微機(jī)原理第2章

1、1通通 信信 原原 理理第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程2第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l通信系統(tǒng)中的信號和噪聲都具有一定的隨通信系統(tǒng)中的信號和噪聲都具有一定的隨機(jī)性，需要用隨機(jī)過程來描述。機(jī)性，需要用隨機(jī)過程來描述。l本章在介紹本章在介紹隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念的基礎(chǔ)上，的基礎(chǔ)上，重點討論通信系統(tǒng)中幾種重要的隨機(jī)過程重點討論通信系統(tǒng)中幾種重要的隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性，以及隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)，以及隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的情況。的情況。3第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程2.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念n什么是隨機(jī)過程？什么是隨機(jī)過程？u隨機(jī)過程是一類隨時間作隨機(jī)變化的過隨機(jī)過

2、程是一類隨時間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述。可程，它不能用確切的時間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度看：從兩種不同角度看：u角度角度1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗結(jié)果的時間過：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗結(jié)果的時間過程的集合。程的集合。4第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程【例】【例】n臺示波器同時觀測并記錄這臺示波器同時觀測并記錄這n臺接收機(jī)的輸臺接收機(jī)的輸出噪聲波形出噪聲波形 p樣本函數(shù)樣本函數(shù)xi (t)：隨機(jī)過程的一次：隨機(jī)過程的一次實現(xiàn)實現(xiàn)，是確定，是確定的時間函數(shù)。的時間函數(shù)。p隨機(jī)過程：隨機(jī)過程： (t) =x1 (t), x2 (t), , xn (t)是全部樣本函數(shù)的集合。是全部樣本函數(shù)的集合。

3、5第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u角度角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。p在任一給定時刻在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數(shù)上，每一個樣本函數(shù)xi (t)都是一個確都是一個確定的數(shù)值定的數(shù)值xi (t1)，但是每個但是每個xi (t1)都是不可預(yù)知的。都是不可預(yù)知的。p在一個固定時刻在一個固定時刻t1上，不同樣本的取值上，不同樣本的取值xi (t1), i = 1, 2, , n是一個是一個隨機(jī)變量隨機(jī)變量，記為，記為 (t1)。p隨機(jī)過程在任意時刻的值是一個隨機(jī)過程在任意時刻的值是一個隨機(jī)變量隨機(jī)變量。p可以把可以把隨機(jī)過程隨機(jī)過程看作看作是是在時間進(jìn)程中處

4、于不同時刻的在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨隨機(jī)變量的集合機(jī)變量的集合。p這個角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。這個角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。6第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程2.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程的分布函數(shù)u設(shè)設(shè) (t)表示一個隨機(jī)過程，則它在任意時刻表示一個隨機(jī)過程，則它在任意時刻t1的值的值 (t1)是一個隨機(jī)變量，其統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率是一個隨機(jī)變量，其統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。密度函數(shù)來描述。u隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的的一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)：u隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的的一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)：11111(,

5、) ( )Fx tPtx 1111111(,)(,)Fxtfxtx 可見，可見， 隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性。僅描述了隨機(jī)過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性。7第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t) 的的二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)：u隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的的二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)：u隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t) 的的n維分布函數(shù)維分布函數(shù)：u隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t) 的的n維概率密度函數(shù)維概率密度函數(shù)： 212121122(,; , ,)( ), ( )F x x t tPtxt

6、x 2212122121212(,; ,)(,; ,)F x x t tfx x t txx 12121122(,;,)(),(),()nnnnnFxxxtttPtxtxtx nn12n12nn12n12n12n(xt )(xt )xF xxttf xxttx x ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； ， ， ，顯然顯然，n越大，對隨機(jī)過程統(tǒng)計特性的描述就越充分。越大，對隨機(jī)過程統(tǒng)計特性的描述就越充分。8第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程111111( )(,)Etx fx t dx 2.1.2 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征u 均值（數(shù)學(xué)期望）均值（數(shù)學(xué)期望）： 在任意給定時刻在任意給定時

7、刻t1的取值的取值 (t1)是一個隨機(jī)變量，是一個隨機(jī)變量，其均值其均值式中式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接寫為直接寫為t， x1改為改為x，這樣上式就變?yōu)?，這樣上式就變?yōu)?1( )(, )Etxfx t dx 9第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的均值是時間的確定函數(shù)，常記作的均值是時間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它，它表示隨機(jī)過程的表示隨機(jī)過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心個樣本函數(shù)曲線的擺動中心 : 1( )(, )Etxfx t dx a (t )10第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u方差

8、方差方差常記為方差常記為 2( t )。這里也把任意時刻。這里也把任意時刻t1直接寫成了直接寫成了t 。因為因為所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時刻隨機(jī)過程在時刻 t 對于均值對于均值a ( t )的偏離程度。的偏離程度。 2 ( ) ( )( )DtEta t 2222222( )( )()2( )Eta t tatE ta tEtatDtE tat 221( , ) ( )x fx t dxa t 均方值均值平方11第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)式中，式中， (t1)和和 (t2)分別是在分別是在t1和和t2時刻

9、觀測得到的隨機(jī)變時刻觀測得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯?，量?？梢钥闯?，R(t1, t2)是兩個變量是兩個變量t1和和t2的確定函數(shù)。的確定函數(shù)。u協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)式中式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在在t1和和t2時刻得到的時刻得到的 (t)的均值的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數(shù)。的二維概率密度函數(shù)。 1212122121212( ,) ( ) ()(,; ,)R t tEttx x fxxt tdx dx 12112211222121212( ,) ( )( ) ()()( )()(,; ,)B ttEta tta txa txa tfxxtt

10、dx dx 12第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系若若a(t1) = a(t2)=0，則，則B(t1, t2) = R(t1, t2)u互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)式中式中 (t)和和 (t)分別表示兩個隨機(jī)過程。分別表示兩個隨機(jī)過程。因此，因此，R(t1, t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。若又稱為自相關(guān)函數(shù)。若t2t1 ,令令 = t2-t1 則則R(t1, t2)可表示為可表示為R(t1 , t1 +)。 相關(guān)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)描述了隨機(jī)過程在兩個不同時描述了隨機(jī)過程在兩個不同時刻的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度?？痰碾S機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度

11、。121212( ,)( ,)( ) ( )B t tR t ta t a t 1212(,)()()RttEtt 13第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程n2.2.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義u定義：定義：若一個隨機(jī)過程若一個隨機(jī)過程 (t)的任意有限維分布函數(shù)與的任意有限維分布函數(shù)與時間起點無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)時間起點無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)n和和所有實數(shù)所有實數(shù) ，有，有 則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱簡稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程（狹義平穩(wěn)）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程（狹義平穩(wěn)）。12121

12、212(, , )(,)nnnnnnfx xxt ttfx xxttt ；14第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u性質(zhì)性質(zhì)：該定義表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性不隨時間的該定義表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時間推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時間t無關(guān)：無關(guān)：而二維分布函數(shù)只與時間間隔而二維分布函數(shù)只與時間間隔 = t2 t1有關(guān)：有關(guān)：u數(shù)字特征：數(shù)字特征：可見，（可見，（1）其均值與）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔 有關(guān)。有關(guān)。11111(, )()fx tfx 21212212(,; ,)(,;

13、 )fx x t tfx x 1111( )()Etx f x dxa 12111221212( , ) ( ) ()(,; )( )R t tEttx x f x xdx dxR 15第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程（1）其均值與）其均值與t 無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔 有關(guān)。有關(guān)。 把同時滿足（把同時滿足（1）和（）和（2）的過程定義為）的過程定義為廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為

14、在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實際意義。實際意義。 16第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n2.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性u問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自但在實際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會提出這樣一個問題：能否從一次試驗而得到的一然會提出這樣一個問題：能否從一次試驗而得

15、到的一個樣本函數(shù)個樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?u回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，稱為個有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱（又稱“遍歷性遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。實現(xiàn)的時間平均值來代替。 u下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。17第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u

16、各態(tài)歷經(jīng)性條件各態(tài)歷經(jīng)性條件設(shè)：設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程 (t)的任意一次實現(xiàn)（樣本），的任意一次實現(xiàn)（樣本），則其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為：則其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立如果平穩(wěn)過程使下式成立則稱該平穩(wěn)過程具有則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性。/2/2/2/21( )lim( )1( )( ) ()lim( ) ()TTTTTTax tx t dtTRx t x tx t x tdtT ( )( )aaRR 18第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u“各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實現(xiàn)都經(jīng)的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實現(xiàn)都經(jīng)歷了

17、隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時，無需作無限多次的考平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實現(xiàn)的察，只要獲得一次考察，用一次實現(xiàn)的“時間平均時間平均”值值代替過程的代替過程的“統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均”值即可，從而使測量和計算的值即可，從而使測量和計算的問題大為簡化。問題大為簡化。u具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足

18、各態(tài)歷經(jīng)條件。能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。19第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u 例例2-1 設(shè)一個隨機(jī)相位的正弦波為設(shè)一個隨機(jī)相位的正弦波為其中，其中，A和和 c均為常數(shù)；均為常數(shù)； 是在是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論變量。試討論 (t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘狻俊窘狻?1)先求先求 (t)的統(tǒng)計平均值：的統(tǒng)計平均值： 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望( )cos()ctAt 201( ) ( )cos()2ca tEtAtd 20(coscossinsin )2ccAttd 2200coscossinsin02ccAtdtd 20第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)

19、自相關(guān)函數(shù)令令t2 t1 = ，得到，得到 可見，可見， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無關(guān)，無關(guān)，只與時間間隔只與時間間隔 有關(guān)，所以有關(guān)，所以 (t)是廣義平穩(wěn)過程。是廣義平穩(wěn)過程。1212122212122221210221( ,) ( ) ( )cos()cos()cos()cos()2 21cos()cos()2 222cos()02cccccccR t tEttE AtAtAEttttAAttttdAtt 212( ,)cos( )2cAR t tR 21第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (2) 求求 (t)的時間平均值的時間平均值比較統(tǒng)計平

20、均與時間平均，有比較統(tǒng)計平均與時間平均，有因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。221limcos()0TcTTaAtdtT 221( )limcos()cos()TccTTRAtAtdtT 22222limcoscos(22 )2TTcccTTTAdttdtT 2cos2cA ,( )( )aaRR 22第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n2.2.3 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)u平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前u平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)p (t)的的平均功率平均功率p 的偶函數(shù)的偶函數(shù)p R( )的上界

21、的上界即自相關(guān)函數(shù)即自相關(guān)函數(shù)R( )在在 = 0有最大值。有最大值。2(0)( )REt ( )()RR ( )(0)RR 23第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的的直流功率直流功率 表示平穩(wěn)過程表示平穩(wěn)過程 (t)的的交流功率交流功率。當(dāng)均值為。當(dāng)均值為0時，有時，有 R(0) = 2 。 22( ) ( )aREt 2(0)()RR 24第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n2.2.4 平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度u定義：定義：p對于任意的確定功率信號對于任意的確定功率信號f (t)，它的功率譜密度定義為，它的功率譜密度定義為式中，式中，F(xiàn)T ( f )是是f (t)的截短函數(shù)的截

22、短函數(shù)fT (t) 所對應(yīng)的頻譜函數(shù)所對應(yīng)的頻譜函數(shù)2()()TfTFfPflimT 25第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p對于平穩(wěn)隨機(jī)過程對于平穩(wěn)隨機(jī)過程 (t) ，可以把，可以把f (t)當(dāng)作是當(dāng)作是 (t)的一的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故的功率譜的統(tǒng)計平均，故 (t)的功率譜密度可以定的功率譜密度可以定義為義為2()()()TfTE FfPfE PflimT 26第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u功率譜密度的計算功率譜密度的

23、計算p維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即有有簡記為簡記為以上關(guān)系稱為以上關(guān)系稱為維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域頻域和和時域時域兩種分析兩種分析方法的基本關(guān)系式方法的基本關(guān)系式。()( )1( )()2jjPRedRPed ( )()RPf 27第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p在維納在

24、維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：上式從上式從頻域頻域的角度給出了的角度給出了過程平均功率過程平均功率的計算法。的計算法。各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性。能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性?！咀C】因為各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本【證】因為各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣

25、本的自相關(guān)函數(shù)，即的自相關(guān)函數(shù)，即 (0)()RPf df ( )( )RR 28第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程功率譜密度功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實偶性，即有具有非負(fù)性和實偶性，即有和和這與這與R( )的實偶性相對應(yīng)。的實偶性相對應(yīng)。 )()(RRFF()0Pf ()()PfPf 兩邊取傅里葉變換：兩邊取傅里葉變換： ( )()RPf R( )fPf ()()fPfPf 29第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p例例2-2 求隨機(jī)相位余弦波求隨機(jī)相位余弦波 (t) = Acos( ct + )的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。和功率譜密度?！窘狻吭凇窘狻吭诶?-1中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相

26、位余弦波是一個中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為因為平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉因為平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有變換，即有 以及由于有以及由于有所以，功率譜密度為所以，功率譜密度為2( )cos2cAR ( )( )RP cos ()()ccc 2( ) ()()2ccAP 30第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程2( )cos2cAR 平均功率為平均功率為 21(0)()22ASRPd 均值和方差均值和方差222(0)( )(0)( )2ARRRat 31第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l 2.3

27、 高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）n2.3.1 定義定義u如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程 (t)的任意的任意n維（維（n =1,2,.）分布均服）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。u n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式中式中 12121/2/21112(,., ,., )11exp()()2(2 ).nnnnnjjkkjknjkjknf x xxt ttxaxaBBB ；22 (), ()kkkkkaEtEta 32第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程式中式中 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即歸一化協(xié)

28、方差矩陣的行列式，即 |B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代數(shù)余因子的代數(shù)余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 12121212111nnnnbbbbBbb ( ) ()jjkkjkjkEtatab 33第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n 2.3.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)u由高斯過程的定義式可以看出由高斯過程的定義式可以看出,高斯過程的高斯過程的n維分布只維分布只依賴各個隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。依賴各個隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征數(shù)字特征就就可以了?？梢粤?。u廣義平穩(wěn)的

29、高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因為，若高斯。因為，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，協(xié)方差過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，則它函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，則它的的n維分布也與時間起點無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。維分布也與時間起點無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。34第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，即對所有即對所有j k，有，有bjk =0，則其概率密度可

30、以簡化為，則其概率密度可以簡化為這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)不相關(guān)的，的，那么它們也是那么它們也是統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立的。的。u高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。是高斯過程。1212(,.,;,.,)nnnfxxxttt2kk2k 1kk()1exp22nxa 1122(, )(,)(,)nnf x tf x tf xt 35第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n 2.3.3 高斯隨機(jī)

31、變量高斯隨機(jī)變量u定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為數(shù)為式中式中a 均值均值 2 方差方差曲線如右圖：曲線如右圖：221()( )exp22xaf x 36第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u性質(zhì)性質(zhì)pf (x)對稱于直線對稱于直線 x = a，即，即p pa表示分布中心，表示分布中心， 稱為稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示，表示集中程度集中程度，圖形，圖形將隨著將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)?shù)臏p小而變高和變窄。當(dāng)a = 0和和 = 1時，稱為時，稱為標(biāo)

32、準(zhǔn)化的正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布： f axf ax ( )1f x dx 1( )( )2aaf x dxf x dx 21( )exp22xf x 37第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)用用誤差函數(shù)誤差函數(shù)erf(x)表示正態(tài)分布函數(shù)，其中：表示正態(tài)分布函數(shù)，其中： 令令 則有則有 221()( )()exp22xzaF xPxdz ()/2tza 2dzdt 22222201()1()( )expexp222211 22211222axax atzazaF xdzdzedtxaerf 202()xterfxedt 38第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p式中式中為誤差函數(shù)，可

33、以查表求出其值。為誤差函數(shù)，可以查表求出其值。p用用互補(bǔ)誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：表示正態(tài)分布函數(shù)：式中式中當(dāng)當(dāng)x 2時，時，1( )122xaF xerfc 221( )( )txerfc xerf xedt 21( )xerfc xex202( )xterf xedt 39第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p用用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：Q函數(shù)定義：函數(shù)定義：Q函數(shù)和函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和分布函數(shù)函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：的關(guān)系：Q函數(shù)值也可以從查表得到。函數(shù)值也可以從查表得到。2/21( )2txQ xedt221)(x

34、erfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(40第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程102012( )cossin,Z tXtXtXX 、10201020cossincossin( )0E XtXtE XtE XtE Z t 例例2-3設(shè)一隨機(jī)過程為設(shè)一隨機(jī)過程為為相互獨立、均值為為相互獨立、均值為0, 方差為方差為2的高斯隨機(jī)變量，求的高斯隨機(jī)變量，求Z (t)的均值、方差和一維概率密度函數(shù)的均值、方差和一維概率密度函數(shù)f(z) 。證：證：222102022221020012( )( )(cossin) cossinsin2( )(E ZtEZ tEXtXtE XtE

35、XtttEX XD Z 41第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程22221 XEXE因為因為所以有：所以有：1212120 0E XE XE X XE XE X 22221020012222002cossinsin2( ( )(cossin)D ZE XtE XttEX Xttt Z (t)的一維概率密度函數(shù)的一維概率密度函數(shù)f(z) 221exp()22( )f zz 42第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)n確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)）（復(fù)習(xí)） ：若令：若令： vi 為為 輸入信號，輸入信號，h(t)為線性系統(tǒng)的單位沖激響為線性

36、系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，應(yīng)，vo 為為 輸出信號，則有：輸出信號，則有：對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：0( )( )( )( ) ()iiv th tv thv td iV ( f )H ( f )V ( f ) 02jf tH( f )h( t )ed t 43第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)：隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)：如果把如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個實現(xiàn)，則看作是輸入隨機(jī)過程的一個實現(xiàn)，則vo(t) 可可看作是輸出隨機(jī)過程的一個實現(xiàn)。因此，當(dāng)線性系統(tǒng)看作是輸出隨機(jī)過程的一個實現(xiàn)。因此，當(dāng)線性系統(tǒng)的輸入端加入一個隨機(jī)過程的輸入端加入一個隨機(jī)過程 i(t)

37、時，便有一個輸出隨時，便有一個輸出隨機(jī)過程機(jī)過程 o(t) ，且有：，且有：u假設(shè)：假設(shè)： i(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程， a 均值，均值， Ri( ) 自相關(guān)函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)，Pi(f) 功率譜密度；功率譜密度；求輸出過程求輸出過程 o(t)的統(tǒng)計特性，即它的均值、自相關(guān)的統(tǒng)計特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。函數(shù)、功率譜以及概率分布。0( )( )()ithtd 44第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u輸出過程輸出過程 o(t)的均值的均值 設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有，則有 式中，式中，H(0)是線性系統(tǒng)在是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率

38、響應(yīng)，因此輸出處的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的均值是一個常數(shù)。過程的均值是一個常數(shù)。0( )( )()ithtd 0 ( )( ) ()( ) ()iiEtEhtdhEtd ()( )iiEtEta 0( )( )(0)ahdEta H 45第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u輸出過程輸出過程 o(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有 上式表明輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時間間隔上式表明輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時間間隔 的函數(shù)。的函數(shù)。 結(jié)論：若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。結(jié)論：若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。 01101011111( ,)

39、( )()( ) ()( ) ()( ) ( ) () ()iiiiR t tEttEhtdhtdhhEttd d 11() ()()iiiEttR 0110( ,)( ) ( )()( )iR t thhRd dR 46第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u輸出過程輸出過程 o(t)的功率譜密度的功率譜密度對下式進(jìn)行傅里葉變換：對下式進(jìn)行傅里葉變換：得出得出令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得到即即0110( ,)( ) ( )()( )iR t thhRd dR 00()( )jPfRed ( ) ( )()jihhRd ded 0()( )()()jjjiPfhedhedRed 20

40、()()()()()()iiPfHfH fP fH fP f 47第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程結(jié)論結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：應(yīng)用：由由Po( f )的反傅里葉變換求的反傅里葉變換求Ro( ) 20( )( )( )iP fP f H f 48第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u輸出過程輸出過程 o(t)的概率分布的概率分布p如果線性系統(tǒng)的如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。程也是高斯型的。 因為從積分原理看，因為

41、從積分原理看， 可以表示為：可以表示為： 由于已假設(shè)由于已假設(shè) i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項在是高斯型的，所以上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時刻上都是一個高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個高斯隨機(jī)變量任一時刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個之和。由概率論理論得知，這個“和和” 也是高斯隨機(jī)變也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。量，因而輸出過程也為高斯過程。 注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。變了。

42、000( )lim() ()kikkkktth 0( )( )()ithtd 49第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 例例2-42-4 求功率譜密度為求功率譜密度為n n0 0/2/2的白噪聲通過低通濾的白噪聲通過低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)及噪聲功率。波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)及噪聲功率。低通傳輸特性為：低通傳輸特性為：0|()0djtHK eH 其其它它解：解：HnKPHPio |2)(| )(|)(0202 HHHjjofnkdenKdePRHHosin4)(21)(020020 )2( HHf HofnkRN0200 )(50第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶

43、隨機(jī)過程 n什么是窄帶隨機(jī)過程？什么是窄帶隨機(jī)過程？ 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程 (t)的譜密度集中在中心頻率的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍附近相對窄的頻帶范圍 f 內(nèi)，即滿足內(nèi)，即滿足 f fc的條件，且的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該遠(yuǎn)離零頻率，則稱該 (t)為窄帶為窄帶隨機(jī)過程。隨機(jī)過程。其波形像包絡(luò)和相位緩慢隨機(jī)變化其波形像包絡(luò)和相位緩慢隨機(jī)變化的正弦波。的正弦波。 51第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù)典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù) 52第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n窄帶隨機(jī)過程的表示式窄帶隨機(jī)過程的表示式式中，式中，a (t) 隨

44、機(jī)包絡(luò)，隨機(jī)包絡(luò)， (t) 隨機(jī)相位隨機(jī)相位 c 中心角頻率中心角頻率 顯然，顯然， a (t)和和 (t)的變化相對于載波的變化相對于載波cos ct的變的變化要緩慢得多?；徛枚?。( )( )cos( ) ,( )0cta ttta t 53第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n窄帶隨機(jī)過程表示式展開窄帶隨機(jī)過程表示式展開式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量可以看出：可以看出： (t)的統(tǒng)計特性由的統(tǒng)計特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性確定。確定。 若若 (t)的統(tǒng)計特性已知，則的統(tǒng)計特性已知，則a (t)和和 (t)或或

45、c(t)和和 s(t)的的統(tǒng)計特性也隨之確定。統(tǒng)計特性也隨之確定。 ( )( )cos( ) ,( )0cta ttta t ( )( )cos( )cta tt ( )( )sin( )statt ( )cos( )( )cos( )cos( )sinsin( )sinccsccca ttta ttttttt 54第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n2.5.1 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性設(shè)設(shè) (t)是一個均值為是一個均值為0，方差為，方差為 的平穩(wěn)高斯窄帶過程。的平穩(wěn)高斯窄帶過程。p數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望： 因為因為 (t)平穩(wěn)且均值為零，有平穩(wěn)且均值為零，有E (t) = 0 ，所以

46、，所以 ( )( )cos( )sinccscttttt E( )( )cos( )sinccsctEttEtt( )0( )0csEtEt，2 ( )( ) ( )0csEtEtEt 55第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p (t)的自相關(guān)函數(shù)：的自相關(guān)函數(shù)：式中式中因為因為 (t)是平穩(wěn)的，故有與時間是平穩(wěn)的，故有與時間t無關(guān)無關(guān) 若令若令 t = 0，上式為：，上式為：( ,) ( ) ()( ( )cos( )sin)( ()cos()()sin()ccscccscR t tEttEtttttttt ( ,)coscos()( ,)cossin()( ,)sincos()( ,)sinsin

47、()ccccsccscccsccR t tttRt tttRt tttR t ttt ( ,)( )()( ,)( )()( ,)( )()( ,)( )()ccccscsscscsssRt tEttRt tEttRt tEttRt tEtt ( ,)( )R t tR ( )( ,)cos( ,)sincccscRR t tRt t 56第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程因與時間因與時間t無關(guān)，則有：無關(guān)，則有：所以，上式變?yōu)樗?，上式變?yōu)樵倭钤倭?t = /2 c，同理可得：，同理可得：可見：若窄帶過程可見：若窄帶過程 (t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則 c(t)和和 s(t)也必然是也必然是平穩(wěn)的

48、。平穩(wěn)的。( )( ,)cos( ,)sincccscRR t tRt t ( ,)( )( ,)( )cccscsR t tRRt tR( )( )cos( )sincccscRRR ( )( )cos( )sinscsccRRR ( ,)( )( ,)( )ssscscR t tRRt tR 57第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p進(jìn)一步分析，下兩式進(jìn)一步分析，下兩式應(yīng)同時成立，故有應(yīng)同時成立，故有上式表明：上式表明：同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到代入上式，得

49、到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函數(shù)，所以的奇函數(shù)，所以同理可證同理可證 ( )( )cos( )sincccscRRR ( )( )cos( )sinscsccRRR ( )( )csRR ( )( )csscRR ( )()csscRR ( )()scscRR (0)0scR (0)0csR 58第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程將將代入下兩式代入下兩式得到得到上式表明上式表明 (t) 、 c(t) 和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率或方差。 ( )( )cos( )sinscsccRRR ( )( )cos( )sincccscRRR (0)0scR (0)0c

50、sR (0)(0)(0)csRRR 222cs 59第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式無關(guān)，故由式 得到得到若若 (t)是高斯過程是高斯過程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨機(jī)變一定是高斯隨機(jī)變量，從而量，從而 c(t) 、 s(t)也是高斯過程也是高斯過程。p根據(jù)根據(jù)可知，可知， c(t) 與與 s(t)在在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此型的，因此 c(t) 與與 s(t)也是統(tǒng)計獨立的也是統(tǒng)計獨立的。 ( )( )cos( )sinccscttttt 1110 ,

51、( )( )ctttt222,( )( )2sctttt (0)0csR 60第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u結(jié)論結(jié)論對于對于均值為零，方差為均值為零，方差為 的的窄帶平穩(wěn)高斯窄帶平穩(wěn)高斯過程過程 (t) ：u它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。而且均值為零，方差也相同。u在同一時刻上得到的在同一時刻上得到的 c和和 s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。2 ( )( )cos( )sinccscttttt 222( )( ) ( )0cscsEtEtEt (,)()()cscsfff

52、61第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n2.5.2 a (t)和和 (t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性u聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , )根據(jù)概率論知識有根據(jù)概率論知識有由由可以求得可以求得,()(,)(,)(,)cscsf afa cossincsaa ,()(,)csa cscsaa cossinsincosaaa 2exp21)()(),(2222scscscfff62第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程于是有于是有式中式中 a 0, = (0 2)2222(cos)(sin)(,)( ,)exp22csaaaf aa f 222exp22aa 63第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程ua 的一維概率

53、密度函數(shù)的一維概率密度函數(shù)可見，可見， a 服從瑞利服從瑞利(Rayleigh)分布。分布。22220()(,)exp22aaf af add 222exp02aaa 64第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u 的一維概率密度函數(shù)的一維概率密度函數(shù)可見，可見， 服從均勻分布服從均勻分布。且有：且有：222001()(,)exp221022aaff adada (,)() ()f af af 65第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u結(jié)論結(jié)論一個一個均值為零均值為零，方差為方差為 2的的窄帶平穩(wěn)高斯過程窄帶平穩(wěn)高斯過程 (t)，u其包絡(luò)其包絡(luò)a (t)的一維分布是的一維分布是瑞利分布瑞利分布，相位，相位 (t)

54、的一維分布的一維分布是是均勻分布均勻分布u并且就一維分布而言，并且就一維分布而言， a (t)與與 (t)是是統(tǒng)計獨立的統(tǒng)計獨立的，即有，即有 (,)()()f af af ( )( )cos( ),( )0ctatttat 222()exp02aaf aa 1()022f 66第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘柾ǔＪ且粋€正弦波作為載波的已通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘柾ǔＪ且粋€正弦波作為載波的已調(diào)信號，信號經(jīng)過信道傳輸時總會受到噪聲的干擾，調(diào)信號，信號經(jīng)過信道傳輸時總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個帶為了減少

55、噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此，通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此，帶通帶通濾波器的輸出是正弦波信號與窄帶噪聲的合成信號濾波器的輸出是正弦波信號與窄帶噪聲的合成信號。這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情況，所以有必要了這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號的解合成信號的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性。 67第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式式中式中 窄帶高斯噪聲窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0 2 間間 A和和 c 確知振幅和角

56、頻率確知振幅和角頻率于是有于是有式中式中( )cos()( )cr tAtn t ( )( )cos( )sinccscn tn ttn tt ( ) cos( )cos sin( )sin( )cos( )sin( )cos( )ccscccSccr tAn ttAn ttz ttz ttz ttt ( )cos( )ccz tAn t ( )sin( )ssz tAn t 68第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式包絡(luò)：包絡(luò)：相位：相位：22( )( )( ),0csz tztztz 1( )( ),(02 )( )scz

57、 tttgz t 69第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計特性u包絡(luò)的概率密度函數(shù)包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)利用上一節(jié)的結(jié)果，如果利用上一節(jié)的結(jié)果，如果 值已給定，則值已給定，則zc、zs是相互獨是相互獨立的高斯隨機(jī)變量，且有立的高斯隨機(jī)變量，且有 所以，在給定相位所以，在給定相位 的條件下的的條件下的zc和和zs的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度函數(shù)為函數(shù)為222cossincscsnE zAE zA 222211( ,/ )exp(cos )(sin )22cscsnnf z zzAzA 70第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程利用與上一

58、節(jié)分析利用與上一節(jié)分析a 和和 相似的方法，根據(jù)相似的方法，根據(jù)zc，zs與與z， 之間之間的隨機(jī)變量關(guān)系的隨機(jī)變量關(guān)系可以求得在給定相位可以求得在給定相位 的條件下的的條件下的z與與 的聯(lián)合概率密度函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)然后求給定條件下的邊際分布，然后求給定條件下的邊際分布， 即即cossincszzzz ( ,/ )( ,/ )csf zf z z ()()c,sz zz, (,/)cszf zz 22221exp2cos()22nnzzAAz202222220( / )( ,/ )expexpcos()22nnnf zf zdzzAAzd 71第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程由于由于故有故有

59、式中式中I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù)第一類零階修正貝塞爾函數(shù)因此因此由上式可見，由上式可見，f ( , z)與與 無關(guān)，故的包絡(luò)無關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為稱為稱為廣義瑞利分布廣義瑞利分布，又稱，又稱萊斯萊斯（Rice）分布。）分布。 2001expcos( )2xdIx 202201expcos()2nnAzAzdI 2202221( /)exp()2nnnzAzf zzAI 2202221( )exp()02nnnzAzf zzAIz 72第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u討論討論p當(dāng)信號很小時，即當(dāng)信號很小時，即A 0時，上式中時，上式中(Az/ n2)很小，很小

60、，I0 (Az/ n2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。p當(dāng)當(dāng)(Az/ n2)很大時，有很大時，有這時上式近似為高斯分布，即這時上式近似為高斯分布，即2202221( )exp()02nnnzAzf zzAIz 0( )2xeIxx 221()( )exp22nnzAf z 73第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p包絡(luò)概率密度函數(shù)包絡(luò)概率密度函數(shù) f (z)曲線曲線74第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計特性F()75第第2章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲n白