泰勒公式（課堂PPT）

1、.1二、幾個函數的麥克勞林公式二、幾個函數的麥克勞林公式 第三節(jié)一、泰勒公式一、泰勒公式三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用 泰勒 ( Taylor )公式 第三三章 .2一、泰勒公式一、泰勒公式0 xx nf x P x0nx x當一個函數f (x)相當復雜時,為了計算它在一點x=x0時，是比高階的無窮小.附近的函數值或描繪曲線f (x)在一點P(x0,f(x0)附近的形狀時,我們希望找出一個關于(x-x0)的n次多項式函數近似表示f (x)且當)(xPn0annxxaxxaxxa)()()(020201機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .3012,naaaa首先首先確定多項式函數的系數假

2、定f (x)在含有點x0的某個開區(qū)間(a,b)內具有直到 0010200,1!,2!, !nnaf xafxafxn afx這樣,對Pn(x) 求各階導數,然后分別代入以上等式得即得 (n+1)階的導數，并且要求滿足條件：, )()(00 xfxpn, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn)( 0!212xPan, )(0 xf ,)(0)(!1xPannnn)(0)(xfn!21!1n)(00 xPan, )(0 xf)(01xPan, )(0 xf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .4把所求得的系數代入得)(xPn)(0 xf)(00 xxxfnnxxxf)(0

3、0)(!1n200)(xxxf !21 nnf xP xRx0nxx其次其次證明是較顯然,Rn(x)在(a,b)內具有直到(n+1)階導數，且據此重復使用洛必達法則，可推得高階無窮小)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .50)()(lim100nnxxxxxR0 xx0nx x時，是比高階的無窮小.即當Rn(x)于是f (x)可表示)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .6一、問題的提出一、問題的提出1.1.設設)(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù)

4、, ,則有則有2.2.設設)(xf在在0 x處可導處可導, ,則有則有 )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .7xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 例如例如, , 當當x很小時很小時, , xex 1 , , xx )1ln(（如下圖）（如下圖）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .8不足之處不足之處問題問題:尋找函數尋找函數)(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤差誤差 )()()(xPxfxR 可估計可估計1、精確度不高、精確度不高2、誤差不能

5、估計。、誤差不能估計。設函數設函數)(xf在含有在含有0 x的開區(qū)間的開區(qū)間),(ba內具有直到內具有直到)1( n階導數階導數, ,)(xP為多項式函數為多項式函數nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .9機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、nP(x)和和nR(x)的確定的確定 0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1

6、.若在若在 點相交點相交0 x,),()(且且近近似似程程度度要要好好若若要要xPxfn ?)(應應滿滿足足什什么么條條件件xPn.10設設 nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得 nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa ),(! 202xfa ,).(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),(

7、)(00 xfxPn 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(0)(0)(xfxPnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .11三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數如果函數)(xf在含有在含有0 x的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間),(ba內具有直到內具有直到)1( n階的導數階的導數, ,則則當當x在在),(ba內時內時, , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個的一個n次多項式與一個余項次多項式與一個余項)(xRn之和之和: : 其中其中10)1()()!1()()( nnn

8、xxnfxR ( ( 在 0 x與與 x之間之間) ). . )()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .12定理定理:泰勒泰勒(Taylor )中值定理中值定理),(bax有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則對于任一 )0(之間與在xx如果f (x)在含有點x0的某個開區(qū)間(a,b)內具有直到(n+1)階的導數，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .13特例特例

9、:當 n = 0 時, 泰勒公式)(xf)(0 xf)(0 xxf變成拉格朗日中值定理)0(之間與在xx公式稱為f (x)按 (x-x0) 的冪展開的帶有拉格朗日型公式 稱為拉格朗日型余項拉格朗日型余項 .余項的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .14拉格朗日形式的余項拉格朗日形式的余項 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項0)()(lim00 nnxxxxxR及及

10、.)()(0nnxxoxR 即即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .15注注: :取取00 x, , 1.1.當當0 n時時, ,泰勒公式變成泰勒公式變成 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 10)1(00)(200000)(!)()(!)()(! 2)()()()( nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf )10()(. 200 xxx又又 則余項則余項 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .16二、幾個函數的麥克勞林公式二、幾個函數的麥克勞林公式,0間之與在則x上述公式稱為f

11、(x)的麥克勞林麥克勞林( Maclaurin)公式公式 .,00 x因此可令 )(xf)0(fxf)0( 1)1(!) 1()()(nnnxnxfxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中取, ) 10 (x從而泰勒公式變?yōu)檩^簡單的形式,即 )(xRn其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .17xexf)(xe1x!33x!nxn!22x故!) 1( n) 10(1nxxe例例1:1:求函數解解: :因為的n階麥克勞林展開式.所以 nxfxfxfxe， 00001.nffff機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .18xxfsin)(xsinx!33x!55x! ) 12(12

12、mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm令n=2m，于是有例例2:2:求函數解解: :因為的n階麥克勞林展開式.所以 cos ,sin ,cos ,fxx fxx fxx 4sin ,sin,2nfxxfxx n 11sin,2nnfxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .19! )2(2mxm類似地,可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx22x33xnxn)1ln(xx)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnn

13、xxn) 10(1) 1(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .20)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(!2 ) 1(! n) 1() 1(n以上介紹的幾個函數的麥克勞林展開式，在應用中經常遇到，應該熟記！機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .21三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用1. 求較為復雜的函數的麥克勞林展開式或泰勒展開式求較為復雜的函數的麥克勞林展開式或泰勒展開式 2cosf xx211coscos2 ,22xx例例3:3:求解解: :因為 又 的麥克勞林展開式.! )2(2mxmxcos1!22x!44xm)

14、1(!)22(m)cos() 1(1xm) 10(22mx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .22 24221 1111cos122122 22!4!2!mmxxxxm 所以221222cos22 !2mmxxm，mmxm212!)2(2x2cos故12! 22x4! 423xm) 1(!)22(m)2222cos(212mxm) 10(22mx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .23 0ln 11f xxx在1ln 1ln 21ln 2 12xxx所以 23111 111111ln2 ln 1ln2122223 22nnxxxxxn 例例4:4:求函數 解解: :因為 處的泰勒展開式.2

15、2x33xnxn)1ln(xx11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .241111110112112nnnxnx ，即 21x2222) 1(xnnnx2) 1()1ln(x2ln111)1(21 ) 1(2) 1() 1(nnnnxxn) 10(1) 1(n3323) 1(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .25解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 )241.(21)(2lim, 0

16、1cos)(lim20420 xxfxxxfxxx求求練練習習：利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .262. 在近似計算中的應用在近似計算中的應用 )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(xe例例5:5:利用的8階麥克勞林展開式計算e的近似值,并估計誤差.e11!31!1n!21!) 1(1n) 10(e解解: :取n=8，進行計算得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .27111 12.71829,2!8!e 581113 10 .9!9!Re 其誤差 機動 目錄 上頁

17、 下頁 返回 結束 .28xy xysin 五、小結1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計算中的應用公式在近似計算中的應用; ;.29xy xysin ! 33xxy o五、小結1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計算中的應用公式在近似計算中的應用; ;.30 xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計算中的應用公式在近似計算中的應用; ;.31xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小結1 1. .T Tayloraylor

18、公式在近似計算中的應用公式在近似計算中的應用; ;.32xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小結1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計算中的應用公式在近似計算中的應用; ;.332 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .342 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .352 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .362 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部

19、逼近. .372 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .382 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .392 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .402 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .412 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .422 2. .T Tayloraylor 公式的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .432 2.