(diǎn)與的關(guān)系。解：由于可得所以是將（周期為N）延拓次形成的，即周期為。11、頻譜分析的模擬信號(hào)以被抽樣，計(jì)算了512個(gè)抽樣的DFT，試確定頻譜抽樣之間的頻率間隔，并證明。解：利用頻域抽樣間隔和時(shí)域抽樣頻率以及

14、抽樣點(diǎn)數(shù)N的關(guān)系。由， 得其中是以角頻率為變量的頻譜的周期，是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。又則對(duì)于本題有所以12、設(shè)有一譜分析用的信號(hào)處理器，抽樣點(diǎn)數(shù)必須為2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施，要求頻率分辨力，如果采用的抽樣時(shí)間間隔為，試確定：（1）最小記錄長(zhǎng)度；（2）所允許處理的信號(hào)的最高頻率；（3）在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)。解：抽樣間隔和抽樣頻率滿足，記錄長(zhǎng)度和頻域分辨力的關(guān)系為，抽樣定理為（為信號(hào)最高頻率分量），一個(gè)記錄中最少的抽樣總數(shù)滿足(1) 因?yàn)椋?，所以即最小記錄長(zhǎng)度為。(2) 因?yàn)?，而所以即允許處理的信號(hào)的最高頻率為。(3) ，又因必須為2的整數(shù)冪，所以一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)為

15、。13、設(shè)為存在傅里葉變換的任意序列，其z變換為，是對(duì)在單位圓上的點(diǎn)等間隔采樣，即， 求的點(diǎn)離散傅里葉逆變換（記為）與的關(guān)系式。解：由題意知， 即是對(duì)在上的點(diǎn)等間隔采樣。由于是以為周期的，所以采樣序列即以為周期。所以它必然與一周期序列相對(duì)應(yīng)，為的DFS系數(shù)。根據(jù)與的關(guān)系只要求出與之間的關(guān)系式，則與之間的關(guān)系式就得了。由DFS展開公式有為了導(dǎo)出與之間的關(guān)系，應(yīng)將上式中的用表示：所以因?yàn)樗约词堑闹芷谘油匦蛄?，由此可得出為的周期延拓序列（以為延拓周期）的主值序列?4、用DFT對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析，設(shè)模擬信號(hào)的最高頻率為，以奈奎斯特頻率采樣得到時(shí)域離散序列，要求頻率分辨率為。假設(shè)模擬信號(hào)頻譜如題1

16、4圖所示，試畫出和的譜線圖，并標(biāo)出每個(gè)值對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率和模擬頻率的值。題14圖 模擬信號(hào)的頻譜圖解：因?yàn)樽罡哳l率，頻率分辨率，所以采樣頻率為，觀察時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)所以，對(duì)進(jìn)行采樣得及分別如題14解圖所示。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)，由可求得；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率。與的對(duì)應(yīng)關(guān)系（由題14圖和題14解圖(2)可看出）為 題14解圖(1) 題14解圖(2)該題主要說(shuō)明了模擬信號(hào)的時(shí)域采樣序列的點(diǎn)離散傅里葉變換與的頻譜之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。只有搞清該關(guān)系，才能由看出的頻譜特征。否則，即使計(jì)算出，也搞不清的第條譜線對(duì)應(yīng)于的什么頻率點(diǎn)的采樣，這樣就達(dá)不到譜分析目的。實(shí)際中，求出后，也可以將橫坐標(biāo)換算成模擬頻率，換算公式為，直接作出譜

17、線圖。15、已知下列，求。（1）（2）其中，為正整數(shù)，為變換區(qū)間長(zhǎng)度。解：（1）由IDFT的定義，(2) 由IDFT的定義，16、證明DFT的對(duì)稱定理，即假設(shè)證明。證明：因?yàn)樗杂捎谒?7、如果，證明DFT的初值定理證明：由IDFT的定義，可知第四章習(xí)題解答1、如果一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)平均每次復(fù)數(shù)乘法的時(shí)間為，每次復(fù)數(shù)加需要，用它來(lái)計(jì)算1024點(diǎn)的，請(qǐng)問直接計(jì)算DFT需要多少時(shí)間，用FFT運(yùn)算需要多少時(shí)間？解：(1) 直接計(jì)算復(fù)乘所需時(shí)間復(fù)加所需時(shí)間所以 (2) 利用FFT計(jì)算復(fù)乘所需時(shí)間復(fù)加所需時(shí)間所以 2、如果采用某種專用DSP芯片進(jìn)行DFT運(yùn)算，計(jì)算一次復(fù)數(shù)乘法的時(shí)間為左右，計(jì)算一次復(fù)數(shù)加法

18、的時(shí)間為。用它來(lái)計(jì)算1024點(diǎn)的，請(qǐng)問直接計(jì)算DFT需要多少時(shí)間，用FFT運(yùn)算需要多少時(shí)間？解：直接計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間為：用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間為3、設(shè)是長(zhǎng)度為的有限長(zhǎng)實(shí)序列，為的點(diǎn)DFT。(1) 試設(shè)計(jì)用一次點(diǎn)FFT完成計(jì)算的高效算法。(2) 若已知，試設(shè)計(jì)用一次N點(diǎn)IFFT實(shí)現(xiàn)求的點(diǎn)IDFT運(yùn)算。分析與提示：本題的解題思路就是DIT-FFT思想。解 (1) 在時(shí)域分別抽取偶數(shù)點(diǎn)和奇數(shù)點(diǎn)得到兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列和 根據(jù)DIT-FFT的思想，只要求得和的N點(diǎn)DFT，再經(jīng)過簡(jiǎn)單的一級(jí)蝶形運(yùn)算就可得到的點(diǎn)DFT。因?yàn)楹途鶠閷?shí)序列，所以根據(jù)DFT的共軛對(duì)稱性，可用一次N點(diǎn)F

19、FT求得和。具體方法如下：令 則點(diǎn)可由和得到這樣，通過一次N點(diǎn)IFFT計(jì)算就完成了計(jì)算點(diǎn)DFT。當(dāng)然還要進(jìn)行運(yùn)算量相對(duì)很少的，由求和的運(yùn)算。(2)與(1)相同，設(shè)則應(yīng)滿足關(guān)系式由上式可解出由以上分析可得出運(yùn)算過程如下：由計(jì)算出和由和構(gòu)成N點(diǎn)頻域序列其中，進(jìn)行N點(diǎn)IFFT得到 由DFT的共軛對(duì)稱性知由和合成在編程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)，只要將存放和的兩個(gè)數(shù)組的元素分別依次放入存放的數(shù)組的偶數(shù)和奇數(shù)數(shù)組元素中即可。4、時(shí)，畫出基-2按時(shí)間抽選方法及按頻率抽選法的FFT流圖（時(shí)間抽選采用輸入倒位序，輸出自然數(shù)順序，頻率抽選采用輸入自然順序，輸出倒位序）。分析與提示：DIF的復(fù)數(shù)乘法出現(xiàn)在減法之后；DIT的復(fù)數(shù)乘法

20、出現(xiàn)在加法、減法之前，它們的基本碟形是互為轉(zhuǎn)置的。解： (1) 按時(shí)間抽選，見題4解圖(1)。 (2) 按頻率抽選，見題4解圖(2)。題4解圖(1)題4解圖(2)5、一個(gè)長(zhǎng)度為的復(fù)序列與一個(gè)長(zhǎng)度為的復(fù)序列卷積。(a) 求直接進(jìn)行卷積所需（復(fù)）乘法次數(shù)。(b) 若用1024點(diǎn)基2按時(shí)間抽選FFT重疊相加法計(jì)算卷積，重復(fù)問題(a)。解：(a) 若長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則直接進(jìn)行卷積所需復(fù)乘數(shù)為(b) 用1024點(diǎn)FFT的重疊相加法，乘法數(shù)如下：由于長(zhǎng)度為512點(diǎn)，可以將分成長(zhǎng)度為的序列，這樣與1024點(diǎn)的圓周卷積與線性卷積與線性卷積相等（雖然可以將分段的長(zhǎng)度定為513，但這樣不會(huì)節(jié)約任何計(jì)算量）。的長(zhǎng)度為8

21、192，這就意味著將會(huì)有16個(gè)長(zhǎng)度為512點(diǎn)的序列。所以為了進(jìn)行卷積，必須計(jì)算17個(gè)DFT變換與16個(gè)DFT反變換。另外，必須形成。這樣，全部的復(fù)乘次數(shù)大約為：大約是直接進(jìn)行卷積所需復(fù)乘次數(shù)的。6、以采樣率對(duì)語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行采樣，并對(duì)其實(shí)時(shí)處理，所需的部分運(yùn)算包括采集1024點(diǎn)語(yǔ)音值塊、計(jì)算一個(gè)1024點(diǎn)的DFT變換和一個(gè)1024點(diǎn)的DFT反變換。若每一次實(shí)乘所需時(shí)間為，那么計(jì)算DFT變換和DFT反變換后還剩下多少時(shí)間用來(lái)處理數(shù)據(jù)？解:對(duì)于的采樣率，每就要采集一個(gè)1024點(diǎn)的數(shù)據(jù)塊。若用基-2FFT，1024點(diǎn)DFT的復(fù)乘數(shù)大約為。由于一次復(fù)乘包括4次實(shí)乘，這就意味著DFT或反DFT都需要進(jìn)行次實(shí)

22、乘。一次實(shí)乘需，就要用時(shí)間：這樣只剩下用來(lái)進(jìn)行其他的處理。7、對(duì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣得到一個(gè)4096個(gè)采樣點(diǎn)的序列：(a) 若采樣后沒有發(fā)生頻譜混疊，的最高頻率是多少？(b) 若計(jì)算采樣信號(hào)的4096點(diǎn)DFT，DFT系數(shù)之間的頻率間隔是多少？(c) 假定我們僅僅對(duì)頻率范圍所對(duì)應(yīng)的DFT采樣點(diǎn)感興趣，若直接用DFT，要計(jì)算這些值需要多少次復(fù)乘？若用按時(shí)間抽選FFT則需要多少次？(d) 為了使FFT算法比直接計(jì)算DFT效率更高，需要多少個(gè)頻率采樣點(diǎn)？解：(a) 在內(nèi)采樣4096點(diǎn)意味著采樣頻率是。若對(duì)采樣后沒有發(fā)生頻譜混疊，采樣頻率必須至少是最高頻率的兩倍。所以的最高頻率為。(b) 對(duì)于4096點(diǎn)

23、DFT，我們?cè)?到內(nèi)對(duì)等間隔采樣4096點(diǎn)，相當(dāng)于在范圍內(nèi)采樣4096點(diǎn)。所以頻率間隔是。(c) 在200Hz到300頻率范圍內(nèi)有101個(gè)DFT采樣點(diǎn)。因?yàn)橛?jì)算每一個(gè)DFT系數(shù)需要4096次復(fù)乘，那么僅僅計(jì)算這些頻率采樣點(diǎn)所需的乘法次數(shù)為另一方面，若采用FFT，則所需的乘法次數(shù)為所以，即使FFT計(jì)算了范圍內(nèi)所有頻率采樣點(diǎn)，但仍然比直接計(jì)算這101個(gè)采樣點(diǎn)效率高。(d) 一個(gè)N點(diǎn)FFT需要次復(fù)乘，直接計(jì)算M個(gè)DFT需要次復(fù)乘。 或 求M個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)FFT就會(huì)更有效。時(shí)，頻率采樣點(diǎn)數(shù)為。8、設(shè)是長(zhǎng)度為N的序列，且其中N是偶數(shù)。(a) 證明的N點(diǎn)DFT僅有奇次諧波，即為偶數(shù)(b) 證明如何由一個(gè)經(jīng)過適

24、當(dāng)調(diào)整的序列的N/2點(diǎn)DFT求得的N點(diǎn)DFT。解:(a) 的N點(diǎn)DFT為由于，若為偶數(shù)，求和式中的每一項(xiàng)都是0，所以，。(b) 在按頻率抽選FFT算法的第一階段，我們分別計(jì)算的偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)。如果僅有奇次諧波，偶數(shù)項(xiàng)樣點(diǎn)為0，那我們就只需要計(jì)算那些奇數(shù)項(xiàng)樣點(diǎn)。奇數(shù)項(xiàng)樣點(diǎn)為根據(jù)，上式變?yōu)檫@是序列的N/2點(diǎn)DFT。所以，為了求的N點(diǎn)DFT，將的前N/2點(diǎn)乘以， ()然后計(jì)算的N/2點(diǎn)DFT。的N/2點(diǎn)DFT為 第五章習(xí)題解答1、用直接I型及直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)解：因?yàn)?，所以?，直接I型及直接型結(jié)構(gòu)圖如題1解圖(1)、(2)所示 題1解圖(1) 題1解圖(2)2、用級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)

25、：試問一共能構(gòu)成幾種級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)？解： 因?yàn)?。，由此可得：采用二階節(jié)實(shí)現(xiàn)，還考慮分子分母組合成二階(一階)基本節(jié)的方式，則有四種級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)形式。3、給出以下系統(tǒng)函數(shù)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)：解：對(duì)此系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行因式分解并展成部分分式得：， 的并聯(lián)結(jié)構(gòu)如題3解圖所示。題3解圖4、已知濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：(1) 寫出系統(tǒng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的差分方程。(2) 試畫出此FIR系統(tǒng)的橫截型結(jié)構(gòu)。(3) 試畫出此FIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)式結(jié)構(gòu)。解：(1) 由已知得：所以對(duì)應(yīng)的差分方程：，則：(2) FIR系統(tǒng)的橫截型結(jié)構(gòu)如題4解圖(1)題4解圖(1)(3) FIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的模型公式為：根據(jù) 對(duì)照上式可得此題的參數(shù)為：FIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題

26、4解圖(2)題4解圖(2)5、已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為試畫出其級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。解：根據(jù)得：而FIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的模型公式為：對(duì)照上式可得此題的參數(shù)為： ，根據(jù)上面的討論可以畫出FIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)，如題5解圖所示。題5解圖6 用頻率抽樣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)： 抽樣點(diǎn)數(shù)N=6，修正半徑。解：因?yàn)镹=6，所以根據(jù)公式可得：故 因而，則：的頻率采樣結(jié)構(gòu)如題6解圖所示。題6解圖7、設(shè)某FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：試畫出此濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)。解：由題中所給條件，得 即h(n)偶對(duì)稱，對(duì)稱中心在處，N為奇數(shù)(N=5)。8、設(shè)濾波器差分方程為：(1) 試用直接I型、直接型及一階節(jié)的級(jí)聯(lián)型、一階節(jié)的并聯(lián)

27、型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)此差分方程。(2) 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（幅度及相位）。(3) 設(shè)抽樣頻率為10kHz，輸入正弦波幅度為5，頻率為1kHz，試求穩(wěn)態(tài)輸出。解：(1)直接I型及直接型：根據(jù)可得：；一階節(jié)級(jí)聯(lián)型：一階節(jié)并聯(lián)型： 根據(jù)以上分析，可分別畫出直接I型、直接型、一階節(jié)級(jí)聯(lián)型和一階節(jié)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)，分別如題8解圖(1)(4)所示。 題8解圖(1) 題8解圖(2)題8解圖(3) 題8解圖(4) (2)由題意可知幅度為：相位為：(3)輸入正弦波為：由可得，周期抽樣頻率為10kHz，即抽樣周期為：因?yàn)樵趚(t)的一個(gè)周期內(nèi)，采樣點(diǎn)數(shù)為10個(gè)，且在下一周期內(nèi)的采樣值與間的采樣值完全一樣。所以我們可以將輸入看為由此

28、看出，根據(jù)公式可得此穩(wěn)態(tài)輸出為：第六章習(xí)題解答1、已知模擬濾波器的傳遞函數(shù)為，設(shè)采樣周期，試用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法分別設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，求系統(tǒng)函數(shù)。解: (1) 由脈沖響應(yīng)不變法可得： (2) 由雙線性變換法 及可得：2、模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，抽樣周期T=0.5。試用脈沖響應(yīng)不變法將其轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)。解：由脈沖響應(yīng)不變法，將展開成部分分式其中： 因此 有2個(gè)實(shí)極點(diǎn)，映射到z平面極點(diǎn)為，則數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，將T=0.5代入到表達(dá)式中，得到下面的表達(dá)式：3、寫出模擬濾波器由雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，s平面與z平面之間進(jìn)行映射的表達(dá)式；若所要設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾

29、波器3dB截止頻率為c，抽樣周期為T，寫出對(duì)應(yīng)的模擬原型濾波器的截止頻率c表達(dá)式。解：首先給出s平面與z平面間進(jìn)行映射的表達(dá)式 模擬原型濾波器的截止頻率c表達(dá)式 4、已知模擬二階巴特沃思低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)為：而3dB截止頻率為50Hz的模擬濾波器，需將歸一化的中的變量用來(lái)代替設(shè)系統(tǒng)抽樣頻率為，要求從這一低通模擬濾波器設(shè)計(jì)一個(gè)低通數(shù)字濾波器，采用脈沖響應(yīng)不變法。解:模擬濾波器階躍響應(yīng)的拉普拉斯變換為：由于，故則利用以下z變換關(guān)系：， ， 且代入a = 222.14415，可得階躍響應(yīng)的z變換由此可得數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：5、設(shè)有一模擬濾波器，抽樣周期T=2，試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變

30、為數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)。解：由變換公式及可得：T=2時(shí)：6、要求從二階巴特沃思模擬濾波器用雙線性變換導(dǎo)出一低通數(shù)字濾波器，已知3dB截止頻率為100Hz，系統(tǒng)抽樣頻率為1kHz。解：歸一化的二階巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為將代入，得出截止頻率是的模擬原型為由雙線性變換公式可得 7、已知模擬濾波器有低通、高通、帶通、帶阻等類型，而實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻等類型。則設(shè)計(jì)各類型數(shù)字濾波器可以有哪些方法？試畫出這些方法的結(jié)構(gòu)表示圖并注明其變換方法。解：設(shè)計(jì)各類型數(shù)字濾波器方法的結(jié)構(gòu)表示圖如題7解圖(1)、(2)、(3)所示。模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬歸一化原型

31、 模擬模擬 頻帶變換 數(shù)字化題7解圖(1) 先模擬頻帶變換，再數(shù)字化數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬歸一化原型 題7解圖(2) 把(1)的兩步合成一步直接設(shè)計(jì)數(shù)字低通數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬歸一化原型 數(shù)字?jǐn)?shù)字 數(shù)字化 頻帶變換 題7解圖(3) 先數(shù)字化，再進(jìn)行數(shù)字頻帶變換8、用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，抽樣頻率為，上、下邊帶截止頻率分別為，。解：由模擬低通數(shù)字帶通的轉(zhuǎn)換公式為。首先求出上、下邊帶截止頻率和。， 取歸一化原型，則有：查表得三階歸一化巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：其中代入后整理可得：將分母中的系數(shù)歸一化，可得：9、設(shè)計(jì)一個(gè)二階巴特沃思帶阻數(shù)字濾波器，其

32、阻帶3dB的邊帶頻率分別為40kHz，20kHz，抽樣頻率。解：由于設(shè)計(jì)的是二階數(shù)字帶阻濾波器，故原型低通應(yīng)是一階的，一階巴特沃思?xì)w一化原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以查表求得其3dB截止頻率，則低通變到帶阻的變換中所需常數(shù)分別為根據(jù)變換公式，將的表達(dá)式代入，并代入、，可得數(shù)字帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：10、用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階切比雪夫數(shù)字高通濾波器，抽樣頻率為，截止頻率為。(不計(jì)4kHz以上的頻率分量)分析與提示：同樣利用歸一化原型低通濾波器作為樣本，一步變換成數(shù)字高通濾波器。變換關(guān)系為：，解：不妨用的三階切比雪夫低通系統(tǒng)函數(shù)，查表：又 ，而由變換關(guān)系式 ，可得到數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函

33、數(shù)為化簡(jiǎn)后可得第七章習(xí)題解答1、用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè)FIR線性相位低通數(shù)字濾波器。已知。求出并畫出曲線。解：其中：將數(shù)據(jù)代入，的表達(dá)式為故 曲線如題1解圖所示。題1解圖2、用三角形窗設(shè)計(jì)一個(gè)FIR線性相位低通數(shù)字濾波器。已知：，。求出并畫出的曲線。解：由題意可知：因?yàn)橛萌切未霸O(shè)計(jì)：曲線如題2解圖所示。題2解圖3、用漢寧窗設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位高通濾波器求出的表達(dá)式，確定與N的關(guān)系。并畫出曲線。解：由題意可知， 按照線性相位濾波器條件有：代入整理曲線如題3解圖所示。題3解圖4、用漢明窗設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位帶通濾波器，求出的表達(dá)式并畫出曲線。(設(shè))解：可求得此濾波器的時(shí)域函數(shù)為， 采用漢明窗設(shè)計(jì)時(shí)：其中，所以

34、曲線如題4解圖所示。題4解圖5、試用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR線性相位數(shù)字低通濾波器。已知。解：根據(jù)題意有，則有 第一類FIR數(shù)字濾波器的相位特性為綜合幅度和相位，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的離散頻率抽樣值所以6、如果一個(gè)線性相位帶通濾波器的頻率響應(yīng)為：(1)試證明一個(gè)線性相位帶阻濾波器可以表示成(2)試用帶通濾波器的單位脈沖響應(yīng)來(lái)表達(dá)帶阻濾波器的單位脈沖響應(yīng)。解：(1) 證明：由于，且又是一線性相位帶通濾波器，則：又因?yàn)?，且是線性相位，因而所以帶阻濾波器可以表示成：(2) 由題意可得，(I) (II) 當(dāng)有7、請(qǐng)選擇合適的窗函數(shù)及N來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位低通濾波器 要求其最小阻帶衰減為-45dB，過渡帶寬為。(1) 求出并畫出曲線。(設(shè))(2) 保留原有軌跡，畫出用另幾個(gè)窗函數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)的的曲線。解：(1) 因?yàn)轭}目要求設(shè)