相交線和平行線典型例題及拔高訓(xùn)練

1、4.2 相交線和平行線典型例題及強(qiáng)化訓(xùn)練課標(biāo)要求 了解對頂角，知道對項(xiàng)角相等。 了解垂線、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，體會點(diǎn)到直線距離的意義。 知道過一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直干已知直線，會用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫一條直線的垂線。 知道兩直線平行同位角相等，進(jìn)一步探索平行線的性質(zhì) 知道過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線，會用角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條 直線的平行線。 體會兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離。 典型例題1. 判定與性質(zhì)例1判斷題：1）不相交的兩條直線叫做平行線。（）2）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。（）3）兩直線平行，同旁內(nèi)角相等。（

2、）4）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等。（）答案：（1）錯，應(yīng)為“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”。（2）錯，應(yīng)為“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”。（3）錯，應(yīng)為“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”。（4）錯，應(yīng)為“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等”。例2已知：如圖， AB/ CD求證：/ B+Z D=Z BED分析：可以考慮把/ BED變成兩個角的和。如圖5，過E點(diǎn)引 一條直線EF/ AB,則有Z B=Z 1，再設(shè)法證明Z D=Z 2,需證EF/ CD 這可通過已知 AB/ CD和EF/ AB得至鷹 證明：過點(diǎn)E作EF/ AB,則Z B=Z 1 （兩直線平行，內(nèi)錯

3、角 相等）。/ AB/ CD（已知），又 EF/ AB （已作）， EF/ CD （平行于同一直線的兩條直線互相平行）。Z D=Z 2 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。又TZ BED玄 1+Z 2, Z BED玄B+Z D (等量代換)。變式 1 已知：如圖 6, AB/ CD 求證：Z BED=360 - (Z B+Z D)。分析：此題與例1的區(qū)別在于E點(diǎn)的位置及結(jié)論。我們通常所說的Z BED都是指E1小于平角的角，如果把ZBED看成是大于平角的角，可以認(rèn)為此題的結(jié)論與例結(jié)論是一致的。因此，我們模仿例1作輔助線，不難解決此題。證明：過點(diǎn)E作EF/ AB,則Z B+Z 1=180° （兩

4、直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。 / AB/ CD（已知），又 EF/ AB （已作）， EF/ CD （平行于同一直線的兩條直線互相平行）。Z D+Z 2=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。 Z B+Z 1 + Z D+Z 2=180° +180°（等式的性質(zhì)）。又TZ BED玄 1+Z 2, Z B+Z D+Z BED=360 （等量代換）。 Z BED=360 - （Z B+Z D）（等式的性質(zhì)）。變式2已知：如圖7, AB/ CD求證：Z BED=/ D- Z B。分析：此題與例1的區(qū)別在于E點(diǎn)的位置不同，從而結(jié)論也不同。模仿例 1與變式1作輔助線的方法，

5、可以解決此題。證明：過點(diǎn)E乍EF/ AB,則/ FEB=Z B （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。/ AB/ CD（已知），又 EF/ AB （已作）， EF/ CD （平行于同一直線的兩條直線互相平行）。/ FED=Z D （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。/ BED玄 FED-/ FEB/ BED玄D-/ B （等量代換）。變式3已知：如圖8, AB/ CD求證：/ BED=/ B- / D。分析：此題與變式2類似，只是/ B、/ D的大小發(fā)生了變化。證明：過點(diǎn)E作EF/ AB,則/ 1 + / B=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。/ AB/ CD（已知）， 又 EF/ AB （已作

6、）， EF/ CD （平行于同一直線的兩條直線互相平行）。 / FED+Z D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。 / 1 + / 2+/ D=180°o / 1 + / 2+/ D- （/ 1+/ B） =180° -180 ° （等式的性質(zhì)）。 / 2=/ B- / D （等式的性質(zhì)）。即/ BED玄 B- / Do例3 已知：如圖 9, AB/ CD / ABF=/ DCE 求證：/ BFE=/ FEC 證法一：過F點(diǎn)作FG/ AB，則/ ABF=/ 1 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。過E點(diǎn)作EH/ CD，則/ DCE/ 4 （兩直線平行，內(nèi)錯角

7、相等）。 FG/ AB（已作），AB/ CD（已知）， FG/ CD （平行于同一直線的兩條直線互相平行）。又 EH/ CD （已知）， FG/ EH （平行于同一直線的兩條直線互相平行）。 / 2=/3 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。 / 1 + / 2=/3+/ 4 （等式的性質(zhì)）即/ BFE=/ FEC證法二：如圖10,延長BF、DC相交于G點(diǎn)。/ AB/ CD（已知）， /仁/ABF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。又/ ABF=/ DCE（已知）， / 1 = / DCE（等量代換）。 BG/ EC （同位角相等，兩直線平行）。 / BFE=/ FEC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。如果延長CE

8、、AB相交于H點(diǎn)（如圖11）,也可用同樣的方法證明 程略）。證法三：（如圖12）連結(jié)BCH/ AB/ CD（已知），/ ABC/ BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。又/ ABF=/ DCE（已知）， / ABC-/ ABF =/ BCD-/ DCE（等式的性質(zhì)）。 即/ FBC=/ BCE BF/ EC （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。/ BFE=/ FEC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。強(qiáng)化訓(xùn)練一.填空1. 完成下列推理過程 / 3= Z 4 （已知），_ /（ ） / 5= / DAB（已知）， /( )/ CDA +=180°(已知)， AD/ BC (2. 如圖，已知DE/ BC,B

9、D是/ ABC勺平分線，/ EDC= 109°,/ABC= 50° 則/ A度，/ BDC=度。3. 女口圖，AB/ CD,BE,CE分另U平分/ ABC / BCD,則/ AEB+Z CED=。4. 將點(diǎn)P（-3 , y）向下平移3個單位，向左平移 2個單位后得到點(diǎn) Q（x, -1），則 xy= 。5、已知：如圖，直線 AB和CD相交于O, O呼分Z BOC且Z AOC=68，則 Z BOE=二.選擇題1. 在海上，燈塔位于一艘船的北偏東40度方向，那么這艘船位于這個燈塔的（）A南偏西50度方向；B南偏西40度方向；C北偏東50度方向;D北偏東40度方向2、如圖,AB /

10、 EF/ DC, EG/ BD,則圖中與Z 1相等的角共有（）個A 6個 B .5 個 C .4 個 D.2 個3、 同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a丄b,b丄c,c丄d,則下列式子成立的是）A、 a / d B、b 丄 d C 、a 丄 d D 、b / c4、如圖，Z 1和Z 2互補(bǔ)，Z 3=130° ,那么Z 4的度數(shù)是（）A. 50 °B. 60°C.70°D.80°匕AB/ CD 且Z ABC=20 , Z CFE=30 ,5.已知：則Z BCF的度數(shù)是（）FEBC兩直線平行，內(nèi)錯角相等;D 、兩直線平行，同旁內(nèi)角相等。a bA. 160

11、 °B.150°C.706（2003南 通 市）判斷題已知，如圖，下列條件中不能判斷直線I1/I2的是（A）Z 1 = Z 3（ B）Z 2=Z 3（C）Z 4=Z 5（ D Z 2+Z 4 = 180 °7. （北京市海淀區(qū)2003年）.如圖，直線c與直線a、b相交，且a/b，則下列 結(jié)論：（1）1-/2 ; （2） 1-/3; （3） 3=/2中正確的個數(shù)為（）A. 0B. 1C. 2D. 38. （2004年浙江省富陽市）下列命題正確的是（）A、兩直線與第三條直線相交，同位角相等；B、兩線與第三線相交，內(nèi)錯角相9. （2003年安徽?。┤鐖D，AB/ CD A

12、C丄BC,圖中與/ CAE互余的角有（）A.1個 B.2 個 C.3 個 D.4 個策9題圖10. （ 日照市2004年）如圖，已知直線 AB/ CD當(dāng)點(diǎn)E直線AB與間時，有/ BED=Z ABE+Z CDE成 立；而當(dāng)點(diǎn)E在直線AB與 C龍外時，下列關(guān)系式成立的是（）三.解下列各題：1. 如圖，已知 OA!OC OBLOD Z 3=26°,求Z 1、2、已知 AD/ BC, Z A= Z C,求證：AB/ CD2的度數(shù)。AZ BED=zI ABE+zI CDE或Z BED=z【ABE-zI CDE;BZ BED=zI ABE-zI CDECZ BED=zI CDE-zI ABE或Z

13、 BED=z【ABE-zI CDE;DZ BED=zI CDE-zI ABE3. 如圖,AB / CD,求Z BAE+Z AEF+Z EFC+Z FCD勺度數(shù).4. 已知，如圖 ACL BC,HF丄 AB,CD丄 AB, Z ED（與Z CHF互補(bǔ),求證：DEI AC.EC第5題第6題5. 如圖，已知 AB/ ED, Z ABC=135 , Z BCD=80，求Z CD的度數(shù)。6. 已知：如圖， ADL BC于D, EGLBC于G, AE =AF.求證：AD平分Z BAC四、如圖A、B是兩塊麥地，P是一個水庫，A B之間有一條水渠，現(xiàn)在要將水庫中的水引到A B兩地澆灌小麥，你認(rèn)為怎樣修水渠省時

14、省料經(jīng)濟(jì)合算？請說出你的設(shè)計方案，并說明理由。 AE =AF相交線與平行線2. 1 略；121°, 84° 3. 90 ° ; 4.-10 ; 5。56°題號12345678910答案BBAADBDCBC三.1.解：T OAL OC OBL OD/ 1 + Z 2 =90。，/ 3+/ 2 =90/ 仁/ 3=26°/ 2=64°2證明：T AD/ BC,/ A+/ B=180°/ / A= / C,/ C+/ B=180° AB/ CD.2. 解：連結(jié)AC./ AB/ DC/ CAB+Z ACD=180/ CAE+Z ACF+Z E+Z F =360 °/ CAB+Z ACD=180 Z BAE+Z AEF+Z EFCZ FCD=5404. 證明：T HF丄 AB, ABL CD CD/ HF, Z CHF+Z HCD=180